Equazioni di stato di un plasma

.

Lezione 8

Equazioni di stato di un plasma

G. Bosia

Universita’ di Torino

.

Equazione di Boltzmann

Le leggi del moto a particella singola in un campo magnetico in presenza di potenziali elettrici danno

un’idea solo approssimativa delle leggi della dinamica di un insieme di particelle. I plasmi consistono in un numero molto grande di particelle e sarebbe quindi impossibile seguire il cammino di ciascuna. Questo non sarebbe in ogni caso utile perché noi siamo piuttosto interessati alle proprietà globali e

macroscopiche dell’ insieme, piuttosto che alla sorte di una singola particella

il moto di una particella singola è fortemente influenzato dalla presenza delle altre particelle. I campi di forze elettromagnetiche creati dalla violazioni della quasi neutralità possono essere di entità paragonabile a quella dei campi esterni e quindi i campi agenti sulle componenti del plasma in un certo punto ed in un certo istante non possono essere considerati 'dati' ma, devono essere calcolati in modo auto consistente contemporaneamente alle equazioni del moto delle particelle (vedi Lezione 3).

Un metodo che si presta molto bene a rappresentare il plasma da un punto di vista statistico come insieme di molte particelle e nello stesso tempo permette di risolvere i problemi in maniera auto consistente, è fornito dall'equazione di Boltzmann. Questa equazione e’ scritta per quella che può essere considerata un’ estensione della funzione di distribuzione delle particelle. che abbiamo introdotto per definire la temperatura cinetica, nello “spazio” delle velocità (v_x,v_y,v_z) , nello “spazio” reale (di posizione: VIII,y,z) e del tempo (t). Questa dipendenza da spazio e tempo e’ necessaria, perché, nel nostro caso, le proprietà macroscopiche della materia (gas o plasma) non sono uniformi nello spazio ne’ costanti nel tempo.

Consideriamo un insieme di particelle tutte uguali e notiamo che ogni particella di massa m, è caratterizzata all'istante generico t da un vettore di posizione r (di componenti x,y,z) e da un vettore velocità v (di componenti v_x,v_y,v_z). Se quindi noi consideriamo uno spazio a sei dimensioni che ha per coordinate x,y,z,v_xI,v_y,v_z, una particella può essere rappresentata da un punto ad ogni istante in questo iperspazio.

.

Equazione di Boltzmann

Se vi è un grande numero di particelle, possiamo considerare la densità dei punti rappresentativi in questo spazio a sei dimensioni, che indicheremo con f(r,v). Dato che normalmente questi punti si muoveranno in questo iperspazio in funzione del tempo, la loro densità non sarà in generale costante e quindi la indicheremo meglio con f(r,v,t).

Più precisamente, il numero di particelle con coordinate comprese fra VIII e VIII+dVIII, y e y+dy, z e z+dz, e con componenti di velocità comprese fra v_xe v_x +d v_x , v_ye v_y +d v_y, v_ze v_z +d v_zè:

o , piu’ concisamente

f(r,v_ft) d r d v ,

Parecchie proprietà macroscopiche della materia possono essere ottenute da operazioni di integrazione nello spazio delle velocità, o, come si usa spesso dire, calcolando 'i momenti' di f.

Per esempio, come abbiamo visto nella lezione 3, la densità delle particelle (ovvero il numero di particelle contenute all'istante t nell'unità di volume che si trova nella posizione r, nello spazio ordinario) è data da:

(VIII -l)

dove l'integrazione è fatta su tutto lo spazio delle velocità.

z y x z

y

x

v v t dxdydzdv dv dv v

z y x

f ( , , , , , , )

∫∫∫

= f t dv

_x

dv

_y

dv

_z

t

n ( r , ) ( r , v , )

= ∫∫∫

ⁿ _{x y z}

n

t f t dv dv dv

M ( r , ) v ( r , v , )

.

