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Capitolo 1 Modelli del sistema muscolo-scheletrico dell'arto superiore

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Capitolo 1

Modelli del sistema

muscolo-scheletrico dell'arto

superiore

Nell'ultimo ventennio sono stati proposti in letteratura diversi modelli del sistema muscolo-scheletrico della spalla.

Lo scopo di tali modelli è quello di fornire una rappresentazione cinema-tica dell'arto superiore ed in particolare del complesso dell'articolazione di spalla (shoulder rhythm), una stima delle forze dei muscoli e di reazione dei giunti in funzione della posizione di lavoro e del carico esterno.

Uno degli aspetti più critici in tali modelli è la denizione di uno schema in grado di replicare fedelmente con un modello, lo shoulder rhythm presente in un movimento naturale della spalla.

Generalmente sono sistemi che risolvono problemi di cinematica e dina-mica inversa, dato che la posizione e la forza agente sul braccio (end-eector) è più facilmente accessibile.

In questo capitolo verrà presentato lo stato dell'arte riguardante i mo-delli del sistema muschelo-scheletrico del meccanismo di spalla, suddivisi in modelli cinematici di letteratura e modelli implementati su software.

1.1 Modelli di letteratura

Per denire un modello biomeccanico del meccanismo di spalla, è ne-cessario prima denire un modello cinematico e conoscere il movimento o lo shoulder rhythm da simulare. `E inoltre necessario, scegliere un modello muscolare da adottare, per poter valutare le forze esercitate dai muscoli e determinare le reazione ai giunti.

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CAPITOLO 1. MODELLI ARTO SUPERIORE 2

1.1.1 Modello cinematico

Per valutare la mobilità dello scheletro si può considerare individualmen-te la vera mobilità di ciascun giunto e successivamenindividualmen-te, l'inindividualmen-terdipendenza indotta dai vari loop che si generano nel modello.

Per la maggior parte dei giunti, il movimento relativo tra le ossa è una combinazione di rotolamento e di scorrimento delle aree di contatto. Nel caso dei giunti della spalla (steno-clavicolare, acromio-clavicolare, gleno-omerale), generalmente, le traslazioni risultano trascurabili rispetto alle rotazioni, e quindi tali articolazioni sono schematizzabili come giunti ball and socket a tre gradi di libertà.

Una relazione più particolare si ha tra la scapola e il torace, nel giunto scapola-torace (ST) in cui il margine mediale della scapola si muove come se fosse vincolato a scorrere sul torace. Per descrivere questo vincolo possono essere utilizzate tre tipologie di contatto tra scapola e torace: contatto pun-tuale, tangenza lineare e tangenza planare. La modellizzazione utilizzata per rappresentare tali condizioni di moto è la seguente:

• il contatto puntuale è schematizzato con un 5-DOF top1(gura 1.1(a)); • la tangenza lineare è schematizzata con un 4-DOF dipod (gura 1.1(b)); • la tangenza planare è schematizzata con un 3-DOF tripod (gura 1.1(c)).

Figura 1.1: Modelli:(a) 5-DOF top, (b) 4-DOF dipod, (c) 3-DOF tripod. Per scegliere un'opportuna rappresentazione del giunto ST, è necessario considerare nel complesso l'assemblaggio del meccanismo di spalla.

In letteratura si possono trovare diverse modellizzazioni del sistema della spalla e dell'arto superiore, ogni autore fornisce una propria schematizzazione di links e giunti utilizzati.

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Uno dei più noti è il `Delft Shoulder and Elbow Model' (DSEM), svilup-pato a partire dal modello ad elementi niti di Van der Helm et al.[20, 1]. Le parti del sistema di spalla schematizzate sono: il torace, la clavicola, la scapola e l'omero. In questo modello viene dato rilievo alla relazione scapola-torace. Nella versione iniziale del modello DSEM di Van der Helm et al.[20, 19], viene considerata solo la spalla quindi in realtà si parla di `Delft Shoulder Model' (DSM).

Il giunto ST viene modellato con un 4-DOF dipod vincolato a scorrere sul torace, schematizzato con un ellisoide (gura 1.2).

Figura 1.2: Modello della spalla di Van der Helm et al.[20, 19], dove SC e AC sono schematizzati come giunti ball and socket e ST con un 4-DOF dipod.

Il modello ad elementi niti complessivo proposto da Van der Helm et al.[20], può essere rappresentato come riportato nella gura sottostante.

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CAPITOLO 1. MODELLI ARTO SUPERIORE 4

Complessivamente, il meccanismo di spalla di Van der Helm et al.[19] ha 7 gradi di libertà, quattro per lo shoulder girdle e tre per il giunto gleno-omerale. In realtà però, l'autore non considera la rotazione assiale della clavicola. Ciò fa ridurre i gradi di libertà complessivi dello shoulder girdle a tre.

Le variabili di input del modello derivano da studi di registrazione del mo-vimento. Prima sono stati individuati i punti di riferimento del meccanismo della spalla e successivamente è stata registrata la loro posizione utilizzan-do un `tastatore' (o palpatore)2. Da tali punti di riferimento si può risalire

all'orientamento delle ossa.

I movimenti dell'omero analizzati nella simulazione sono: abduzione senza carico (ABU), abduzione con carico (ABL), anteessione senza carico (ANU) e anteessione con carico (ANL).

Gli output del modello sono gli orientamenti risultanti della clavicola e della scapola, e le forze muscolari necessarie per controbilanciare il carico esterno.

La rotazione delle ossa è stata descritta usando gli angoli di Eulero, ossia mediante tre rotazioni successive attorno ad assi perpendicolari, a partire da una posizione di riferimento virtuale.

Al modello ad elementi niti di Van der Helm et al.[19] è stata succes-sivamente aggiunta la parte di modellizzazione del gomito, ottenendo così il modello DSEM [1]. Il numero di gradi di libertà totali di questa nuova versione del modello fornita da Nikooyan et al., sono diciassette, sei per il

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torace, tre per lo shoulder girdle, tre per il giunto gleno-omerale, due per il gomito, e tre per il polso. Il torace viene considerato come una base che si muove.

I più comuni input forniti al modello sono gli angoli ai giunti.

Nel modello DSEM devono essere forniti come input gli angoli che descri-vono il movimento della scapole e della clavicola e non lo shoulder rhythm come avviene in altri modelli (ad esempio nel modello svedese di Hogfors et al. descritto nella sezione 1.1.2).

Un ulteriore modello della spalla umana viene proposto anche da Maurel et al.[22, 21]. Questo è un modello biomeccanico per animazione compute-rizzata che è stato sviluppato all'interno del progetto di ricerca CHARM3.

Lo scopo del progetto consiste nello sviluppare un database contenente animazioni del corpo umano e set di strumentazioni software per modellare il sistema muscolo-scheletrico e per eettuare simulazioni ad elementi niti della contrazione muscolare e della deformazione dei tessuti soft.

Il sistema di spalla considerato da Maurel et al.[22, 21] è costituito dallo sterno, dalla clavicola, dall' omero, dalla scapola e dal torace. I giunti che permettono la cinematica della clavicola e dell'omero (SC, AC e GH) vengono schematizzati singolarmente come giunti sferici.

Per descrivere il movimento relativo tra scapola e torace, Maurel et al.[21] considerano complessivamente il torace, la clavicola e la scapola, quindi i tre giunti SC, AC e ST. Viene considerato un asse elicoidale che punta dal centro del giunto sterno-clavicolare al giunto scapola-torace. La relazione ST è schematizzata con un giunto di tipo 5 DOF top (in gura 1.3).

Figura 1.3: Modello della spalla di Maurel et al.[21], dove SC e AC sono schematizzati come giunti ball and socket e ST con un 5-DOF top.

