1
Elementi di meccanica quantistica
Prof. Luca Lozzi
Dipartimento di Scienze Fisiche e Chimiche UniversitΓ degli Studi dellβAquila
Mail: luca.lozzi@aquila.infn.it; luca.lozzi@univaq.it Web page: http://www.dsfc.univaq.it/lozzi/
Versione 12/03/2016
2
Allβinizio del XX secolo alcuni esperimenti fondamentali permisero di capire la struttura dellβatomo:
- 1897: Sir Joseph J. Thomson (Direttore del Laboratorio Cavendish, Cambridge, UK, Nobel 1906), mediante lβuso di campi elettrici e magnetici, misurΓ² il rapporto tra la carica e la massa dei βraggi catodiciβ q/m, e scoprendo che questi βraggiβ erano composta da cariche elettriche βnegativeβ, gli elettroni.
- 1906: Sir Joseph J. Thomson, da dati di diffusione (scattering) di raggi X, scopre che in un atomo il numero degli elettroni Γ¨ pari an numero atomico Z presente nella tabella periodica di Medeleev.
- 1909: Robert Millikan (USA, Nobel 1923) riuscΓ¬ a determinare il valore della carica elementare dellβelettrone, permettendo di determinare la massa, conoscendo il rapporto q/m.
3
- 1911: Ernest Rutherford (Manchester, UK), inviando particelle Ξ± (nuclei di elio) emesse da sostanze radioattive contro lamine sottili e misurando la distribuzione delle particelle deflesse in funzione dellβangolo di deviazione, dimostrΓ² che gli atomi sono fatti da un nucleo centrale βpesanteβ carico positivamente e molto piccolo (raggio del nucleo ~ 10-14 m, il raggio dellβatomo Γ¨ invece ~ 10-10 m ) e da cariche elettriche negative βleggereβ distribuite nella parte esterna dellβatomo (modello βplanetarioβ).
I risultati sperimentali di Rutherford avevano escluso lβaltro modello a quel tempo proposto da Thompson (!) in cui lβatomo era costituito da una carica positiva distribuita uniformemente in tutto lo spazio occupato da esso e in cui gli elettroni si trovavano immersi a distanza tale da minimizzare la loro interazione repulsiva (modello
βplum puddingβ o βpanettoneβ)
4
- Gli spettri ottici (radiazione UV, visibile e infrarossa) di assorbimento da parte di gas illuminato da sorgente bianca o di emissione di luce da parte di gas eccitato (p.e. mediante corrente elettrica), ottenuti da vari autori, mostravano la presenza di βrigheβ di assorbimento o emissione molto nette e dipendenti dallβatomo in esame.
Esperimento di assorbimento
Esperimento di emissione
5
Dallβanalisi di questi spettri ottici erano state trovate delle formule empiriche:
ππ = ππππππππ ππ2
ππ2 β ππ02 ππ = ππ0 + 1, ππ0+ 2, ππ0+ 3, β¦ Dove:
Lyman (UV): n0 = 1, Ξ»lim = 911 Γ Balmer (Vis): n0 = 2, Ξ»lim = 3646 Γ Pachen (IR): n0 = 3, Ξ»lim = 8201 Γ Brackett (IR): n0 = 4, Ξ»lim = 14588 Γ Pfund (IR): n0 = 5, Ξ»lim = 22794 Γ
Un altro modo di identificare le righe Γ¨ stato quello mediante il vettore dβonda k:
ππ = 1ππ con Ξ»= lunghezza dβonda
6
dove
RH = costante di Rydberg = ππππ4
64ππ3ππ02β3ππ 1.097x107 m-1
7
Problemi aperti
- Se gli elettroni si trovano βintornoβ al nucleo, perchΓ© non βcadonoβ su di esso ?
- Se gli elettroni, per non cadere nel nucleo, ruotano intorno ad esso (come i pianeti intorno al sole) perchΓ© non emettono onde elettromagnetiche ?
Infatti se un elettrone ruota intorno al nucleo Γ¨ soggetto ad una forza centripeta: πΉπΉ = ππ ππππ = ππ π£π£ππ2 dove v= velocitΓ , r= raggio dellβorbita.
Ma una carica elettrica soggetta ad una accelerazione emette onde elettromagnetiche di potenza : ππ = 6ππππππ2ππ2
0ππ3
(eq. di Larmor), valida per lβelettromagnetismo classico
Se un elettrone emette con continuitΓ onde elettromagnetiche deve perdere energia e cadere nel nucleo, ma gli atomi sono stabili!
- Come si spiegano gli spettri di emissione ed assorbimento ottici di gas ?
- Se gli elettroni ruotano intorno al nucleo dovrebbero emettere spettri continui e non discreti
- In un insieme grande di atomi, gli elettroni dovrebbero avere energie cinetiche diverse e quindi emettere onde e.m. diverse.
8
Modello di Bohr
Nils Bohr (1913 Cambridge, UK, Nobel 1922), per spiegare gli spettri di emissione ed assorbimento di atomi propose un modello di atomo ipotizzando i seguenti postulati (validi per un atomo con 1 solo elettrone):
1) Lβelettrone in un atomo ruota attorno al nucleo, per effetto della forza di Coulomb, compiendo orbite circolari e seguendo le leggi della meccanica classica;
2) Le uniche orbite permesse sono quelle per cui il momento angolare totale Γ¨ un multiplo intero della costante di Planck divisa per 2Ο: πΏπΏ = ππβ2ππ = ππβ dove β = 2ππβ ;
3) Nonostante lβelettrone sia soggetto ad una accelerazione costante, durante il moto di rivoluzione intorno al nucle non emette onde elettromagnetiche ma la sua energia rimane costante;
4) Si ha emissione di onde elettromagnetiche quando un elettrone in un orbita con energia totale Ei passa improvvisamente ad unβorbita con energia totale Ef e la frequenza dellβonda elettromagnetica emessa Γ¨ data da:
ππ = πΈπΈππ β πΈπΈππ β
9
Per calcolare le energie dellβelettrone utilizziamo le equazioni della fisica classica, uguagliando la forza di Coulomb tra elettrone e nucleo a distanza r alla forza centripeta:
1 4ππππ0
ππ2
ππ2 = ππ π£π£2 ππ
Dallβequazione sul momento angolare (o momento della quantitΓ di moto):
πΏπΏοΏ½β = ππβ Γ ππβ = ππβ Γ πππ£π£β οΏ½πΏπΏοΏ½βοΏ½ = |ππβ Γ πππ£π£β| = πππππ£π£ π π π π ππ(ππ) dove ΞΈ = angolo tra i vettori ππβ π π π£π£β .