Equazione di Boltzmann

dove le sei variabili x,y,z,v_x,v_y,v_z vengono considerate tutte indipendenti fra loro

- e’ il gradiente della funzione nello spazio reale (x,y,z)

e’ il gradiente della funzione nello spazio delle velocita’ (v_x,v_y,v_z )

- F(r,t) e’ la forza applicata e m e’ la massa delle particelle

La densità corrisponde ad un 'momento' di ordine zero, infatti possiamo immaginare che nell'integrale della (VIII-l) la f sia moltiplicata per v°= l. Analogamente si può calcolare la velocità media, ovvero il 'momento' di ordine uno

(VIII-2)

Si può verificare, nello stesso modo che la pressione e la temperatura possono essere considerate come 'momenti‘ di ordine due, e che il vettore flusso di calore è un esempio di 'momento' di ordine tre.

L’ equazione che permette di calcolare la funzione di distribuzione è chiamata 'equazione cinetica' o equazione di Boltzmann. Di solito, nel trattare questa equazione, si fa distinzione fra le forze di tipo 'macroscopico' (come quelle dovute ai campi applicati) e quelle 'microscopiche' dovute alle collisioni.

Se si suppone che le collisioni tra le particelle possano essere trascurate, cosicché solo la forza 'macroscopica' F(r,t) agisce sulle particelle, si può dimostrare che l'equazione cinetica può essere scritta come:

(

VIII-3)

n

dv dv dv t f

dv dv dv t f

dv dv dv t t f

u

^{x y z}

z y x

z y

x

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫ ^⋅ ₌ ^⋅

= ( , , )

) , , (

) , , ) (

,

( v r v

v r

v r r v

= 0

∂

⋅ ∂

∂ +

⋅ ∂

∂ +

∂

v F

v r f

m f t

f

k j

r i ⋅

∂ +∂

∂ ⋅ +∂

∂ ⋅

= ∂

∇

∂ =

∂

z f y

f x

f f f

k z j y i

x v

f v

f v

f f

f v v v

v ^v ⋅

∂ + ∂

∂ ⋅ + ∂

∂ ⋅

= ∂

∇

∂ =

∂

.

Equazione di Boltzmann non collisionale

L’ equazione di Boltzmann e’ derivata dalla teoria cinetica dei gas ed esprime la continuità della funzione di distribuzione nello spazio delle fasi *), che si puo’ esprimere matematicamente come:

(

VIII-4)

Dove e’ l’ operatore divergenza nello spazio a sei dimensioni

e e’ il vettore velocità nello stesso spazio Infatti la VIII-4) si può riscrivere come:

Eseguendo le derivazioni si ottiene:

(

VIII-5)

dato che perché le coordinate dell’ iperspazio sono considerate indipendenti.

δ⋅n

δ⋅t + n u

( )

⋅ ⁰

*) Nota L’ equazione di continuità e’ ben nota in fisica. Per esempio la legge di conservazione della materia in un fluido si esprime come :

) , , , , , (

z y

x v v

v z y

x ∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

= ∂

∇_r,v

0 )]

(

[ ⋅ =

⋅

∇

∂ +

∂

_r,v

f r, v t

f

_{• •}

) , , , , , ( ) ,

( t

v t v t v z z t y t

x x y _z

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

= ∂ v r^{• •}

i i i

i i

i i

i

v

v x f

x f v

v x

f x t

f ⋅

∂ + ∂

∂ ⋅ + ∂

∂ + ∂

∂

⋅ ∂

∂ +

∂ ( )

• •

• •

= 0

0 )) (

) (

( =

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂ ∑

_i i

i i

i

v fv x fx

t

f

_{• •}

= 0

∂

= ∂

∂

∂

i i i

i

x v x

x

^•

.

Equazione di Boltzmann non collisionale

e inoltre

dato che le forze F_iche agiscono su una particella dipendono in generale dalla posizione e non dipendono dalla velocità.

