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Nome: Cognome: Corso di Laurea: 5cf u

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(1)

Esame di Geometria del 19 luglio 2013

Nome: Cognome: Corso di Laurea: 5cf u

Giustificare le risposte con spiegazioni chiare ed essenziali. Consegnare esclusivamente questi due fogli.

———————————————————————————————————————————————————

1. In R

3

si considerino i punti P = (1, 1, 1), Q = (0, −1, −1) ed R = (3, 1, 1).

a) Trovare l’equazione cartesiana del piano α passante per i tre punti dati.

b) Calcolare l’area del triangolo i cui vertici sono P, Q, R.

c) Determinare le equazioni parametriche della retta r, luogo dei punti equidistanti dai tre punti P, Q, R.

(2)

2. Nello spazio vettoriale V delle matrici a coefficienti reali di ordine 2 si consideri il sottospazio vettoriale U delle matrici simmetriche (A = A

t

).

a) Trovare una base di U e calcolare la dimensione.

b) Determinare le componenti della matrice A =  2 7 7 −2



rispetto a tale base.

c) Sia W il sottospazio vettoriale di V delle matrici diagonali (gli elementi fuori della diagonale principale sono 0).

Determinare una base e la dimensione di U ∩ W .

d) Calcolare la dimensione di U + W e dire se la somma ` e diretta (giustificare).

(3)

Nome: Cognome:

———————————————————————————————————————————————————

3. Si consideri l’endomorfismo f di R

3

che soddisfa le seguenti condizioni: il vettore (1, 0, −1) ∈ Kerf e l’autospazio di f relativo all’autovalore 2 ` e V

2

= {(x, y, z)/2x − y + z = 0}.

a) Dire se f ` e diagonalizzabile giustificando la risposta.

b) Scrivere il polinomio caratteristico di f .

c) Trovare la matrice che rappresenta f rispetto alla base canonica di R

3

.

(4)

Esame di Geometria del 19 luglio 2013

Nome: Cognome: Corso di Laurea: 5cf u

Giustificare le risposte con spiegazioni chiare ed essenziali. Consegnare esclusivamente questi due fogli.

———————————————————————————————————————————————————

1. Siano dati in R

3

le rette r

1

e r

2

definite da

r

1

:

x = 1 + t y = 1 − t

z = 2

; r

2

:

x = 2s − 1 y = 1 + s z = 3 − s

a) Trovare un vettore w ortogonale ad entrambe le rette r

1

ed r

2

e verificare che tali rette sono sghembe.

b) Determinare una equazione cartesiana del piano per r

1

e parallelo a w.

c) Determinare le equazioni cartesiane di una retta perpendicolare ed incidenti alle due rette date.

(5)

2. Nello spazio vettoriale V delle matrici a coefficienti reali di ordine 2 si consideri il sottospazio vettoriale U delle matrici con traccia nulla (traccia = somma degli elementi della diagonale principale).

a) Trovare una base di U e calcolare la dimensione.

b) Determinare le componenti della matrice A =  2 7 7 −2



rispetto a tale base.

c) Sia W il sottospazio vettoriale di V delle matrici diagonali (gli elementi fuori della diagonale principale sono 0).

Determinare una base e la dimensione di U ∩ W .

d) Calcolare la dimensione di U + W e dire se la somma ` e diretta (giustificare).

(6)

Nome: Cognome:

———————————————————————————————————————————————————

3. Si consideri l’endomorfismo f di R

3

che soddisfa le seguenti condizioni: il vettore (−1, 1, 0) ∈ Kerf e l’autospazio di f relativo all’autovalore 3 ` e V

3

= {(x, y, z)/2x + y − z = 0}.

a) Dire se f ` e diagonalizzabile giustificando la risposta.

b) Scrivere il polinomio caratteristico di f .

c) Trovare la matrice che rappresenta f rispetto alla base canonica di R

3

.

(7)

Esame di Geometria del 19 luglio 2013

Nome: Cognome: Corso di Laurea: 5cf u

Giustificare le risposte con spiegazioni chiare ed essenziali. Consegnare esclusivamente questi due fogli.

———————————————————————————————————————————————————

1. Siano dati in R

3

i quattro punti A = (0, 1, 1), B = (1, 1, 0), C = (−1, 0, 1), D = (1, 1, 2).

a) Determinare l’equazione cartesiana del piano α passante per i punti A, B, C.

b) Determinare la distanza del punto D dal piano α.

c) Determinare il volume del tetraedro di vertici A, B, C, D.

(8)

2. Nello spazio vettoriale V delle matrici a coefficienti reali di ordine 2 si consideri il sottospazio vettoriale U delle matrici triangolari inferiori (l’elemento sopra la diagonale principale ` e zero).

a) Trovare una base di U e calcolare la dimensione.

b) Determinare le componenti della matrice A =  3 0 2 −1



rispetto a tale base.

c) Sia W il sottospazio vettoriale di V delle matrici antisimmetriche (B = −B

t

). Determinare la dimensione di U ∩ W .

d) Calcolare la dimensione di U + W e dire se la somma ` e diretta (giustificare).

(9)

Nome: Cognome:

———————————————————————————————————————————————————

3. Si consideri l’endomorfismo f di R

3

che soddisfa le seguenti condizioni: il vettore (0, 1, −1) ∈ Kerf e l’autospazio di f relativo all’autovalore 5 ` e V

5

= {(x, y, z)/ − x + y + 2z = 0}.

a) Dire se f ` e diagonalizzabile giustificando la risposta.

b) Scrivere il polinomio caratteristico di f .

c) Trovare la matrice che rappresenta f rispetto alla base canonica di R

3

.