Nel caso di un moto circolare ππβ π π π£π£β sono perpendicolari quindi ΞΈ=Ο/2 e, di conseguenza, π π π π ππ(ππ) = 1 Pertanto si ha che: πΏπΏ = πππππ£π£
Utilizzando il 2Β° postulato di Bohr (πΏπΏ = ππβ, ππππππ ππ = 1,2,3. . ) si ha che: πππππ£π£ = ππβ Abbiamo pertanto 2 equazioni con 2 incognite, r e v.
Risolvendo il sistema:
οΏ½ 1 4ππππ0
ππ2
ππ2 = ππ π£π£2 πππππ£π£ = ππβ ππ
οΏ½ Si ottengono:
π£π£ππ = ππ2
4ππππ0ππβ ππππ = 4ππππ0ππ2β2
ππππ2 ππ = 1,2,3..
10
Per n=1 r1 = 5.3x10-11 m = 0.053 nm = a0 raggio di Bohr Per calcolare lβenergia totale dellβelettrone:
πΈπΈ = πΈπΈππ + πΈπΈππ
πΈπΈππ = 1
2 ππ π£π£2 = 1 8ππππ0
ππ2 ππ πΈπΈππ(ππ) = οΏ½ πΉπΉ ππππππ
β = 1
4ππππ0 οΏ½ ππ2
ππ2 ππππ = ππ2 4ππππ0
ππ
β οΏ½ 1
ππ2 ππππ = ππ2 4ππππ0
ππ
β (β1
ππ)οΏ½
β
ππ = β 1 4ππππ0
ππ2 ππ
πΈπΈ = πΈπΈππ + πΈπΈππ = 1 8ππππ0
ππ2
ππ β 1 4ππππ0
ππ2
ππ = β 1 8ππππ0
ππ2 ππ
Sostituendo al valore del raggio quello determinato prima si ottiene lβenergia totale dellβelettrone in funzione del numero intero n:
πΈπΈππ = β 1 8ππππ0
ππ2
ππ = β 1
8ππππ0 ππ2 ππππ2
4ππππ0ππ2β2 = β ππππ4
32ππ2ππ02ππ2β2 = β ππππ4 32ππ2ππ02β2
1 ππ2 Questo Γ¨ un altro esempio di quantizzazione dellβenergia, dopo quello dellβoscillatore armonico di Planck.
11
In fisica atomica lβenergia si esprime in elettronvolt (eV) che corrisponde allβenergia acquistata da un elettrone quando Γ¨ soggetto ad una differenza di potenziale di 1 volt, e, rispetto ai joule, la conversione Γ¨:
1 π π ππ = 1.6 Γ 10β19 π½π½
Usando gli eV lβenergia per lβelettrone nel atomo di idrogeno nel modello di Bohr Γ¨ data da:
πΈπΈππ = β13.6 ππ2 π π ππ
Lo stato per n=1 Γ¨ detto βstato fondamentaleβ, quelli per n>1 sono detti stati eccitati.
Energie dei livelli energetici quantizzati calcolati mediante il modello di Bohr in eV e in erg (1erg = 10-7 J)
12
Per verificare le righe di emissione ed assorbimento osservate negli spettri dellβidrogeno bisogna applicare la legge suggerita da Bohr:
ππ = πΈπΈππ β πΈπΈππ β
Per esempio calcoliamo la lunghezza dβonda per la transizione dallo stato n=2 allo stato n=1 (emissione):
πΈπΈ1 = β13.612 = β13.6 π π ππ, πΈπΈ2 = β13.622 = β 3.4 π π ππ (h = 6.67 Γ 10β34 π½π½π π = 4.14 Γ 10β15 π π ππ π π )
ππ2β1 = πΈπΈ2 β πΈπΈ1
β = β3.4 + 13.6
4.1 Γ 10β15 = 2.49 Γ 1015π π β1 ππ = ππ
ππ = 3 Γ 108
2.49 Γ 1015 = 1.205 Γ 10β7ππ = 1.205 Γ 102 ππππ = 120.5 ππππ Dalla serie di Lyman per n=2: ππ = ππππππππ ππ2
ππ2β ππ02 = 91.1222β 12 2 = 121.5 ππππ = 1215 β«
Righe di emissione delle varie serie sperimentali e modello di Bohr.
13
La verifica sperimentale della quantizzazione dellβenergia in un atomo avvenne con lβesperimento di Franck-Hertz (esp. 1914, Nobel 1025) che utilizzarono lβurto di elettroni accelerati con atomi di mercurio in un tubo da vuoto (non idrogeno perchΓ© si forma facilmente la molecola H2)
Sperimentalmente a certi valori di potenziale applicato ( e, quindi di energia cinetica degli elettroni) la corrente di elettroni raccolta al plate (P) crolla bruscamente. Questa energia corrisponde allβenergia necessaria per far fare agli atomi in uno stato del mercurio la transizione verso uno stato vuoto (4.9 eV da n=1 a n=2)
I picchi successivi sono eccitazioni multiple (9.8=4.9x2, 14.7= 4.9x3)
Il modello di Bohr Γ¨ utilizzabile anche per gli atomi βidrogenoidiβ cioΓ¨ atomi con piΓΉ protoni (Z>1) ma con 1 solo elettrone: He+, Li2+β¦
In questi casi nelle formule si sostituisce βZq2β al posto di βq2β.