Fa eccezione la forza di Lorentz (q vΛB), ma si può vedere che anche

dato che la componente i-esima del prodotto vettoriale non dipende dalla componente v_idella velocità.

Ricaviamo quindi l'equazione

(VIII-3a)

che dà esattamente la (VIII—3),

se sostituiamo al posto dell'accelerazione dv_i/dt la forza per unità di massa F_i/m .

.

1 0

∂ =

⋅ ∂

∂ =

∂

i i i

i

v F m v

v

^•

0 ] ) (

[ ∧ =

∂

∂

i i

v q v B

= 0

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂ ∑ ∑

i i

i i i

i

v v x f

x f t

f

_{• •}

= 0

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

v F

v r f

m f

t

f

.

Equazione di Boltzmann non collisionale

Si può dare il seguente significato fisico a questa equazione: se seguiamo un punto nel suo moto nello spazio (r,v), la densità di punti rimane immutata (figura). Questo è una caratteristica dei fluidi

incompressibili: Possiamo pertanto dire che, nel caso di assenza di collisioni, la funzione di distribuzione evolve nello spazio delle fasi come un fluido incompressibile,

Una collisione e’ rappresentata invece da una discontinuità nello spazio delle velocità perché durante la collisione il vettore velocità della particella varia in modo discontinuo (ovvero si produce la sparizione del punto rappresentativo in una regione dello spazio (r,v) e la la sua apparizione in un'altra regione). Pertanto in un plasma collisionale le traiettorie dei punti rappresentativi nello spazio (r,v) non sono curve continue e l'equazione di continuità, deve essere corretta da un termine che tenga conto delle collisioni:

La (VIII-3a) permette di dare anche un altro significato all'equazione cinetica senza collisioni. Se infatti rappresentiamo il moto dei punti rappresentativi in funzione del tempo solamente con :

la (VIII-3) diventa (VIII-3b)

perche’

) (t r

r= v=v(t)

f = f [ r ( t ), v ( t ), t ]

= 0 dt df

0 ] ] [

), ( ), (

[ =

∂

∂

∂ + ∂

∂

∂

∂ + ∂

∂

= ∂

= ∑

t v v

f t

x x

f t

f dt

t t t

df dt

df

_i

i i

i i

v

r

.

Equazione di Boltzmann collisionale

Si può assumere che ogni particella si muova sotto l’ azione di forze “collettive” F (quali il campo elettrico medio) dovuto alla presenza delle altre cariche particelle cariche, e, per trattate separatamente le collisioni, (in particolare delle collisioni coulombiane che interessano i problemi della fusione) mediante l’ aggiunta di un termine (δf/δt)_coll che descrive le variazioni della funzione di distribuzione dovute alle interazioni

microscopiche fluttuanti a cui una particella è soggetta.

Possiamo rappresentare la variazione 'totale' nel tempo della funzione di distribuzione, (δf/δt) _totale come somma di quella dovuta alla forza di origine 'macroscopica', data dalla (VIII—3) e di quella dovuta alle collisioni (δf/δt) _coll

Ovvero

dove il termine (δf/δt)_coll può essere interpretato come il numero di punti per unità di volume (r,v) che compaiono nell’iperspazio dell'iperspazio meno il numero di quelli che scompaiono per unità di tempo a causa delle collisioni fra particelle. L’ equazione diventa .

(VIII- 4)

che è l'equazione cinetica o equazione di Boltzmann collisionale.

Il termine 'collisionale' a secondo membro deve essere esplicitato matematicamente in funzione di f e delle altre variabili che figurano a primo membro della (VIII-4), perché l'equazione cinetica permetta di calcolare la funzione di distribuzione. Se le forze sono di natura elettromagnetica, come avviene nel caso dei plasmi, detta q la carica di ogni particella

(VIII-5)

0 )

( ) ( )

( =

∂ + ∂

∂

= ∂

∂

∂

coll

tot

t

f t

f t

f

F

t

coll

f f

m f

t

f ( )

∂

= ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

v F v r

] )

[(

_i

q E v B

F = + ∧

.