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CAPITOLO 1. MODELLI ARTO SUPERIORE 6 Lo scorrimento della scapola sul torace porta ad una traslazione della stessa lungo l'asse elicoidale. Questo può essere rappresentato da un piano che contiene i tre giunti (SC, AC, ST), in cui possono essere distinti quattro parametri, la traslazione λ e le rotazioni α, β e γ mostrati in gura 1.4.

Figura 1.4: Parametri che individuano il movimento della spalla nel modello di Maurel et al.: λ per la tralazione e α, β, γ per le tre rotazioni.

Maurel et al.[21] conferisce complessivamente a questo piano di assem-blamento un grado di libertà, poichè deve essere mantenuto costante almeno uno dei parametri per avere movimento. Prendendo in considerazione la forma del torace, però, si ottengono 3 gradi di libertà per il piano, poichè de-ve essere considerato l'orientamento tridimensionale dell'asse elicolidale. In più devono essere aggiunte le rotazioni che la clavicola e la scapola possono eettuare attorno a loro stesse.

Rispettando la scelta iniziale di schematizzare il giunto scapola-torace con un 5 DOF tip, la mobilità dell'assemblaggio proposto da Maurel et al.[21] è di 5 gradi di libertà4.

Secondo gli autori la scelta di un giunto di 3 DOF tripod per l'articola-zione scapola-torace, non risulta compatibile con il montaggio del modello. Le uniche due possibili scelte per modellare il giunto ST sono 5 DOF top e 4 DOF dipod.

Per il modello computazionale di spalla di Maurel et al., la scelta di 4 DOF dipod è stata considerata inconveniente. Se viene considerato il vin-colo di tangenza lineare della scapola sul torace, durante la programmazioni sono necessarie due denizioni dierenti per l'orientamento della scapola, una

4Si hanno complessivamente tre corpi (scapola, clavicola, torace), quindi 18 gradi di

libertà complessivi a cui devono essere sottratti 6 gradi di libertà dell'incastro tra tocace e telaio, 6 traslazioni delle coppie rotoidali in SC e AC, e 1 grado di libertà dovuto all'utilizzo di un 5 DOF tip per il giunto ST.

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rispetto al torace (giunto ST) e l'altra rispetto alla clavicola (giunto AC). Ciò porta alla necessità di denire una legge di priorità nell'implementazione del complesso dello shoulder girdle.

Maurel et al.[21] hanno, quindi, scelto un giunto 5 DOF top per il giunto ST per denire solamente la posizione della scapola, e lasciare un libero orientamento al giunto AC, limitandone il range di rotazioni attorno all'asse AC-ST.

La relazione tra l'orientamento della clavicola e scapola, e la posizione della scapola (parametri α, β, γ e λ in gura 1.4) non sono disponibili nella pratica.

Maurel et al. propongono quindi inizialmente, di descrivere la conforma-zione delle ossa della spalla in termini di nove parametri: tre rotazioni per il giunto SC, tre rotazioni per il giunto AC e tre traslazioni per il giunto ST. Il sistema a nove parametri risulta, però, ridondante.

Denite le rotazioni dei giunti SC e AC, la posizione corrente della sca-pola è nota quindi è possibile ricavare le coordinate del contatto di ST. Per tale motivo, Maurel et al.[21] hanno seguito l'approccio proposto da Van der Helm et al.[20], approssimando il torace con un ellissoide in modo da riu-scire a descrivere il contatto scapola-torace con due coordinate indipendenti ellissoidali, invece di tre coordinate correlate cartesiane.

In coclusione il modello di arto superiore proposto da Maurel et al.[21], considerando solo la parte relativa al complesso di spalla, ha 8 gradi di libertà, cinque per lo shoulder girdle e tre per il braccio. Per descrivere tali gradi di libertà sono necessari undici paramentri (3 per SC, 3 per AC, 2 per ST, 3 per GH).

Figura 1.5: Modello cinematico dello shoulder girdle proposto da Maurel et al.

In un altro lavoro di Maurel et al.[22], la scapola viene vista come la vera regista del movimento dell'intero complesso di spalla. Basandosi su

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CAPITOLO 1. MODELLI ARTO SUPERIORE 8 questo concetto, gli autori utilizzano un approccio inverso rispetto a quello precedentemente descritto [21].

Inizialmente viene vincolato il movimento della scapola al torace, e succes-sivamente vengono derivate le rotazioni dei giunti della clavicola (SC e AC) ottenute. Per tale motivo nel modello è stato aggiunto un secondo segmento alla scapola, in modo da vincolarla all'elissoide del torace (gura 1.6).

Il modello schematizzato della spalla proposto da Maurel et al.[22] viene mostrato in g.1.6.

Figura 1.6: Modello gerarchico della spalla.

Il modello di spalla è stato implementato su un programma di animazione virtuale (LIG5), ottenendo così un modello 3D.

I giunti sferici a tre gradi di libertà si ottengono mettendo in serie giunti ad un grado di libertà (vedi g.1.6). A queste triplette seriali di giunti devono essere poste opportuni vincoli sulla mobilità.

L'animazione ottenuta con questo ultimo modello è abbastanza realistica per movimenti semplici e lenti.

Un modello cinematico dell'arto superiore sviluppato dall'utilizzo di im-magini mediche ad alta risoluzione, viene proposto da Garner e Pandy[4].

La National Library of Medicine, mediante il `Visible Human Project' (VHP)6, ha messo a disposizione un set di immagini mediche ad alta

risoluzio-ne di un cadavere di uomo adatte a costruire rappresentazioni tridimensionali di muscoli e di ossa.

Il modello di Garner e Pandy[4], dal punto di vista cinematico, potreb-be essere visto come una serie di links (torace, clavicola, scapola, omero,

5LIG è un `Computer Graphics Lab' del EPFL (École polytechnique fédérale de

Lausanne).

6Il VHP consiste in un database contenente centinaia di sezioni trasversali di tutto il

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ulna, radio, ossa carpali, mano). Per descrive i movimenti relativi delle os-sa dell'arto superiore, sono presenti sette giunti anatomici e tredici gradi di libertà.

Nel modello di Garner e Pandy[4], il movimento della scapola relativa-mente al torace viene modellato con due vincoli olonomi7. Sono stati ssati

sulla scapola due punti vincolati a rimanere in contatto con la supercie esterna della gabbia toracica, la cui supercie viene approssimata con un ellissoide.

Dalla ricostruzione tridimensionale delle sagome delle ossa sono stati determinati i centri di tutti i giunti del modello.

Garner e Pandy[4] ipotizzano che i centri e gli assi di rotazione dei giunti (spalla, gomito, polso) rimangono ssi rispetto alle ossa, e il torace viene supposto solidale al telaio, mentre le ossa si muovono relativamente a questo. Ad ogni ossa del modello viene associato un frame di riferimento (o si-stema di riferimento locale), corrispondente ad una congurazione standard (omero allineato verticalmente lungo il torso, gomito completamente steso, avambraccio supinato e palmo della mano rivolto anteriormente).

Sono stati deniti due frame per il torace, uno relativo allo sterno detto `frame toracico' (TH-RF in gura 1.7 ), e l'altro relativo al movimento tra scapola e torace detto `frame della gabbia toracica' (RC-RF in gura 1.7). La posizione e l'orientamento del frame della gabbia toracica è stato trovato ttando un ellissoide nella parte destra del corpo, rispettando la forma delle costole 1-9. L'origine di tale frame è stato localizzato al centro dell'ellissoide. Per quanto riguarda i frame della clavicola, scapola e omero l'origine è stata fatta coincidere con i centri dei giunti sterno-clavicolare, acromio-clavicolare e gleno-omerale rispettivamente. Le rappresentazioni dei frame della clavicola (CL-RF), della scapola (SC-RF) e dell'omero (HU-RF), sono riportati in gura in gura 1.8.