14
Per collegare la nuova teoria βquantisticaβ (ora nota invece come βold quantum theoryβ per distinguerla da quella successiva, molto piΓΉ rigorosa) con la fisica classica (la cui validitΓ era stata ampiamente dimostrata nel mondo macroscopico) Bohr nel 1923 introdusse il βPrincipio di Corrispondenzaβ:
- Un sistema quantistico deve corrispondere al sistema classico nel limite di nββ, essendo n il numero quantico che descrive lo stato del sistema quantistico.
- Le regole che descrivo la transizione tra due stati quantistici devono valere per tutti i numeri quantistici. Pertanto se vale nel limite classico (nββ) deve valere anche nel limite quantistico (piccoli n)
Come esempio prendiamo lβemissione di onde e.m. da parte di una atomo di idrogeno:
dal punto di vista classico la frequenza di emissione Γ¨ pari alla frequenza di rotazione dellβelettrone intorno allβatomo:
π£π£ = 2ππππ
ππ , ππ = 1
ππ β ππ = π£π£
2ππππ = 1 2ππ
ππππ2 4ππππ0ππ2β2
ππ2
4ππππ0ππβ = οΏ½ 1
4ππππ0οΏ½2 ππππ4 4ππβ3
2 ππ3 Dalla teoria di Bohr:
ππ = πΈπΈππ β πΈπΈππ
β = οΏ½ ππππ4 32ππ2ππ02β2
1
ππππ2 β ππππ4 32ππ2ππ02β2
1 ππππ2οΏ½1
β = οΏ½ 1
4ππππ0οΏ½2 ππππ4 4ππβ3 οΏ½ 1
ππππ2 β 1 ππππ2οΏ½
Se questa regola vale per ogni n piccolo in particolare vale per ππππ β ππππ = 1. Pertanto, se ππππ = ππ, ππππ = ππ β 1 :
οΏ½ 1
ππππ2 β 1
ππππ2οΏ½ = οΏ½ 1
ππ2 β 1
(ππ β 1)2οΏ½ = οΏ½(ππ β 1)2 β ππ2
ππ2(ππ β 1)2 οΏ½ = οΏ½ 2ππ β 1 ππ2(ππ β 1)2οΏ½ Per nββ 2ππ β 1~2ππ π π ππ2(ππ β 1)2~ππ4 , pertanto abbiamo che:
15
οΏ½1
ππππ2 β 1
ππππ2οΏ½ = οΏ½ 2ππ β 1
ππ2(ππ β 1)2οΏ½ ~ 2ππ
ππ4 = 2 ππ3 Quindi:
ππ = πΈπΈππ β πΈπΈππ
β = οΏ½ 1
4ππππ0οΏ½2 ππππ4 4ππβ3 οΏ½ 1
ππππ2 β 1
ππππ2οΏ½ = οΏ½ 1
4ππππ0οΏ½2 ππππ4 4ππβ3
2 ππ3 Come nel caso classico.
Principali limiti del modello di Bohr (giΓ noti al tempo del modello):
1. Non funziona per atomi a piΓΉ elettroni
2. Non spiega i multipletti (righe osservate sperimentalmente molto vicine tra loro) 3. Non da indicazioni sullβintensitΓ delle righe
16
Teoria di de Broglie
Nel 1924 Luis de Broglie (Parigi, Nobel 1929), durante la tesi di dottorato (!!!), alla luce della teoria di Einstein sulla natura corpuscolare della luce (fotoni), della conferma sperimentale di questa teoria da parte di Compton (1923) e della teoria di Bohr, propose la possibilitΓ di interpretare le particelle come onde assegnando loro la lunghezza dβonda:
ππ = β ππ essendo p la quantitΓ di moto della particella in esame.
La dimostrazione sperimentale di questa teoria Γ¨ stata data nel 1927 da Davisson e Germer (Bell Labs, USA, 1927, Davisson Nobel 1937). Nel loro esperimento inviarono sulla superficie di un cristallo di nichel elettroni di energia cinetica Ek=54 eV osservando un picco a circa 50Β° nella distribuzione degli elettroni riflessi.
Schema dellβesperimento
di Davisson-Germer Risultato dellβesperimento
di Davisson-Germer
17
Questo esperimento Γ¨ molto simile a quello, allβepoca giΓ noto, della diffrazione da cristallo mediante raggi X.
Nel caso dei raggi X, i fotoni penetrano i vari strati atomici e subiscono una parziale riflessione da ognuno degli strati.
Si ha una interferenza costruttiva delle onde se la differenza di cammino ottico Γ¨ un multiplo intero della lunghezza dβonda usata (legge di Bragg, 1913, Nobel 1915 a William Henry Bragg (padre) e William Lawrence Bragg (figlio)):
2πππ π π π ππππ = ππππ ππππππ ππ = 1,2,3. . ππ = πππππ π ππππππππππ ππππππ ππ ππππππππππ.
Nel caso degli elettroni, poichΓ© interagiscono fortemente con la materia, questi sono riflessi sostanzialmente solo dal 1Β° strato atomico, pertanto la relazione per unβinterferenza costruttiva Γ¨
πππ π π π ππππ = ππππ ππππππ ππ = 1,2,3. . ππ = πππππ π ππππππππππ ππππππ ππππππ ππππππππππ πππ π ππ ππππππππππ
18
Usando i raggi X era noto che la distanza tra gli atomi Γ¨ d=2.15 Γ . Per n=1, applicando la relazione per la interferenza costrittiva degli elettroni:
ππ = ππ π π π π ππππ = 2.15 π π π π ππ(50Β°) = 1.65 β«
Calcoliamo ora, usando la teoria di de Broglie, la lunghezza dβonda degli elettroni con Ek=54 eV:
ππ = β
ππ = β
πππ£π£ = β
οΏ½2πππΈπΈππ = 6.63 Γ 10β34
β2 Γ 9.11 Γ 10β31 Γ 54 Γ 1.6 Γ 10β19 = 0.167 Γ 10β9 ππ = 1.67 β« Quindi la teoria di de Broglie Γ¨ in accordo con il risultato dellβesperimento di diffrazione.