Equazione di Vlasov

e pertanto otteniamo (VIII-6)

che e’ equazione cinetica più frequentemente usata in fisica del plasma.

Che si riduce, nel caso non collisionale : (VIII-7)

che e’ anche nota sotto il nome di equazione di Vlasov.

Le equazioni (VIII -6) e (VIII -7) descrivono un insieme di particelle tutte uguali e con la stessa carica q.

Un plasma è invece costituito da più categorie di particelle: elettroni ed a diversi specie di ioni.

E’ pertanto necessario considerare, per ogni categoria di particelle, una funzione dì distribuzione (f_j) ed un’ equazione cinetica del tipo (VIII -6), (VIII -8)

(VIII -8)

dove il termine collisionale (δf_j/δt) _coll , che deve tener conto delle collisioni che le particelle di una specie compiono sia con particelle della stessa specie, sia con particelle di specie diversa.

t

coll

f f

m q f

t

f ( ) ( )

∂

= ∂

∂

∧ ∂ +

∂ + + ∂

∂

∂

B v v r E

v

coll j j

j j j j

t f f

m q f t

f ( ) ( )

∂

= ∂

∂

∧ ∂ +

∂ + + ∂

∂

∂

B v v r E

v

0 )

( =

∂

∧ ∂ +

∂ + + ∂

∂

∂

B v v r E

v f

m q f t

f

.

Equazione collisionale per un plasma generico

Note le f_je’ possibile calcolare le densità delle differenti specie dalla la (VIII-1), (VIII-1),

e calcolare le densità parziali delle varie specie di particelle (n_j) dalle quali calcolare le densità di carica, note le cariche individuali delle particelle e la densità media di carica:

(VIII -9)

dove le somme . vanno fatte sulle categorie di particelle, che sono normalmente in numero limitato.

Analogamente, utilizzando la (VIII-2), possiamo calcolare la densità di corrente (VIII-10)

Si ottiene in questo modo un metodo generale per ottenere la soluzione di un problema di fisica del plasma in modo auto consistente.

Le equazioni (VIII-8, 9, 10) sono infatti un gruppo limitato di equazioni (pari al numero delle specie di plasma presenti) di “sole” 7 variabili (x,y,z,v_x,v_y,v_z t) da cui e’ possibile calcolare, se sono noti i campi E e B,,le densità di carica e di corrente (J) che le particelle producono col loro moto.

Esse giocano cioè il ruolo complementare delle equazioni di Maxwell. Queste, assegnate le densità di carica e di corrente, determinano i campi elettrico e magnetico E e B. In realtà, come è stato detto, nessuna di queste grandezze è nota a priori, e la soluzione dovrà essere cercata in generale risolvendo un sistema chiuso di equazioni formato dalle (VIII-8, 9, 10) e dalle equazioni di Maxwell.

∫∫∫

= f t dv

_x

dv

_y

dv

_z

t

n ( r , ) ( r , v , )

∑ ∫∫∫

∑ ⁼

=

_{j j j j j x y z}

C

( r , t ) q n ( r , t ) q f ( r , v , t ) dv dv dv

ρ

∑ ∫∫∫

∑ =

=

_j

q

_j

n

_j

t

_j

t

_j

q

_j

f

_j

t dv

_x

dv

_y

dv

_z

t ) ( , ) ( , ) ( , , )

,

( r r u r v r v

J

∑

_j

.

Momenti dell’equazione di Boltzmann

Il metodo “cinetico” è il più generale ed il più completo per risolvere problemi di fisica del plasma. E’

tuttavia un metodo che comporta una certa complessità di calcolo. In pratica lo si usa solo in certi tipi di problemi.