1.1.2 Input: modelli dello shoulder rhythm

Uno dei primi modelli biomeccanici del cingolo scapolare è stato il modello di spalla svedese (`Swedish Shoulder Model', SSM) proposto da Hogfors et al.[6, 7, 9, 5].

Questo modello si è sviluppato in più steps; inizialmente è stata fornita la descrizione anatomica [6], successivamente la relazione cinematica presente tra le ossa della spalla [7], in seguito un sottomodello per descrivere il giunto gleno-omerale [9] e in ne un modello completo dello shoulder girdle [5].

7Un vincolo è detto olonomo (o vincolo di posizione) se è rappresentato da relazioni

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CAPITOLO 1. MODELLI ARTO SUPERIORE 10

Figura 1.7: Sistemi di riferimento gabbia toracica nella congurazione di riferimento: TH-RF (frame toracico) e RC-RF (frame gabbia toracica).

Lo prima versione del SSM possiede complessivamente dodici gradi di li-bertà rispetto allo sterno. La clavicola è collegata allo sterno (giunto sterno-clavicolare, SC) e alla scapola (giunto acromio-scapolare,AS) con giunti sfe-rici. Ciascun giunto clavicolare possiede quindi tre gradi di libertà. L'ome-ro nella descrizione cinematica ha sei gradi di libertà. Nel modello viene ipotizzato che non ci sono vincoli a priori sull'omero.

Per descrivere i dodici gradi di libertà sono state usate tre coordinate cartesiane per l'origine del sistema di riferimento dell'omero e tre set di angoli di Eulero per l'orientamento delle ossa. La supercie della testa dell'omero è stata approssimata con una supercie sferica e il centro di tale sfera viene considerato coincidente con l'origine del sistema di coordinate locale, solidale all'omero (vedi gura 1.9).

In un successivo lavoro Hogfors et al.[7] hanno cercato di fornire un me-todo per studiare shoulder rhythm. Basandosi su immagini a raggi-X sono stati ricavati sperimentalmente nove angoli di Eulero, tre per ciascun sistema dell'osso che rappresentano la congurazione della spalla in un certo istante. A tre soggetti sono state impiantate nella spalla destra quattro sferette di tantalio in punti strategici (omero prossimale, acromio laterale e clavicola laterale). Mediante l'utilizzo di raggi-X, è stata individuata la posizione delle sferette in condizioni standardizzate del corpo e mentre i soggetti eseguivano un movimento a spirale.

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Figura 1.8: Sistema di riferimento nella congurazione di riferimento: CL-RF (clavicola), SC-RF (scapola), HU-RF (omero).

Hogfors et al. [7] hanno scelto due sistemi di angoli di Eulero per fa-cilitare i calcoli. I due sistemi, teoricamente equivalenti, sono i seguenti: Rx(γ)Ry(−β)Rz(α) ((a) in gura 1.10) e Rz(γ)Rx(β)Rz(α) ((b) in gura

1.10). Nelle espressioni polinomiali ricavate dai dati sperimentali, tuttavia, sono la prima serie di angoli di Eulero viene utilizzata.

I set di angoli di Eulero sono stati ricavati sia in posizione standard di riferimento (esposizione statica) che in movimento.

In questo secondo sudio Hogfors et al. [7] hanno preferito riferire gli angoli di Eulero ad un sistema di riferimento solidale al corpo. Nel precedente lavoro [6], i dati venivano riferiti al sistema di riferimento dello sterno. Un'appros-simazione di quest'ultimo, si ottiene ruotando il sistema di riferimento del corpo di 15◦ rispetto al suo primo asse.

Dopo aver selezionato in modo accurato i dati dei frame, questi sono stati utilizzati per valutare i coecienti dei polinomi che descrivono lo shoulder rhythm. Tali polinomi sono in funzione dei tre angoli di Eulero che descri-vono la posizione dell'omero rispetto al sistema di riferimento dello sterno. Dagli studi eettuati da Hogfors et al.[7] è stato mostrato che un polinomio di secondo grado con 10 coecienti approssima abbastanza adeguatamente l'andamento dei dati sperimentali (vedi equazione1.1).

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CAPITOLO 1. MODELLI ARTO SUPERIORE 12

Figura 1.9: Sistema di coordinate locali della clavicola, della scapola e dell'omero

f (α, β, γ) = a1+ a2α + a3β + a4γ + a5α2+ a6β2+ a7γ2+ a8αβ + a9αγ + a10βγ

(1.1) Dove α, β e γ sono gli angoli di Eulero dell'omero e ai (con i = 1 − 10)

sono i coecienti costanti.

Hogfors et al.[7] hanno poi utilizzato i polinomi ricavati (sei polinomi per ogni soggetto8) per valutare gli angoli di Eulero di clavicola e scapola (α

c,

βc, γc, αs, βs e γs).

Le congurazioni degli angoli di Eulero utilizzate sono quelle riportate in gura 1.10(a) e il movimento studiato è l'abduzione nel piano scapolare di 30◦ (vedi g.1.11).

I risultati vengono riportati sotto forma di curve ottenute da simulazioni grache di modelli di CAD.

Basandosi sui precedenti studi di Hogfors et al.[6, 7], Karlsson et al.[9] hanno arricchito il modello SSM incompleto; ad esempio, aggiungendo det-tagli sul giunto gleno-omerale e fornendo una descrizione più esauriente dello shoulder rhythm.

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Figura 1.10: Sets di angoli di Eulero: (a) Rx(γ)Ry(−β)Rz(α) (più utilizzati

da Hogfors et al.); (b) Rz(γ)Rx(β)Rz(α).

In questa versione del modello dello shoulder girdle, i giunti sterno-clavicolare, acromio-clavicolare e gleno-omerale vengono approssimati tutti come giunti sferici.

I sistemi di riferimento utilizzati sono quelli proposti da Hogfors et al. [6] (vedi g.1.9). Anche le posizioni delle ossa sono descritte dai sets di angoli di Eulero proposti da Hogfors et al.[7] (vedi g.1.10(a))9.

Karlsson et al.[9] forniscono gli angolo di Eulero che descrivono l'orienta-mento delle ossa della spalla nel il range di elevazione del braccio compreso tra 0◦ e 120e in un piano scapolare di 45.

Con questa versione del modello SSM, però, non è possibile gestire grandi angoli di elevazione del braccio. Maggiori valori di θ, ad esempio, potrebbero causare un contatto tra l'omero e l'acromio.

Nella ultima edizione dello `Swedish Shoulder Model', Hogfors et al.[5]

9Quando tutti gli angoli di Eulero sono zero, le direzioni degli assi sono: asse y nel

piano sagittale con direzione orizzontale, asse z in direzione verticale e verso l'alto, asse xin direzione mediale-laterale. Gli assi x, y e z corrispondono agli assi 1, 2 e 3 usati nei sistemi di coordinate solidali alle ossa (vedi g.1.9).

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CAPITOLO 1. MODELLI ARTO SUPERIORE 14

Figura 1.11: Abuzione nel piano scapolare di 30◦.

propongono uno sviluppo del modello. Puntano l'attenzione sulla consistenza e sulla stabilità del modello, e ne studiano la sua sensibilità alle variazioni dei parametri.

Diversi anni dopo, Dickerson et al.[8] hanno proposto un modello compu-terizzato del sistema muscolo-scheletrico di spalla, noto anche come `Waterloo model'(WSM), in grado di integrare caratteristiche solitamente non presenti nei modelli precedenti.