Questo esperimento Γ¨ stato successivamente ripetuto con elettroni di alta energia (104 eV) che attraversavano un sottile (10-7 m) foglio metallico (1927 George Paget Thomson, Nobel 1937, figlio di Joseph John Thomson, Nobel 1906 per la scoperta dellβelettrone: il padre dimostrΓ² che i βraggi catodiciβ sono particelle, gli elettroni, e il figlio che gli elettroni sono onde !!).
Diffrazione da elettroni di un foglio di oro (sinistra) e da raggi X di ossido di zirconio, ZrO2 (destra)
19
PerchΓ© questa natura ondulatoria della materia non si osserva normalmente ? Facciamo due conti:
a) automobile (m=103 kg) che viaggia a 36 km/h (10m/s):
ππ = β
ππ = β
πππ£π£ = 6.63 Γ 10β34
103 Γ 10 = 6.63 Γ 10β34
104 = 6.63 Γ 10β38 ππ βΌ b) m =1 g che viaggia a 100 m/s:
ππ = β
ππ = β
πππ£π£ = 6.63 Γ 10β34
10β3 Γ 102 = 6.63 Γ 10β34
10β1 = 6.63 Γ 10β33 ππ βΌ c) m =1 ng (10-12 kg) che viaggia a 100 m/s:
ππ = β
ππ = β
πππ£π£ = 6.63 Γ 10β34
10β12 Γ 102 = 6.63 Γ 10β34
10β10 = 6.63 Γ 10β24 ππ βΌ
Per tutti questi tre casi non esiste un modo sperimentale (usando per esempio lβinterferenza) per osservare la natura ondulatoria delle tre βparticelleβ a causa della lunghezza dβonda estremamente piccola.
Quindi la natura ondulatoria della materia puΓ² essere evidenziata solo per particelle con massa molto piccola, tale che mv β€ 10-23 kg m s-1 per cui Ξ» β₯ 10-10 m (1 Γ ) (notare che, essendo v<c, 3x108 ms-1, dobbiamo avere masse molto piccole, m ~ 10-31 kg)
20
Un interessante collegamento tra la teoria di Bohr e di de Broglie:
da Bohr: πΏπΏ = ππππ = ππβ β ππ = ππβππ
da de Broglie: ππ = βππ β ππ = βππ Pertanto:
ππ = ππβ ππ = β
ππ β ππ β
ππ 2ππ = β
ππ β ππππ = 2ππππ
Quindi le orbite dellβelettrone permesse dal modello di Bohr (πΏπΏ = ππβ) sono quelle per cui la lunghezza dellβorbita Γ¨ un multiplo intero della lunghezza dβonda associata allβelettrone!
Abbiamo pertanto onde stazionarie, come quelle permesse, per esempio, in meccanica per una corda fissa agli estremi.
21
I risultati sperimentali e le teorie riportate hanno mostrato quindi la natura βdualeβ sia della luce (Einstein, Compton) che della materia (de Broglie, Devisson-Germer).
Bohr introdusse il βprincipio di complementarietΓ β (1927): Lβaspetto ondulatorio e particellare della luce e delle particelle sono inscindibili, nel senso che per una completa comprensione dei fenomeni coinvolgenti queste entitΓ Γ¨ necessario considerare le due nature. Inoltre nessun esperimento potrΓ mostrare contemporaneamente le due nature ma solo una delle due. Per esempio se in un esperimento con due fenditure, con il quale possiamo osservare un fenomeno di interferenza (natura ondulatoria), vogliamo determinare attraverso quale fenditura passa il fotone con un sistema di misura qualunque (natura corpuscolare) lβimmagine di interferenza scompare.
22
Principio di indeterminazione
Dalla teoria di de Broglie, che introdusse lβidea dellβinterpretazione ondulatoria della materia, nacque il problema di come unβonda potesse in qualche modo dare indicazione sulla posizione di una particella.
Nella figura Γ¨ mostrata la forma ragionevole di unβonda che deve rappresentare una particella localizzata in una zona di spazio limitata.
Unβonda puramente sinusoidale che si propaga nello spazio (direzione x, verso positivo) della forma:
ππ(π₯π₯, ππ) = π΄π΄ π π π π ππ (πππ₯π₯ β ππππ + ππ) dove :
ππ = 2ππ
ππ (ππ = πππππππ π ππππ ππβ²ππππππππ, ππ = ππππππππβπ π ππππππ ππβ²ππππππππ) ππ = 2ππππ = 2ππ
ππ (ππ = πππππππ π πππππππππππ π , ππ = πππππ π πππππ π ππππππ, ππ = πππ π ππππππππππ) ππ = πππππ π π π πππ π ππ π₯π₯ = 0 π π ππ = 0
π£π£ = ππ
ππ π£π£π π ππππππππππΓ ππππ πππππππππππππππππππππππ π
non puΓ² rappresentare una particella localizzata nello spazio, perchΓ© definita da +β a -β (sia nello spazio che nel tempo).
23
Per ottenere una funzione dβonda che sia localizzata nello spazio si puΓ² ricorrere alla teoria di Fourier che considera la somma di diverse funzioni sinusoidali per costruire altre funzioni.
Per esempio se sommiamo 2 funzioni sinusoidali con la stessa ampiezza ma con k leggermente diversi (10%, curve in alto):
ππ1(π₯π₯) = π΄π΄π π π π ππ(ππ1π₯π₯) ππ2(π₯π₯) = π΄π΄π π π π ππ(ππ2π₯π₯)
si ottiene la curva di sotto, che Γ¨ ancora periodica, ma mostra un andamento con uniforme nello spazio.