(10)

Esame di Geometria del 19 luglio 2013

Nome: Cognome: Corso di Laurea: 5cf u

Giustificare le risposte con spiegazioni chiare ed essenziali. Consegnare esclusivamente questi due fogli.

———————————————————————————————————————————————————

1. Siano dati in R

3

i quattro punti A = (0, 1, 1), B = (1, 1, 0), C = (−1, 0, 1), D = (1, 1, 2).

a) Trovare una equazione del piano α che contiene i punti B, C, D.

b) Determinare le equazioni parametriche della retta r passante per il punto A e perpendicolare al piano α.

c) Determinare le coordinate del punto A

0

proiezione ortogonale di A sul piano α.

(11)

2. Nello spazio vettoriale V delle matrici a coefficienti reali di ordine 2 si consideri il sottospazio vettoriale U delle matrici simmetriche (B = B

t

).

a) Trovare una base di U e calcolare la dimensione.

b) Determinare le componenti della matrice A =  3 5 5 −3



rispetto a tale base.

c) Sia W il sottospazio vettoriale di V delle matrici scalari (gli elementi sulla diagonale principale sono uguali e i restanti sono 0). Determinare una base e la dimensione di U ∩ W .

d) Calcolare la dimensione di U + W e dire se la somma ` e diretta (giustificare).

(12)

Nome: Cognome:

———————————————————————————————————————————————————

3. Si consideri l’endomorfismo f di R

3

che soddisfa le seguenti condizioni: il vettore (0, −1, 1) ∈ Kerf e l’autospazio di f relativo all’autovalore −2 ` e V

−2

= {(x, y, z)/ − x + 2y + z = 0}.

a) Dire se f ` e diagonalizzabile giustificando la risposta.

b) Scrivere il polinomio caratteristico di f .

c) Trovare la matrice che rappresenta f rispetto alla base canonica di R

3

.

(13)

Esame di Geometria del 19 luglio 2013

Nome: Cognome: Corso di Laurea: 5cf u

Giustificare le risposte con spiegazioni chiare ed essenziali. Consegnare esclusivamente questi due fogli.

———————————————————————————————————————————————————

1. Siano dati in R

3

le rette r

1

ed r

2

di equazioni, rispettivamente:

r

1

:  x + y + z = 1

x − z = 0 ; r

2

:  2x + y = 0 x − z = 0 a) Verificare che le rette r

1

ed r

2

sono parallele.

b) Determinare l’equazione cartesiana del piano α che le contiene.

c) Determinare una equazione cartesiana per ciascuno dei piani a distanza √

3 dal piano α trovato nel punto b) .

(14)

2. Nello spazio vettoriale V delle matrici a coefficienti reali di ordine 2 si consideri il sottospazio vettoriale U delle matrici con traccia nulla (traccia = somma degli elementi della diagonale principale).

a) Trovare una base di U e calcolare la dimensione.

b) Determinare le componenti della matrice A =  3 5 5 −3



rispetto a tale base.

c) Sia W il sottospazio vettoriale di V delle matrici scalari (gli elementi sulla diagonale principale sono uguali e i restanti sono 0). Determinare una base e la dimensione di U ∩ W .

d) Calcolare la dimensione di U + W e dire se la somma ` e diretta (giustificare).

(15)

Nome: Cognome:

———————————————————————————————————————————————————

3. Si consideri l’endomorfismo f di R

3

che soddisfa le seguenti condizioni: il vettore (0, −1, 1) ∈ Kerf e l’autospazio di f relativo all’autovalore −3 ` e V

−3

= {(x, y, z)/x + 2y − z = 0}.

a) Dire se f ` e diagonalizzabile giustificando la risposta.

b) Scrivere il polinomio caratteristico di f .

c) Trovare la matrice che rappresenta f rispetto alla base canonica di R

3

.

(16)

Esame di Geometria del 19 luglio 2013

Nome: Cognome: Corso di Laurea: 5cf u

Giustificare le risposte con spiegazioni chiare ed essenziali. Consegnare esclusivamente questi due fogli.

———————————————————————————————————————————————————

1. Siano dati in R

3

le rette l

1

, l

2

e l

3

definite da

l

1

:

x = 2t − 1 y = 3t z = 1 − t

; l

2

:

x = 1 − s y = 1 + s z = s

; l

3

:

x = 1 + r y = 1 − r z = 4r − 1 a) Verificare che le rette l

1

ed l

2

sono sghembe.

b) Determinare una equazione cartesiana del piano per l

1

e parallelo alla retta l

3

.

c) Determinare le equazioni cartesiane di una retta parallela ad l

3

ed incidente ad l

1

ed l

2

.

(17)

2. Nello spazio vettoriale V delle matrici a coefficienti reali di ordine 2 si consideri il sottospazio vettoriale U delle matrici triangolari superiori (l’elemento sotto la diagonale principale ` e zero).

a) Trovare una base di U e calcolare la dimensione.

b) Determinare le componenti della matrice A =  5 3 0 2



rispetto a tale base.

c) Sia W il sottospazio vettoriale di V delle matrici antisimmetriche (B = −B

t

). Determinare la dimensione di U ∩ W .

d) Calcolare la dimensione di U + W e dire se la somma ` e diretta (giustificare).

(18)

Nome: Cognome:

———————————————————————————————————————————————————

3. Si consideri l’endomorfismo f di R

3

che soddisfa le seguenti condizioni: il vettore (0, 1, −1) ∈ Kerf e l’autospazio di f relativo all’autovalore −5 ` e V

−5

= {(x, y, z)/x − y + 2z = 0}.

a) Dire se f ` e diagonalizzabile giustificando la risposta.

b) Scrivere il polinomio caratteristico di f .

c) Trovare la matrice che rappresenta f rispetto alla base canonica di R

3

.

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