Il comportamento del plasma può in molti casi essere riprodotto con sufficiente fedeltà ricorrendo a equazioni macroscopiche, che assimilano il plasma, o i componenti del plasma, ad uno o più fluidi. Si rinuncia cioè alle informazioni di tipo 'microscopico' contenuto, in un modo statistico, nella funzione di distribuzione e si considerano solo le grandezze 'macroscopiche' come la densità di particelle, la densità di corrente, la pressione, ecc.

Le equazioni macroscopiche di tipo fluido, possono essere ricavate da equazioni cinetiche come la (VIII- 6), per mezzo di operazioni di media di potenze del vettore velocità, del tipo delle (VIII-1 e 2), usati per calcolare densità e velocità media.

Generalizzando, data una qualunque grandezza (scalare o vettoriale) di tipo 'microscopico', associata cioè alle particelle e funzione delle loro posizioni e velocità genericamente indicata con Q(r,v,t), il suo valor medio macroscopico e’ :

(VIII -11)

Il calcolo si fa a partire dal‘ equazione (VIII-6), moltiplicandola per potenze del vettore velocità, integrando sullo spazio delle velocità, e facendo alcune ipotesi di carattere generale sull'andamento della funzione di distribuzione a valori molto grandi di v.

Dato che nessuna particella può avere velocità infinita, è evidente che f →0 piuttosto rapidamente per v → ∞; e pertanto certi integrali di superficie, contenenti f nell'integrando, estesi su una sfera di raggio v → ∞nello spazio delle velocità risulteranno nulli. .

∫∫∫

>=

< Qf t dv

_x

dv

_y

dv

_z

t n

Q 1 ( , , )

) , ,

( r v r v

.

Equazioni differenziali per i momenti dell’equazione di Boltzmann

Se l ‘equazione di Boltzmann e’ riscritta per le specie del plasma come : (VIII-12)

Il primo termine dell’ equazione del momento di ordine zero e’

Se si utilizzano le definizioni di densità media n e di velocità media u secondo termine e’

perche’ le 'coordinate' x e v. sono sei coordinate fra loro indipendenti Il terzo termine e’ nullo. Infatti:

Il primo dei due termini che figurano nell'integrale di

superficie rispetto a dv_y e dv_z, è nullo per l'ipotesi fatta sulla f →0 per v→ ∞,

nel secondo figura una di un campo elettrico E che non dipende dalla velocità e di che non dipende da v_x

coll i i

i i

i

t

f f

m q x f t

f ( ) ( )

3

1 3

1

∂

= ∂

∂

∧ ∂ +

∂ + + ∂

∂

∂ ∑ ∑

=

=

v E v B v

t dv n

dv t fdv

dv dv t dv

f

z y x z

y

x

∂

= ∂

∂

= ∂

∂

∂ ∫∫∫

∫∫∫

) (

_i

i z

y x i i

z y x i

i

n

dv x dv dv x f

dv dv x dv

f v u

v ∂

= ∂

∂

= ∂

∂

∂ ∫∫∫

∫∫∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫∫∫

∞ +

∞

−

∞ +∞

−

∞ +

∞

−

∞ +

∞

−

+∞

∞

− +∞

∞

− +∞

∞

−

∂

∧ +

− ∂

∧ +

=

∂

∧ ∂ +

∂ =

∧ ∂ +

x x

x x

x y

z

x x x y

z x

x x

v dv f

fdv dv

dv

v dv dv f

dv v dv

f

) ] (

) {[(

) (

) (

B v B E

v E

B v E B

v E

t

coll

f f

m q f

t

f ( ) ( )

∂

= ∂

∂

∧ ∂ +

∂ + + ∂

∂

∂

B v v r E

v

G. Bosia - Fisica del plasma confinato Lezione 8 13

.

Equazione di continuità delle particelle

VII Concludiamo che

Infine anche l’ integrale del termine di collisione e’ anche nullo. Infatti le collisioni spostano semplicemente i punti rappresentativi nello spazio delle velocità ma non alterano la loro densità nello spazio delle coordinate.