Risultati migliori si ottengono sommando molte più funzioni, cioè passando a sommatorie:
ππ(π₯π₯) = οΏ½ π΄π΄ππ
ππ
π π π π ππ(πππ₯π₯) dove i coefficienti Ak dipendono dal tipo di funzione che si voglia ottenere.
24
Di seguito un esempio dellβapprossimazione della funzione βonda quadraβ ottenuta sommando 15 funzioni sinusoidali con opportune ampiezze e numeri dβonda.
Per ottenere una funzione non periodica bisogna passare da sommatorie ad integrali:
ππ(π₯π₯) = οΏ½ π΄π΄(ππ)β
0 π π π π ππ(πππ₯π₯)ππππ
La forma della A(k), che a questo punto Γ¨ una funzione continua di k, determinerΓ la forma della Ο(x).
Pertanto per aumentare la localizzazione nello spazio della funzione che rappresenta una particella (e quindi diminuire lβincertezza sulla posizione Ξx) Γ¨ necessario aumentare lβintervallo di valori di k da utilizzare, quindi aumentare lβincertezza Ξk.
Una ragionevole stima della relazione tra Ξx e Ξk Γ¨
Ξx Ξk ~1
0 3 6 9 12 15 18 21
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
Onda quadra fondamentale (Ο) 15 termini
IntensitΓ
x
y=4/Ο(sen(kx)+1/3sen(3kx)+1/5sen(5kx)+...)
25
Queste considerazioni sulla necessitΓ di considerare diversi valori di k (quindi di lunghezze dβonda) per poter localizzare una funzione dβonda che possa descrivere una particella rappresentano una dimostrazione qualitativa del principio di indeterminazione di Heisenberg (Copenhagen 1927, aveva 26 anni!!, Nobel 1932).
Questo principio stabilisce che Γ¨ impossibile determinare contemporaneamente la posizione e la quantitΓ di moto di una particella con una indeterminazione nulla:
βπ₯π₯ βπππ₯π₯ β₯ β Ovviamente questo vale per tutte e tre le componenti, x,y,z.
Nel passaggio da Ξx Ξk ~1 a βπ₯π₯ βπππ₯π₯ β₯ β cβΓ¨ la relazione di de Broglie:
ππ = β
ππ β ππ = β
ππ = β 2ππ
2ππ
ππ = βππ Ξπ₯π₯Ξππ = Ξπ₯π₯Ξ οΏ½ππ
βοΏ½ = Ξπ₯π₯Ξp
β = Ξπ₯π₯Ξp β
Ξπ₯π₯Ξππ~1 β Ξπ₯π₯Ξp
β ~1 β Ξπ₯π₯Ξp~ β Unβanaloga formulazione riguarda lβenergia e il tempo:
βπΈπΈ βππ β₯ β
Da sottolineare che queste sono indeterminazioni teoriche e non hanno alcuna relazione con gli errori di misura! Di conseguenza non possono essere ridotte con il miglioramento delle tecniche di misura
26
Equazione di Schroedinger
Nel 1926 Erwin Schroedinger (o SchrΓΆdinger, Zurigo, Nobel 1933) sviluppΓ² le basi analitiche della meccanica quantistica introducendo la famosa equazione di Schroedinger:
β β2
2πποΏ½ππ2Ξ¨(π₯π₯, π¦π¦, ππ, ππ)
πππ₯π₯2 +ππ2Ξ¨(π₯π₯, π¦π¦, ππ, ππ)
πππ¦π¦2 +ππ2Ξ¨(π₯π₯, π¦π¦, ππ, ππ)
ππππ2 οΏ½ + ππ(π₯π₯, π¦π¦, ππ, ππ)Ξ¨(π₯π₯, π¦π¦, ππ, ππ) = ππβππΞ¨(π₯π₯, π¦π¦, ππ, ππ)
ππππ dove:
m= massa della particella
Ξ¨(π₯π₯, π¦π¦, ππ, ππ) = funzione dβonda rappresentativa della particella (di cosa lo vedremo dopo)
ππ2Ξ¨(π₯π₯,π¦π¦,π§π§,π‘π‘)
πππ₯π₯2 = derivata seconda parziale della funzione dβonda ππ (che dipende dalle 4 variabili x,y,z,t) rispetto ad x, cioΓ¨ si fa la derivata seconda della funzione Ξ¨ rispetto ad x, considerando le altre variabili y,z,t come costanti
ππ(π₯π₯, π¦π¦, ππ, ππ) = funzione energia potenziale i= immaginario = ββ1
Se lβenergia potenziale V non dipende dal tempo (molto spesso) e considerando il caso mono-dimensionale lβequazione di Schroedinger si scrive nel seguente modo:
β β2 2ππ
ππ2ππ(π₯π₯)
πππ₯π₯2 + ππ(π₯π₯)ππ(π₯π₯) = πΈπΈ ππ(π₯π₯)
27
dove E= energia totale del sistema (numero!). Notare che abbiamo sostituiti il simbolo Ξ¨ (funzione dβonda, che contiene anche lβeventuale dipendenza temporale) con il simbolo ππ (soluzione dellβequazione indipendente dal tempo). Le due funzioni sono tra loro collegate ma non discuteremo questo aspetto.
Risolvere lβequazione di Schroedinger vuol dire, dato una funzione energia potenziale U(x), trovare la funzione ππ(π₯π₯) e lβenergia E della particella.
Questa Γ¨ una equazione differenziale. Lβenergia E Γ¨ detta autovalore e ππ(π₯π₯) Γ¨ detta autofunzione (dal tedesco-inglese eigenvalue e eigenfunction, eigen=caratteristico, proprio).