Le caratteristiche addizionali presenti in tale modello sono: le dinamiche tra i segmenti, la scalabilità della popolazione, una descrizione rapida della geometria, il vincolo della stabilità della spalla e la possibilità di integrazione con software ergonomici commerciali (DHM `Digital Human Modeling').

Il modello WSM si basa su assunzioni simili a quelle fatte per i modelli SSM di Hogfors et al.[5] e del DSEM di Nikooyan et al.[1].

Il modello complessivo di Dickerson et al.[8] è composto da tre moduli, il primo descrive la geometria muscolo-scheletrica utilizzata, il secondo riguar-dante il momento esterno del giunto e il terzo riguarda la predizione delle forze muscolari interne.

Gli input del modello muscolo-scheletrico sono dati sperimentali relativi al soggetto, al movimento e ai tasks performati.

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Il modello proposto è formato dalla scapola, dalla clavicola, dall'omero, dal torso e dall'avambraccio. I giunti sterno-clavicolare, acromio-clavicolare e gleno-omerale sono considerati giunti sferici (analogamente ai modelli prece-denti) con tre gradi di libertà di rotazione. Il gomito, invece, viene modellato con un giunto ad un grado di libertà.

Lo shoulder rhythm tra omero e torace, presente nel modello WSM [8], è stato modicato matematicamente rispetto a quello presentato nei modelli precedenti (Hogfors et al.[7], Karlsson e Peterson et al.[9]), in modo da adat-tarsi ai dati sperimentali raccolti. Le modiche riguardano una dierente scelta dei punti di riferimento utilizzati da Dickerson et al. rispetto a quelli utilizzati ad esempio, da Hogfors et al.[6].

Dopo la denizione dello shoulder rhythm adottato nel modello, la scapo-la ha il suo angolo inferiore e superiore vincoscapo-lati a mantenersi in uno stretto range al di fuori della cassa toracica, che è rappresentata da una supercie cilindrica 3D. Queste posizioni sono state trovate da Dickerson et al.[8] at-traverso modiche sequenziali degli angoli di Eulero della scapola no a che non è stata trovata la posizione che soddisfaceva i vincoli imposti.

1.1.3 Input: modelli di regressione

Un modello di regressione dello shoulder rhythm è stato proposto da de Groot et al.[13]. Tale modello è in grado di predire statisticamente l'orienta-mento della clavicola e della scapola per un ampio range di movimenti, noto l'orientamento dell'omero.

La schematizzazione del meccanismo di spalla fornita da de Groot et al., costituisce la parte cinematica del modello completo di spalla di Holzbaur et al.[16, 15], noto anche come lo `Stanford-VA model'.

I parametri di input del modello sono l'orientamento dell'omero, l'orien-tamento iniziale della clavicola e della scapola in una posizione predenita del soggetto e la direzione della forza applicata esternamente sull'omero.

I dati su cui si basa il modello di regressione di de Groot et al.[13] sono stati ricavati eettuando registrazioni su dieci soggetti. La posizione standard di misurazione prevede che la persona sia in posizione eretta con la testa, le anche, i piedi e le braccia bloccate (vedi g.1.12).

Le congurazioni misurate per ogni soggetto sono in tutto ventitre. Sono stati scelti quattro piani di elevazione a 30◦, 60, 90e 120, e su ciascun piano

verticale sei livelli di elevazione a 0◦, 30, 60, 90, 120e 150.10 L'unico

movimento consentito, grazie alla struttura di misurazione (vedi g.1.12), è

10Il piano di elevazione a 30con il livello di elevazione del braccio a 0non è stato

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CAPITOLO 1. MODELLI ARTO SUPERIORE 16

Figura 1.12: Postura standard del soggetto durante le registrazioni staziona-rie dello shoulder rhythm. Al braccio destro è collegato ad un trasduttore di forza. Il braccio sinistro è sospeso in modo da ottenere una posizione simmetrica del soggetto.

l'abduzione e adduzione nel piano di elevazione.

Ai soggetti viene chiesto di esercitare 20N di forza durante l' abduzione e −20N in adduzione.

Per ciascuno dei 46 tasks vengono digitalizzati con un digitalizzatore spaziale i punti di riferimento del torace, della clavicola, della scapola e dell'omero. Le rotazioni sono denite mediante gli angoli di Cardano[13].

La prima misura eettuata riguarda la postura iniziale che prevede l'arto superiore lungo il corpo e l'avambraccio posto in modo orizzontale e diretto in avanti. La registrazione dei marker viene eettuata cinque volte. Questa misura è utile per diversi moviti: determinare la geometria del corpo, denire le dimensioni antropometriche della spalla e determinare gli angoli iniziale di clavicola e spalla (Cy0, Cz0, Sy0, Sz0 e Sx0).

Per ogni individuo vengono registrate la protrazione (Cy) e l'elevazione

(Cz) della clavicola, e la protrarzione (Sy), l'elevazione (Sz) e il tilt (Sx) della

scapola. Con tali dati è stata eettuata un'analisi di varianza a misurazio-ni ripetute multi-variata con un modello a valori mancanti, utilizzando il software commerciale BMDP-5V.

Il modello a misure ripetute può essere considerato come un modello di regressione lineare dove ciascun fattore dipendente è stimato come combina-zione più probabile di fattori indipendenti (co-variate).

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I fattori indipendenti sono: il piano e l'angolo di elevazione dell'omero (Hy e

Hz), la direzione della forza F , la posizione iniziale dell'individuo (Cy0, Cz0,

Sy0, Sz0 e Sx0), il genere, le dimensioni antropometriche del soggetto e una

costante (c).

Successivamente, però, vengono escluse dal medello nale le co-variate del genere e dei fattori antropometrici. `E stato vericato che le dimensioni del torace, della clavicola, della scapola e altre lunghezze del corpo non apportano nessun valore signicativo alla descrizione dello shoulder rhythm.

Una volta determinate le co-variate che contribuiscono in modo signica-tivo alla predizione degli orientamenti di clavicola e scapola, è stata eettuata un'analisi della struttura del modello per quanto riguarda Hy e Hz. Da una

prima analisi sono risultati tre parametri di regressione per Hy e cinque per

Hz. Dalle relative relazioni tra questi parametri è stato scelto un modello

lineare.

De Groot et al.[13] hanno inoltre osservato, che l'orientamento della cla-vicola e della scapola sono dipendenti tra loro, grazie alla presenza della congurazione a catena chiusa con il torace, e dei legamenti del conoide e del trapezoide.

Cambiando la struttura del modello dell'analisi multi-variata, gli autori forniscono i valori di orientamento della scapola basandosi sugli angoli della clavicola. Le variabili registrate dipendenti della clavicola Cy e Cz vengono

denite nel nuovo modello di regressione come fattori covariati e non più come variabili dipendenti.

Nel `Newcastle model' (o `UK National shoulder model', UKNSM) pre-sentato da Charlton et al.[11], viene prepre-sentato un modello biomeccanico del complesso della spalla basato su dati morfologici e cinematici presenti in letteratura.

Il modello è costituito da sei ossa: torace, clavicola, scapola, omero, radio e ulna. Questi sono connessi tra loro dai tre giunti sferici (scapola-clavicolare, acromo-scapolare, gleno-omerale) e da due giunti ad un grado di libertà o hinge joint per l'articolazione del gomito.

In più si ha il piano di scorrimento tra scapola e torace (STGP) che forma una catena chiusa (`loop') tra la clavicola, la scapola e il torace. Questo giunto viene schematizzato con una coppia di giunti prismatici posti in modo da congiungere l'angolo superiore e inferiore della scapola con l'ellissoide che schematizza la gabbia toracica.