Troviamo così :

(VIII-14)

Abbiamo ottenuto l'equazione di continuità de numero di particelle, che, come è noto, è

un'equazione caratteristica della meccanica dei fluidi. Essa rappresenta il fatto che esse non si possono ne creare né distruggere. La (VIII -14) ci dice infatti che, se in un certo volume dello spazio avviene una variazione del numero di particelle in esso contenute, ci deve anche essere un flusso equivalente di particelle attraverso la superficie di contorno di quel volume. In altre parole, se in un punto dello spazio la densità aumenta, ciò vuol dire che le particelle in più non sono state create dal nulla, ma sono migrate da zone vicine; viceversa, se essa decresce, un numero di particelle si sono allontanate.

0 )

( =

∂

∧ ∂

∫∫∫

+ ^{x y z}

i

dv dv f dv B v v E

0 )

( =

∂ + ∂

∂

∂

i i

x n t

n u + ( ) = 0

∂

∂

n

i

t div

n u + ∇ ⋅ ( ) = 0

∂

∂

n

i

t

n u

.

Conservazione della quantita’ di moto

Moltiplichiamo ora la (VIII -12) I II III IV (VIII-12)

per mv_k, dove k sta ad indicare una generica direzione VIII,y,z ed integriamo. Il primo termine dà, seguendo gli stessi procedimenti di prima e la definizione di velocità media (VIII -2). :

(VIII-16)

(VIII-17)

E posto con alcuni passaggi :(VIII-18)

Dove abbiamo introdotto il valore medio della forza applicata :

Se se si considera, come facciamo, un gas formato da una sola specie di particelle, il termine di collisione e’ nullo,. Infatti, il significato fisico di questo termine è la variazione nel tempo della quantità di moto totale (di componente k), delle particelle contenute nell'unità di volume provocata dalle collisioni. La quantità di moto totale di tutte le particelle non varia nel tempo perche’ in ogni collisione singola la q.d.m rimane invariata.

I

II

III

coll i i

i i

t

f f

m q x f t

f ( ) ( )

3

1 3

1

∂

= ∂

∂

∧ ∂ +

∂ + + ∂

∂

∂ ∑ ∑

=

=

E v B v

t dv mnu

dv dv t fmv

dv dv dv t mv

f

_k

z y x k z

y x

k

∂

= ∂

∂

= ∂

∂

∂ ∫∫∫

∫∫∫ ^{( )}

t v v dv mn

dv dv v x fmv

dv dv dv x mv

v f

_{i k x y z} ^{i k}

i z

y x k i

i

∂

>

<

= ∂

∂

= ∂

∂

∂ ∫∫∫

∫∫∫ ^{( )}

i

i q(E v B)

F = + ∧

>

<

−

∂ =

∫∫∫ ∂

^{k x y z k}

i

i

mv dv dv dv n F

v f m F

∫∫∫

>=

<

_k

F

_k

f t dv

_x

dv

_y

dv

_z

F n 1 ( , , )

v

r

.

Risulta infine :

(VIII-18)

Questa equazione esprime la conservazione della quantità di moto. Il primo termine rappresenta la variazione di quantità di moto (di componente k) per unità di volume e di tempo. Il secondo termine rappresenta la variazione di quantità di moto per unità di volume dovuta a migrazione di particelle attraverso la superficie che racchiude il volume (divergenza del flusso di quantità di moto). Il terzo termine rappresenta la forza per unità di volume.

A differenza di quanto avviene per la densità di particelle (equazioni VIII-13 e 14), 'la densità di quantità di moto può variare per due cause:

• migrazione di particelle che muovendosi trasportano la loro quantità di moto

• effetto delle forze che agiscono sulle particelle, in base alle leggi fondamentali della dinamica.

Conservazione della quantità di moto

>

<

−

∂ =

>

<

+ ∂

∂

∂ ∑

= k

i i

k i

k

n F

x v v mn mn

t

f

³

1

)

u (