Lβautofunzione si determina utilizzando la teoria delle equazioni differenziali mentre lβautovalore E si determina in generale imponendo le cosiddette βcondizioni al contornoβ.
In forma compatta lβequazione di Schroedinger si scrive come:
π»π»(π₯π₯)ππ(π₯π₯) = πΈπΈππ(π₯π₯)
dove H = operatore Hamiltoniano (o Hamiltoniana) Γ¨ una funzione (operatore) che rappresenta lβenergia del sistema Il significato dellβautofunzione ππ(π₯π₯) venne suggerito da Max Born (1926 GΓΆttingen, Nobel 1954):
ππ(π₯π₯)πππ₯π₯ = ππβ(π₯π₯)ππ(π₯π₯)πππ₯π₯ = |ππ(π₯π₯)|2πππ₯π₯ = ππππππππππππππππππππΓ ππππ πππππππ£π£πππππ π ππππ πππππππππππππ π ππππππ ππππππ π₯π₯ π π π₯π₯ + πππ₯π₯ Nel caso tridimensionale si ha che:
ππ(π₯π₯, π¦π¦, ππ)πππ₯π₯πππ¦π¦ππππ = ππβ(π₯π₯, π¦π¦, ππ)ππ(π₯π₯, π¦π¦, ππ)πππ₯π₯πππ¦π¦ππππ = |ππ(π₯π₯, π¦π¦, ππ)|2πππ₯π₯πππ¦π¦ππππ
= ππππππππππππππππππππΓ ππππ πππππππ£π£πππππ π ππππ πππππππππππππ π ππππππ ππππππ π₯π₯ π π π₯π₯ + πππ₯π₯, π¦π¦ π π π¦π¦ + πππ¦π¦, ππ π π ππ + ππππ
28
La funzione ππβ(π₯π₯) Γ¨ detta βcomplessa coniugata della funzione ππ(π₯π₯). CioΓ¨, poichΓ© la ππ(π₯π₯) puΓ² essere una funzione complessa, la ππβ(π₯π₯) si ottiene dalla ππ(π₯π₯) cambiando il segno davanti al termine immaginario βiβ. Nel caso in cui ππ(π₯π₯) sia reale ππβ(π₯π₯) e ππ(π₯π₯) sono uguali.
Dalla definizione di probabilitΓ (il valore massimo Γ¨ 1) si ottiene la condizione di βnormalizzazioneβ delle funzioni dβonda:
οΏ½ ππ(π₯π₯)πππ₯π₯β
ββ = οΏ½ |ππ(π₯π₯)|β 2 πππ₯π₯
ββ = 1
Pertanto le funzioni ππ(π₯π₯) sono sempre moltiplicate per un coefficiente che si determina imponendo, al termine del problema, la condizione di normalizzazione della ππ(π₯π₯).
Lβovvia estensione al caso tridimensionale:
οΏ½ ππ(π₯π₯, π¦π¦, ππ)πππ₯π₯πππ¦π¦ππππβ
ββ = οΏ½ |ππ(π₯π₯, π¦π¦, ππ)|β 2πππ₯π₯πππ¦π¦ππππ
ββ = 1
Per calcolare la probabilitΓ di trovare la particella in un generico intervallo (a,b), sempre nel caso mono-dimensionale,:
ππ(ππ, ππ) = οΏ½ |ππ(π₯π₯)|ππ 2πππ₯π₯
ππ
29
Questa interpretazione βprobabilisticaβ Γ¨ in forte contrasto con la fisica classica βdeterministicaβ dove, conoscendo la posizione e la velocitΓ iniziali, risolvendo lβequazione del moto di una particella (lβeq. di Newton) si ottengono, per ogni istante di tempo t, la posizione e lβenergia della particella.
La teoria probabilistica della funzione dβonda Γ¨ nota come βinterpretazione di Copenhagenβ, dovuta alla formulazione data da Bohr. Allβepoca non tutti i fisici concordavano con questa teoria, tra questi Einstein che disse:
βDio non gioca a dadi con lβuniversoβ
30
Esempi di equazione di Schroedinger: buca di potenziale a pareti infinite
Un esempio semplice, ma che descrive bene i problemi relativi alla soluzione dellβequazione di Schroedinger, Γ¨ il caso della particella in una buca di potenziale monodimensionale (lβestensione a 3D Γ¨ molto semplice), anche detto problema di una particella in una scatola (box).
Lβenergia potenziale in questo problema Γ¨:
ππ = 0 πππ π ππ 0 < π₯π₯ < πΏπΏ ππ = β πππ π ππ π₯π₯ < 0 π π π₯π₯ > πΏπΏ
Pertanto per x<0 e x>L la particella non puΓ² stare quindi ππ(π₯π₯) = 0 Nella buca di potenziale lβequazione di Schroedinger Γ¨:
β β2 2ππ
ππ2ππ(π₯π₯)
πππ₯π₯2 + ππ(π₯π₯)ππ(π₯π₯) = πΈπΈ ππ(π₯π₯) Essendo U(x)= 0 lβequazione si semplifica come segue:
β β2 2ππ
ππ2ππ(π₯π₯)
πππ₯π₯2 = πΈπΈ ππ(π₯π₯) La soluzione Γ¨ ππ(π₯π₯) = π΄π΄ π π π π ππ(πππ₯π₯) + π΅π΅πππππ π (πππ₯π₯)
31
I coefficienti A e B servono per la normalizzazione, il coefficiente k Γ¨ introdotto per motivi dimensionali (lβargomento delle funzioni trigonometriche deve essere adimensionale, quindi [k]=[L-1]) e il suo significato verrΓ determinato successivamente.