Alcuni elementi del sistema di spalla vengono schematizzati con elementi geometrici, ad esempio la testa dell'omero è considerata una sfera (come nel modello svedese) e la gabbia toracica è approssimata con un ellissoide (come nel modello di Delf o di Pandy et al.). Charlton et al. sostengono che nella

(18)

CAPITOLO 1. MODELLI ARTO SUPERIORE 18 modellizzazione dei muscoli che avvolgono queste parti, dove si ha il così chiamato `eetto wrapping', è necessario porre particolare attenzione.

La cinematica del modello di Newcastle è stato descritta utilizzando un modello di regressione, in grado di simulare lo shoulder rhythm. In questo modo è possibile ricostruire l'orientamento della clavicola e della scapola, partendo dalla conoscenza della postura dell'omero.

Per ciascuna misura eettuata, è necessario che lo shoulder girdle si muova in modo da rispettare i seguenti vincoli:

• mantenere il contatto il margine laterale della scapola con il torace, os-sia forze di contatto nel giunto STGP (angolo inferiore, AI e superiore, AS della scapola);

• rotazione assiale della clavicola vincolata dal legamento conide, ovvero lunghezza del legamento conide costante.

Anchè queste due condizioni vengano rispettate, Charlton et al.[11] forni-scono come input un algoritmo di ottimizzazione della cinematica basato sulla minimizzazione della somma degli errori quadratici tra gli angoli predetti e quelli dei vincoli.

Deve essere tenuto presente che il modello di regressione di Charlton et al. è valido per il movimento di elevazione dell'omero da 10◦ a 90; per valori

di elevazione superiori la cinematica dello shoulder girdle può non essere rappresentata correttamente.

Dickerson e Grewal[18], presentano un nuovo modello tridimensionale dello shoulder rhythm.

Gli autori sostengono che per avere una rappresentazione accurata della cinematica di spalla, è necessario derivare lo shoulder rhythm 3D da dati sperimentali.

Per valutare lo shoulder rhythm si fornisce generalmente come input le posizioni del braccio, dato che sono prontamente accessibili esternamente.

Nel modello di regressione si cerca di acquisire dati provenienti dalla si-mulazione di un più ampio range di movimento dell'omero rispetto a studi precedenti (Hogfors et al.[7]), come ad esempio la posizione sopra la testa,.

La procedura sperimentale di Dickerson e Grewal prevede la selezione di un gruppo di soggetti, a cui sono stati applicati otto markers riettenti in punti anatomici strategici della spalla. Le registrazioni dei markers è stata eettuata utilizzando otto sistemi Vicon MX20 + telecamere (Vicon Motion, Oxford, UK).

I dati cinematici sono stati raccolti mentre i soggetti eseguivano 39 posi-zioni del braccio stando seduti con il gomito destro esso di 90◦. Le

(19)

180◦), in tre piani di elevazione (0◦, 45◦, 90◦) e tre rotazioni assiali (rotazione esterna massima, 0◦ o neutrale, rotazione interna massima).

Dickerson e Grewal[18] hanno fornito per ciascuna posizione del braccio, l'orientamento della scapola e della clavicola rispetto al tronco mediante gli angoli di Eulero. La scelta dei sets opportuni degli angoli di Eulero è stata fatta basandosi sugli standard dell' International Society of Biomechanics (ISB)[10].

Per riportare i dati ottenuti gli autori ahanno utilizzato un programma oppurtunamente realizzato in MATLAB.

Le equazioni di predizione per ciascun angolo di clavicola e scapola, sono state determinate utilizzando un modello di regressione valutato con il soft-ware JMP v.90 (SAS, NC, USA) in modo analogo a quanto fatto in studi precedenti (de Groot et al.[13]).

Le equazioni predette dal modello includono solo gli angoli toraco-omerali come variabili indipendenti, dato che i fattori personali sono risultati non signicativi.

Le sei equazioni riportate da Dickerson e Grewal[18] sono le seguenti (da eq.1.2 a eq.1.7): βS = −1.68 + (0.034γT H1) + (0.238βT H) + (−0.017γT H2) + (γT H1− 26.9) (γT H2+ 24.4) (−0.001) (1.2) αS = −11.2 + (−0.050γT H1) + (−0.298βT H) + (−0.021γT H2) (1.3) γS = 0.1 + (0.170γT H1) + (−0.032βT H) + (γT H1− 26.9) (γT H + 77.7) (−0.001) (1.4) βC = −14.6 + (0.057βT H) + 0.002βT H2 + (−0.031γT H2) (1.5) γC = −13.3 + (0.073γT H1) + (0.358βT H) + (0.035γT H2) (1.6) αC = 0.411 + (−0.016γT H1) + (−0.021βT H) + (0.030γT H2) + (βT H+ 77.7) (γT H2+ 24.4) (−0.007) (1.7) Un altro modello di regressione tridimensionale dello shoulder rhythm, è stato proposto recentemente da Xu et al.[23]. Lo scopo del loro studio è di fornire la descrizione di un più ampio range di movimenti e una risoluzione angolare maggiore, rispetto a quelli presenti in letteratura no ad adesso.

Per ogni partecipante Xu et al. hanno esaminato 118 posizioni del braccio, con un intervallo angolare di 30◦ in ogni asse di rotazione selezionato.

La procedura sperimentale è stata eseguita seguendo gli standard dell'International Society of Biomechanics (ISB)[10].

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CAPITOLO 1. MODELLI ARTO SUPERIORE 20 Xu et al. studiano il movimento in cinque piani di elevazione del braccio (0◦, 30, 60, 90, 120e 150) e sette angoli di rotazione assiale dell'omero

(−90◦, −60, −30, 0, 30, 60e 90) per il giunto toraco-omerale. Sono state

inoltre testate 118 posizioni statiche. L'angolo del gomito è stato mantenuto per tutte le posture a 90◦.

Prima dell'esperimento sono stati misurati i dati antropometrici (lunghez-za del torace, clavicola, scapola e braccio destro), che poi saranno utiliz(lunghez-zati nel modello di regressione.

Nell'analisi dei dati Xu et al.[23], hanno ipotezzato che il centro di rota-zione gleno-omerale (GH) è allineato con il centro del giunto del gomito e e il processo dell'acromio destro durante la posizione di riferimento.

I dati sperimentali ottenuti sono stati utilizzati per costruite due tipi di modelli di regressione in grado di predire l'orientamento della clavicola e del-la scapodel-la.

Il primo modello ha utilizzato come fattori predittori, l'orientamento del-l'omero (tre angoli del toraco-omerale) e i fattori individuali inclusa l'età, il genere e i dati antropometrici. Il secondo modello di regressione, invece, utilizza solamente i tre angoli toraco-omerali come predittori.

La procedura seguita per calcolare i modelli di regressione è analoga a quella utilizzata in precedenza (de Groot et al.[13]; Dickerson e Grewal[18]). Dal primo studio eseguito, emerge che il genere e l'età non sono predittori che contribuiscono alla protrazione/retrazione del giunto toraco-clavicolare, e la lunghezza del torace non costribuisce a nessun angolo del giunto toraco-scapolare.

Per quanto riguarda il secondo modello, tutti i predittori (i tre angoli toraco-omerali) contribuiscono a tutti gli angoli toraco-clavicolari e toraco-scolari.

1.2 Scalabilità del modello geometrico

La scalabilità geometrica è un fattore importante, in quanto permette al modello biomeccanico del meccanismo di spalla di rappresentare accurata-mente il soggetto da rappresentare. Questo, però, è un problema ancora non risolto completamente. Esistono opinioni contrastanti ad esempio per quanto riguarda la scalatura omogenea o non omogenea del sistema.

