4. RELAZIONI DI EQUIVALENZA

4. RELAZIONI DI EQUIVALENZA

Esercizio 4.1. Nell’insieme A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} si consideri la relazione R definita ponendo xRy ⇐⇒ x + 2y ∈ 3Z.

• Si dimostri che R ` e una relazione di equivalenza in A.

• Si descriva la partizione di A determinata da R.

• Motivando la risposta, si stabilisca se la relazione R

definita in A ponendo xR

y ⇐⇒ x − 2y ∈ 3Z

`

e di equivalenza.

Esercizio 4.2. Siano A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B l’insieme di tutti i sottoinsiemi di A aventi ordine 3. Si consideri la relazione ∼ definita ponendo

{a, b, c} ∼ {d, e, f } ⇐⇒ a + b + c = d + e + f per ogni {a, b, c}, {d, e, f } ∈ B.

• Si verifichi che ∼ ` e una relazione di equivalenza in B.

• Si determinino le classi di equivalenza [{1, 2, 3}]

, [{1, 2, 4}]

, [{1, 2, 5}]

, [{1, 2, 6}]

.

• Quanti sono gli elementi dell’insieme quoziente B/

?

Esercizio 4.3. Si consideri l’insieme A = {1, 2, 3, 4, 5}. Si fornisca una risposta alle domande seguenti, motivandola adeguatamente.

• Quante sono le possibili relazioni di equivalenza R su A tali che 1 R 5, 3 R 4 e 5 / R 4 ?

• Quante sono le possibili relazioni di equivalenza R su A tali che 2 R 5, 1 R 5 e 1 / R 2 ?

• Quante sono le possibili relazioni di equivalenza R su A tali che 2 R 1, 2 R 3, 2 R 4 e 5 R 2 ?

Esercizio 4.4. Sia A = {a, b, c}. Nell’insieme P(A) dei sottoinsiemi di A si consideri la relazione R definita ponendo

X R Y ⇐⇒ X \ {a} = Y \ {a}.

• Si dimostri che R `e una relazione di equivalenza in P(A).

• Si descrivano le classi di equivalenza [Ø]

, [{a}]

, [{b}]

.

• Si determini la partizione di P(A) associata a R.

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