Verifichiamo che sia effettivamente la soluzione: facciamo la derivata seconda e sostituiamo nellβequazione:
ππππ(π₯π₯)
πππ₯π₯ = π΄π΄πππππππ π (πππ₯π₯) β π΅π΅πππ π π π ππ(πππ₯π₯) ππ2ππ(π₯π₯)
πππ₯π₯2 = βπ΄π΄ππ2π π π π ππ(πππ₯π₯) β π΅π΅ππ2πππππ π (πππ₯π₯)
β β2
2πποΏ½βπ΄π΄ππ2π π π π ππ(πππ₯π₯) β π΅π΅ππ2πππππ π (πππ₯π₯)οΏ½ = πΈπΈ (π π π π ππ(πππ₯π₯) + π΅π΅πππππ π (πππ₯π₯)) β2
2ππ ππ2οΏ½π΄π΄π π π π ππ(πππ₯π₯) + π΅π΅πππππ π (πππ₯π₯)οΏ½ = πΈπΈ (π π π π ππ(πππ₯π₯) + π΅π΅πππππ π (πππ₯π₯)) Quindi la funzione proposta Γ¨ soluzione dellβequazione per:
β2
2ππ ππ2 = πΈπΈ β ππ = β2πππΈπΈ β
Notare che le singole funzioni: ππ(π₯π₯) = π΄π΄ π π π π ππ(πππ₯π₯) e ππ(π₯π₯) = π΅π΅πππππ π (πππ₯π₯) sono da sole soluzione dellβequazione come si puΓ² verificare. Questa Γ¨ una proprietΓ generale dellβequazione di Schroedinger (equazione lineare): se due funzioni sono soluzioni dellβequazione Γ¨ soluzione anche la loro somma.
32
Per calcolare lβenergia E imponiamo le βcondizioni al contornoβ:
ππ(π₯π₯) = 0 πππ π ππ π₯π₯ = 0 π π πππ π ππ π₯π₯ = πΏπΏ
Infatti, poichΓ© la soluzione deve essere continua (altrimenti la sua derivata non sarebbe finita e non potremmo fare quindi la derivata seconda che compare nellβequazione di Schroedinger) e poichΓ© per x<0 e x>L la funzione deve essere nulla, essa deve essere nulla agli estremi, altrimenti ci sarebbe una discontinuitΓ .
ππ(π₯π₯) = 0 πππ π ππ π₯π₯ = 0 β ππ(0) = π΄π΄ π π π π ππ(ππ0) + π΅π΅πππππ π (ππ0) = π΄π΄ π π π π ππ(0) + π΅π΅πππππ π (0) sen(0)=0 e pertanto soddisfa la condizione richiesta.
Invece cos(0)=1 pertanto dobbiamo avere B=0. Quindi la soluzione ππ(π₯π₯) = π΅π΅ πππππ π (πππ₯π₯) Γ¨ sΓ¬ soluzione dellβequazione ma non soddisfa una delle condizioni al contorno e, pertanto, deve essere scartata.
ππ(π₯π₯) = 0 πππ π ππ π₯π₯ = πΏπΏ β ππ(πΏπΏ) = π΄π΄π π π π ππ(πππΏπΏ) = 0 β πππΏπΏ = ππππ ππππππ ππ = 1,2,3 Abbiamo pertanto una condizione di quantizzazione sui valori di k:
πππΏπΏ = ππππ β ππ = ππππ
πΏπΏ ππππππ ππ = 1,2,3 ππ = 2ππ
ππ = ππππ
πΏπΏ β ππ = 2πΏπΏ
ππ ππππππ ππ = 1,2,3 Non tutte le lunghezze dβonda sono permesse !
La condizione ππ(πΏπΏ) = π΄π΄π π π π ππ(πππΏπΏ) = 0 poteva anche essere soddisfatta con A=0 ma avremmo avuto ππ(π₯π₯) = 0 ovunque e quindi nessuna particella nella scatola.
33
La quantizzazione di k determina anche una quantizzazione dellβenergie:
πΈπΈ = β2
2ππ ππ2 = β2 2πποΏ½ππππ
πΏπΏ οΏ½2 = β2ππ2ππ2
2πππΏπΏ2 ππππππ ππ = 1,2,3..
Indicando con
πΈπΈ0 = β2ππ2
2πππΏπΏ2 β πΈπΈππ = ππ2πΈπΈ0
Rimane da determinare la costante A dalla condizione di normalizzazione:
οΏ½ |ππ(π₯π₯)|β 2 πππ₯π₯
ββ = 1
Nel nostro caso, poichΓ© la ππ(π₯π₯) Γ¨ diversa da zero solo per 0<x<L, lβintegrale diventa:
οΏ½ |ππ(π₯π₯)|πΏπΏ 2 πππ₯π₯
0 = οΏ½ (π΄π΄π π π π ππ(πππ₯π₯))πΏπΏ 2 πππ₯π₯
0 = οΏ½ π΄π΄πΏπΏ 2π π π π ππ2(πππ₯π₯) πππ₯π₯
0 = π΄π΄2οΏ½ π π π π πππΏπΏ 2(πππ₯π₯) πππ₯π₯
0 = 1
PoichΓ©:
οΏ½ π π π π ππ2(πππ₯π₯) πππ₯π₯ = 1 ππ οΏ½πππ₯π₯
2 β π π π π ππ(2πππ₯π₯)
4 οΏ½
Abbiamo che:
34
οΏ½ π π π π πππΏπΏ 2(πππ₯π₯) πππ₯π₯
0 = 1
ππ οΏ½πππΏπΏ
2 β π π π π ππ(2πππΏπΏ)
4 οΏ½
Essendo:
πππΏπΏ = ππππ π π π π π π ππ(2πππΏπΏ) = π π π π ππ οΏ½2ππππ
πΏπΏ πΏπΏοΏ½ = π π π π ππ(2ππππ) = 0 Abbiamo che
οΏ½ π π π π πππΏπΏ 2(πππ₯π₯) πππ₯π₯
0 = 1
ππ οΏ½πππΏπΏ
2 οΏ½ = πΏπΏ 2 Pertanto la condizione di normalizzazione Γ¨:
οΏ½ |ππ(π₯π₯)|πΏπΏ 2 πππ₯π₯
0 = π΄π΄2οΏ½ π π π π πππΏπΏ 2(πππ₯π₯) πππ₯π₯
0 = π΄π΄2πΏπΏ
2 = 1 β π΄π΄2 = 2
πΏπΏ β π΄π΄ = οΏ½2 πΏπΏ
Quindi complessivamente la soluzione per il problema della buca di potenziale a pareti infinite per 0<x<L Γ¨:
ππππ(π₯π₯) = οΏ½2
πΏπΏπ π π π ππ οΏ½ππππ
πΏπΏ π₯π₯οΏ½ ππππππ ππππ = 2πΏπΏ
ππ πΈπΈππ = β2ππ2ππ2
2πππΏπΏ2 πππ π ππ ππ = 1,2,3 β¦
35
Nella figura sono mostrate le soluzione del problema della particella nella buca di potenziale a pareti infinite.