Alcuni studi sostengono che una scalatura omogenea dei segmenti (me-diante un singolo fattore di scala), non permette di ottenere miglioramenti nella cinematica e può portare a perdite nell'abilità di risolvere il model-lo. Altri studi invece raccomandono questo tipo di scalatura, sostenendo che può portare a delle rappresentazioni migliori e permette di mantenere la

(21)

stessa cinematica diversamente a quanto si otterrebbe con una scalatura non omogenea.

Una scalatura non omogenea del torace e della scapola non permette al modello di trovare una soluzione continua o possibile in modo da rispettare i vincoli imposti ad esempio nella catena chiusa descritta in DSEM. Allo stesso tempo, una scalatura omogenea dei segmenti che costituiscono i vincoli della catena chiusa, potrebbe portare ad una perdita di robustezza e ad una elevata sensibilità della denizione della lunghezza della clavicola.

Una scalatura uguale per tutti i segmenti migliora l'accuratezza della predizione della forza nei tasks dinamici, ma ha poco eetto nei tasks statici in presenza di carichi esterni elevati[1].

I modelli biomeccanici presentati schematizzano tutti il cingolo scapolare come una catena chiusa costituita da elementi rigidi vincolati tra loro, quindi la scalatura è dicoltosa dato che piccoli errori nella lunghezza dei segmen-ti possono portare ad elevasegmen-ti errori nella cinemasegmen-tica o nella risoluzione del sistema.

Non è stata riscontrata molta correlazione tra la scalatura delle inserzioni dei muscoli e dei legamenti e quella delle lunghezze dei segmenti.

Nel modello di Delf (DSEM)[1] la geometria del soggetto non è scalata, sia per le dicoltà relative, che per presentare un modello con cinematica scalata.

Nikooyan et al.[1] nel DSEM propone un metodo di ottimizzazione della cinematica per garantirsi la scalabilità del modello, con una determinata funzione costo da minimizzare (eq.1.8).

J = W1 dCx2+ dCy2+ dCz2 + W2 dSx2+ dSy2 + dSz2



(1.8) Con i termini dCx e dSx, Nikooyan et al. indicano le dierenze tra gli angoli

misurati e ottimizzati per la clavicola e la scapola attorno all'asse x; diciture analoghe vengono riportate per gli altri due assi. I termini W1 e W2 indicano

i fattori di peso della funzione costo.

Il metodo di ottimizzazione della cinematica del modello DSEM è simile a quello che era stato proposto in precedenza da Van der Helm et al.[20], detto anche metodo `xed closed chain' (FCC). Van der Helm et al. ottimizzano la cinematica di scapola e clavicola cercando di ridurre la dierenza dei minimi quadrati tra le cinematiche di scapola e clavicola misurate,e tenendo presenti i vincoli sul margine laterale della scapola e sulla lunghezza del legmento conoide.

Il margine mediale della scapola è vincolare a rimanere ad una distanza costante dalla supercie del torace e il legamento del conoide deve essere mantenuto ad una determinata lunghezza.

(22)

CAPITOLO 1. MODELLI ARTO SUPERIORE 22 Il cingolo scapolare (shoulder girdle) è un meccanismo a catena chiusa e i movimenti sono vincolati dalla forma del torace, sul quale scorre la scapola, la lunghezza del legamento del conoide, la lunghezza della clavicola, e le dimensioni della scapola.

Anche il modello di Waterloo (WSM) di Dickerson et al.[8] utilizza un'ot-timizzazione vincolata della cinematica che viene misurata. Dickerson et al. riportano i risultati dei momenti agenti sulla spalla e delle forze di contatto del gleno-omero ottenuti da simulazioni con quattro dierenti antropometrie (95% maschio, 50% maschio, 50% femmina e 5% femmina). Il modello WSM tiene in considerazione la scalabilità a due livelli. Il primo prevede la scala-bilità completa della geometria di spalla; la lunghezza delle ossa e i siti di inserzione muscolare sono scalati relativamente alla statura. Inoltre, il mo-dello può essere scalato proporzionalmente rispetto alle dierenti funzionalità massime del muscolo, piuttosto che usare un valore medio come viene fatto correntemente.

I metodi di ottimizzazione della cinematica con i vincoli, deniscono il comportamento della scapola basandosi su metodi di scalabilità del torace che solitamente non considerano l'area sotto la scapola. Questo metodo non porta a soluzioni continue, e può portare ad ottenere dierenze elevate tra angoli misurati e ottimizzati.

Recenti studi hanno mostrato che la lunghezza del legamento conoide non rimane ssa durante l'abduzione dell'arto superiore. Lunghezza e inserzione di tale legamento variano tra soggetti diversi (no al 25%), e potrebbe essere scalato con le dimensioni della clavicola[12].

`

E stato teorizzato che la relazione tra l'ottimizzazione della cinematica e la ridenizione della scalatura del torace potrebbe portare a simulazioni della scalabilità più in accordo con le misure della cinematica. Prinold et al. eettuano uno studio per vericare tale teoria[12].

Sono stati selezionati undici soggetti per performare tre tipi di solleva-menti dierenti (con braccia parallele frontali, con braccia divaricate frontali, con braccia parallele ruotate inversamente). I soggetti sono stati markerizzati opportunamente rispettando la convenzione ISB[10]; la posizione dei marker è stata registrate durante il movimento mediante un sistema `Vicon motion capture' a nove telecamere. Il modello utilizzato per le simulazioni di Prinold et al., è il modello UKNSM di Charlton et al.[11].

I segmenti della clavicola e della scapola vengono scalati in modo omo-geneo, basandosi sulle lughezze relative tra il modello e il soggetto. Per sca-lare l'ellissoide che rappresenta il piano di scorrimento tra scapola e torace (STGP), viene presentata una nuova tecnica.

Inizialmente Prinold et al. hanno denito un fattore di scalatura omoge-nea (Th) per l'ellissoide del torace, basandosi sull'altezza del cadavere.

(23)

Successivamente è stata denita un procedura di ottimizzazione per de-terminare le dimensioni e la posizione dell'ellissoide. Come vincolo è stato imposto che il margine mediale della scapola (Trigonum Spinae, TS e Angu-lus Inferior AI) non possa entrare dentro l'ellissoide del torace. La funzione obiettivo dell' ottimizzazione permette di ricavare i fattori di scala non omo-genei (T x, y, z), che vengono poi applicati alle dimensioni e alla posizione del centro dell'ellissoide STGP e all'ellissoide del torace del corpo per le simulazioni dei sollevamenti.

Prinold et al. propongono per l'ottimizzazione della cinematica della scapola e della clavicola un metodo detto `partially closed chain' (PCC). Il PCC riduce la dierenza dei minimi quadrati delle cinematiche misurate, analogamente a quanto fatto nel metodo FCC, ma pone vincoli meno rigidi. Il margine mediale della scapola è, infatti, solo costretto a non penetrare nell'ellissoide del STGP; sulla lunghezza del legamento conoide non è posto, invece, alcun vincolo.

Prinold et al.[12] mette a confronto i metodi PCC e FCC. L'autore so-stiene che se vengono plottati i dati ottenuti utilizzando il metodo PCC, si hanno funzioni abbastanza continue e non a salti come con il metodo FCC.

Nel modello svedese presentato da Hogfors et al.[6], le ossa vengono ca-ratterizzate da una dimensione. Il modello non è scalato ed ogni soggetto studiato viene rappresentato da quattro dimensioni che corrispondono al-le lunghezze dei link principali del modello biomeccanico di spalla (torace, clavicola, scapola e omero).

1.3 Forze muscolari

La spalla è un sistema biomeccanico costituito da più di 20 muscoli e tre ossa. Essendo un sistema meccanico indeterminato è molto dicile riuscire a predire le forze interne. Il numero delle forze incognite è molto maggiore delle equazioni di equilibrio di forza e di momento, associate al sistema di spalla composto da tre ossa.

Un modello biomeccanico 3D può essere utilizzato quindi, per predire le azioni delle forze muscolari interne all'omero in dierenti situazioni di carico esterno statico.

Nel sistema muscolo-scheletrico umano i muscoli agiscono durante il mo-vimento, in modo sinergico. Questo approccio si basa sull'assunzione che durante un'attività il corpo seleziona un'unica via per distribuire le forze. Uno dei criteri seguiti nei processi muscolari consiste nella suddivisione del ca-rico in modo proporzionale alle capacità dei muscoli, oppure nel minimizzare lo sforzo totale richiesto per eseguire un determinato task.

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CAPITOLO 1. MODELLI ARTO SUPERIORE 24 Nel modello muscolo-scheletrico del sistema spalla, i muscoli vengono ge-neralmente schematizzati con delle stringhe allungabili. Queste si estendono da un segmento all'altro del modello seguendo il percorso più breve[6, 9].

I muscoli agiscono su i corpi rigidi del sistema mediante delle forze. Tali forze muscolari sono dirette lungo le stringhe che modellano i muscoli.

Nella modellizzazione dei muscoli del sistema della spalla si incontrano generalmente tre dicoltà:

• alcuni muscoli hanno un'ampia origine (ad esempio il gran dorsale, il gran pettorale e il trapezio) e il problema può essere risolto dividendo il muscolo in più parti ciascuna rappresentata da una stringa;

• l'origine del muscolo può non coincidera con la vera origine della forza e ciò si risolve con una modellizzazione locale della struttura ossea; • la direzione della forza.

Il numero dei muscoli o parti di questo, che vengono schematizzati varia a seconda del modello.

Nel modello svedese (SSM) la parte relativa all'azione muscolare è stata sviluppata da Karlsson e Peterson[9] e successivamente rivisitata anche da Hogfors[5].

Le incognite del modello SSM, ovvero le forze interne, precisamente sono le forze muscolari agenti lungo le stringhe, le forze di contatto all'interno del giunto e le forze del legamento coraco omerale11.

Il legamento coraco omerale viene considerato un vincolo passivo, non vie-ne implementata vie-nel modello vie-nessuna relaziovie-ne tra la lunghezza del legamento e la forza esercitata [5].

Come forze esterne agenti sul braccio sono state considerate la forza peso del braccio e dell'avambraccio, e la forza generata da un peso tenuto in mano. Nello studio di Karlsson e Peterson[9] vengono considerate 23 forze interne agenti nel sistema omero-braccio.

Il modello si basa sulle equazioni di equilibrio di forze e momento riguar-danti l'omero e il resto del braccio. Per ogni posizione statica devono essere soddisfatte le due equazioni vettoriali (eq.1.9 e eq.1.10):

X Fi+ X Pi = 0 (1.9) X ri× Fi+ X ri× Pi = 0 (1.10)

11L'unico legamento in grado di generare momento nel modello di Karlsson e Peterson

(25)

con i = 1, . . . , 23. Per Fi si intendono tutte le forze interne incognite

(for-ze muscolari, for(for-ze di contatto nel giunto, forza legamento coraco-omerale), con Pi si indicano le forze esterne agenti (forze gravitazionali) e riè il vettore

posizione del punto di applicazione della forza. Complessivamente il sistema ottenuto è il seguente:

       F1x F1 F2x F2 . . . F1y F1 . . F1z F1 . . r1yF1z−r1zF1z F1 . . ... . .             F1 F2 ... F23      =         0 0 −P Piz −P Mix −P Miy 0         (1.11)

che può essere scrtto anche nella forma più sintetica:

[a] [F ] = [−P ] (1.12)

Il sistema 1.11 è di tipo indeterminato poiché si hanno sei equazioni scalari e 23 incognite. Questo problema ha innite soluzioni. Per trovare un'unica soluzione a questo sistema Karlsson e Peterson[9] utilizzano la somma dei quadrati degli sforzi muscolari come tecnica di ottimizzazione.

minimizeX

(Fi/Ai)2 (1.13)

Nel caso della funzione obiettivo (eq.1.13) per Fi si intendono

esclusiva-mente le forze esercitate dai muscoli. Le forze di contatto e di legamento non sono incluse nella funzione obiettivo minimizzata.

I vincoli del processo di minimizzazione sono i seguenti:

(I) soddisfare le equazioni di equilibrio (sistema di equazioni 1.11) per ogni congurazione della spalla;

[a] [F ] = [−P ] (1.14)

(II) rispettare i limiti minimi e massimi delle forze interne incognite.

Fimin ≤ Fi ≤ Fimax (1.15)

Il vettore [F ] dell'equazione 1.14 indica le forze interne che devono essere ricavate dal modello.

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CAPITOLO 1. MODELLI ARTO SUPERIORE 26 • per le forze muscolari: Fimin = 0e Fimax = kAi, dove k è una costante12;

• per le forze di contatto non è stata applicata tale condizione poichè è stato supposto che la pressione tra le ossa dello scheletro potrebbe diventare maggiore delle tensioni muscolari;

• per la forza del legamento: Fimin= 0 e nessun limite per la Fmax.

Per risolvere il problema di ottimizzazione Karlsson e Peterson utilizzano un programma opportunamente progettato[9], e trovano soluzioni numeriche per ogni posizione denita.

Nella versione più recente del modello SSM [5], vengono fatte delle con-siderazioni e delle modiche rispetto al modello proposto da Karlsson e Peterson.

Le equazioni incorporate in questa versione del modello sono le equazioni di equilibrio per la clavicola, la scapola e il braccio, in più c'è anche una equazione del momento attorno all'asse del gomito per l'avanbraccio.

Complessivamente diciannove equazioni vengono utilizzate per delimitare lo spazio di equilibrio in qualsiasi condizione escluso quando il braccio è tenuto steso. In questo ultimo caso non viene considerata l'equazione del momento del gomito poichè non valutabile, e il sistema risulta formato da diciotto equazioni di equilibrio.

Hogfors et al.[5] introducono alcune condizioni addizionale che possono es-sere usate optionalmente. Oltre ai vincoli precedenti, viene posto il seguente limite:

(III) la direzione della forza di contatto nel giunto omero-scapolare (GH) deve rimanere all'interno di un cono di un dato angolo (`joint sinus cone') formatosi attorno alla direzione denita dalla normale al punto medio della coppa scapolare (cavità del glenoide) passante attraverso il baricentro della sua proiezione planare piu grande.

`

E stato trovato che se la forza di reazione si discosta dalla normale, al mas-simo di 20◦, questa limitazione non è considerata attiva in caso di posture

normali con carichi in mano.

Il vincolo (III), è considerato, tuttavia un vincolo ad hoc rispetto al vinco-lo (II), che si basa sul concetto che la spalla è una costruzione `tecnicamente valida'.

Hogfors et al.[5] considera diverse funzioni obiettivo per cercare di descri-vere la sinergia muscolare.

12La costante k dipende dalla massima tensione nei muscoli. Il suo valore è compreso

nel range 0.4-1.0 MNm−2. Nello studio di Karlsson e Peterson k è stato scelto pari a 0.7

(27)

Considerando Fi le forze muscolari (con i = 1, . . . , N) e Ai la PCSA

corrispondente, vengono riportate di seguito le funzioni proposte: • tempo di resistenza massimo;

" maxiqi  Fi Ai ki#−1 (1.16) (con qi e ki dipendenti dalla composizione delle bre muscolari)

• minimizzazione del maggiore stress muscolare; maxi

 Fi Ai



(1.17) • minimizzazione dello stress muscolare medio;

1 N N X 1 Fi Ai (1.18) • minimizzazione del consumo di potenza.

Generalmente per il modello di spalla vengono considerati le prime due funzioni di costo. In particolare il massimo tempo di resistenza, viene consi-derata da Hogfors et al.[5] il principio di sinergia muscolare più plausibile.