La linea continua indica la ππππ(π₯π₯), la linea tratteggiata la probabilitΓ , ππππ2(π₯π₯), lβasse verticale indica le energie per le varie soluzioni (stati).
La soluzione per n=1, a cui corrisponde il minimo di energia, Γ¨ detto stato fondamentale (o ground state).
Gli stati per n>1 sono detti stati eccitati.
36
Se si vuole determinare la probabilitΓ che la particella sia in un determinato intervallo, (x1, x2) si deve calcolare lβintegrale della funzione di probabilitΓ in quellβintervallo.
Per esempio per determinare la probabilitΓ di trovare la particella nello stato fondamentale nellβintervallo 0,L/4:
ππ1οΏ½0,πΏπΏ
4οΏ½ = οΏ½ ππ12(π₯π₯)πππ₯π₯ = οΏ½ 2
πΏπΏπ π π π ππ2οΏ½ππ
πΏπΏπ₯π₯οΏ½ πππ₯π₯
πΏπΏ/4
0 =
πΏπΏ/4 0
2
πΏπΏοΏ½ π π π π ππ2οΏ½ππ
πΏπΏπ₯π₯οΏ½ πππ₯π₯
πΏπΏ/4 0
PoichΓ©:
οΏ½ π π π π ππ2(πππ₯π₯) πππ₯π₯ = 1 ππ οΏ½πππ₯π₯
2 β π π π π ππ(2πππ₯π₯)
4 οΏ½
Avremo:
ππ1οΏ½0,πΏπΏ
4οΏ½ = 2
πΏπΏοΏ½ π π π π ππ2 οΏ½ππ
πΏπΏπ₯π₯οΏ½ πππ₯π₯
πΏπΏ/4
0 = 2
πΏπΏ πΏπΏ ππ οΏ½1
2 ππ
πΏπΏπ₯π₯ βπ π π π ππ οΏ½2 πππΏπΏ π₯π₯οΏ½
4 οΏ½
0 πΏπΏ/4
= 2 πποΏ½ππ
8 β 1
4οΏ½ ~0.09 = 9%
37
Esempi di equazione di Schroedinger: barriera di potenziale
Un altro esempio molto interessante, soprattutto per alcune conseguenze assolutamente non previste dalla fisica classica, Γ¨ il caso di una particella, proveniente da sinistra (x<0), che incontra un gradino di potenziale.
In questo caso lβenergia potenziale Γ¨:
ππ = 0 πππ π ππ π₯π₯ < 0 π π π₯π₯ > ππ ππ = ππππ πππ π ππ 0 < π₯π₯ < ππ
Dividiamo quindi il problema in 3 sotto-problemi:
β β2 2ππ
ππ2ππ1(π₯π₯)
πππ₯π₯2 = πΈπΈ ππ1(π₯π₯) πππ π ππ π₯π₯ < 0
β β2 2ππ
ππ2ππ2(π₯π₯)
πππ₯π₯2 + ππ0ππ2(π₯π₯) = πΈπΈ ππ2(π₯π₯) πππ π ππ 0 < π₯π₯ < ππ
β β2 2ππ
ππ2ππ3(π₯π₯)
πππ₯π₯2 = πΈπΈ ππ3(π₯π₯) πππ π ππ π₯π₯ > ππ
38
Possiamo avere 2 casi a seconda se la particella incidente ha energia cinetica E> U0 o E < U0. Partiamo dal caso semplice: E> U0
Per x<0 abbiamo una particella libera che si muove da sinistra verso destra.
La soluzione (la cui validitΓ si puΓ² verificare sostituendola nellβequazione di Schroedinger) si scrive nel seguente modo:
ππ1(π₯π₯) = π΄π΄π π ππππ1π₯π₯ + π΅π΅π π βππππ1π₯π₯ con ππ1 = β2ππππβ
La funzione esponenziale complessa π π πππππ₯π₯ rappresenta unβonda viaggiante da sinistra verso destra mentre la funzione π π βπππππ₯π₯ rappresenta unβonda viaggiante da destra verso sinistra. La prima rappresenta lβonda associata allβelettrone
βincidenteβ, la seconda lβonda riflessa dalla barriera.
La funzione complessa π π πππππ₯π₯ si puΓ² ricondurre a funzioni trigonometriche mediante la formula di Eulero:
π π πππ₯π₯ = cos(π₯π₯) + πππ π π π ππ(π₯π₯)
Per 0<x<a abbiamo una particella che si muove allβinterno di un potenziale costante e la soluzione si scrive come:
ππ2(π₯π₯) = πΆπΆπ π ππππ2π₯π₯ + π·π·π π βππππ2π₯π₯ con ππ2 = οΏ½2ππ(ππβππβ 0)
Infine per x>a la soluzione Γ¨: ππ3(π₯π₯) = πΉπΉπ π ππππ3π₯π₯ + πΊπΊπ π βππππ3π₯π₯ con ππ3 = β2ππππβ