In questo modello i muscoli più ampi, sono suddivisi in varie sezioni ed è stato ipotizzato che le parti che compongoni i muscoli sono indipendenti. Questa assunzione, rimane in realtà ancora una questione aperta.

Nel modello ad elementi niti del meccanismo di spalla di Van der Helm[19] (`Delft model', DSM) viene fornita un'analisi biomeccanica completa della funzione muscolare nel meccanismo della spalla.

Il modello di Van der Helm permette di analizzare le forze e i momenti esercitati individualmente da ogni muscolo in modo da mantenere la posizione dell'omero desisderata e controbilanciare il carico esterno.

I muscoli della spalla vengono suddivisi in tre gruppi: muscoli toraco-scapolari, muscoli scapolo-omerali e muscoli toraco-omerali.

Ciascun muscolo può essere rappresentato da uno a sei elementi che in-dicano le linee di azione dei muscoli. In alcuni muscoli la dierenza tra le lunghezze degli elementi di uno stesso muscolo è notevole, specialmente per i muscoli con ampi siti di inserzione (come il m. trapezio, il m. dentato, il m. sottoscapolare e il m. infraspinato).

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CAPITOLO 1. MODELLI ARTO SUPERIORE 28 La lunghezza muscolare varia rispetto alla posizione iniziale (0◦ di

eleva-zione dell'omero) denita come il 100% della lunghezza.

La lunghezza ottimale del muscolo viene considerata la lunghezza alla quale un muscolo può esercitare la forza massima, ed è dicile da valutare in vivo per i muscoli della spalla. Van der Helm[19] tuttavia, assume che la lunghezza ottimale del muscolo è vicina alla lunghezza con la quale il muscolo è attivo per la maggior prte del tempo.

Secondo Van der Helm[19], le variazioni di lunghezza muscolari che si hanno nella spalla sono più grandi rispetto a quelle che si hanno nei muscoli delle gambe durante la camminata. L'ampio range di movimenti della spal-la, in combinazione con il fatto che alcuni muscoli, specialmente quello del toraco-scapolare e del toraco-omerale, sono abbastanza distanti dal centro di rotazione del giunto, porta ad variazioni straordinarie delle lunghezze.

Gli elementi muscolari complessivamente considerati nel modello ad ele-menti niti di Van der Helm[19] sono 95.

Le forze generate da 15 muscoli durante i movimenti di aduzione e di anteessione con e senza carico, sono state calcolate nel modello DSM uti-lizzando la tecnica di minimizzazione della somma dei quadrati degli sforzi muscolari.

Durante l'analisi quasi statica, le forze esterne e i momenti ottenuti a causa delle forze gravitazionali sono considerate in equilibrio con le forze muscolari e con i momenti esercitati.

Nel lavoro di Van der Helm[19] vengono anche fornita una stima del mo-mento generato da ciascuna forza muscolare. Il momo-mento esercitato è stato calcolato utilizzando il moment arm e la forza esercitata, ricavata dalle si-mulazioni del modello, e sommata per tutti gli elementi che costituiscono l'eetto meccanico del muscolo.

I momenti sono stati calcolati attorno agli assi principali del sistema di coordinate globale solidale al torace. Per ogni giunto (scapola-torace, acromio-clavicolare e gleno-omerale) sono state valutate le componenti mu-scolari principali del momento lungo ogni asse. I movimenti studiati sono identici a quelli eettuati nella stima delle forze muscolari (ABU, ABL, ANU, ANL).

Eettuando il bilancio dei momenti attorno ad ogni giunto, Van der Helm[19] ha potuto ricavare quali sono i muscoli che esercitano i momenti maggiori per controbilanciare i momenti esterni.

Nel modello DSEM [1], le simulazioni si basano su un nuovo dataset anatomico rispetto al modello DSE di Van der Helm [19]; inoltre, viene con-siderata una funzione costo che basa la suddivisione del carico sull'energia, e non sul quadrato dello stress muscolare.

(29)

Il modello DSEM prevede tre dierenti architetture di simulazione: otti-mizzazione dinamica inversa (IDO), ottiotti-mizzazione dinamica inversa e diretta (IFDO) e ottimizzazione dinamica inversa e diretta con il controllo (IFDOC). Nel modello originale (DSM) sono incluse solamente le forze e i mo-menti inerziali (sistema IDO), mentre la dinamica del muscolo non viene considerata.

In questa nuova versione di Nikooyan et al.[1], la dinamica muscolare viene valutata come un vincolo della massima forza muscolare permessa nel processo inverso di ottimizzazione.

Gli angoli del giunto e i carichi esterni sono gli input del modello; le forze muscolari e le forze di reazione al giunto, le lunghezze del muscolo e del legamento e la potenza muscolare sono, invece, gli output.

Nel modello DSEM è stata implementata una nuova funzione costo da minimizzare per risolvere il problema di divisione del carico. Questa si basa sul consumo di energia nel muscolo dovuto alla pompa di calcio e alla funzione dei ponti trasversali.

Le forze calcolate nel processo di ottimizzazioni per ciascun elemento muscolare (m), devono essere comprese in un range compreso tra Fmin = 0 e

una FM ax. Il limite superiore della forza è in funzione del massimo stress del

muscolo (σmax), della PCSA e della lunghezza del sarcomero (lsm):

Fmax(lsm) = f (lsm) P CSAmσmax (1.19)

dove f (lsm) è la relazione lunghezza-forza normalizzata del muscolo.

Il modello DSEM, oltre alla parte di ottimizzazione di dinamica inversa, prevede anche una parte di dinamica diretta per ottenere dinamicamente le forze muscolari e gli input neurali possibili.

A causa di errori di discretizzazione e instabilità che si possono avere nel sistema, i movimenti calcolati nel sistema dinamico diretto non coincidono perfettamente con quelli registrati (input della parte di dinamica inversa). Il sistema deve essere, quindi, modicato in modo tale che le dierenze tra gli angoli e le velocità angolari vengano riportate in ingresso al modello di dinamica inversa.

Per tale motivo viene aggiunto nel modello un controllore feedback che, ad ogni iterazione, aggiusta i segnali di input introducendo un momento di correzione, basato sugli errori degli angoli e delle velocità angolari.

Per validare qualitativamente le tre dierenti architetture (IDO, IFDO e IFDOC) presenti nel modello DSEM, le forze muscolari predette sono state confrontate con i segnali EMG ricavati durante il movimento di essione anteriore. I risultati del confronto sono comparabili con quelli ottenuti da Van der Helm et al.[19] nella prima edizione del modello di Delf. I sistemi IDO

(30)

CAPITOLO 1. MODELLI ARTO SUPERIORE 30 e IFDO mostrano comportamenti analoghi, ma piuttosto dierenti rispetto a IFDOC.

La forza di reazione predetta del giunto gleno-omerale, ha un modulo maggiore se confrontata con i valori ottenuti con gli altri due modelli. Ni-kooyan et al. hanno confrontato le forze di reazione predette nel giunto gleno-omerale utilizzando le tre architetture simulate, con quelle misurate in impianti strumentato di spalla. `E emerso che un modello IDO generalmente sottostima le forze di reazione durante tasks dinamici standard (ad esempio abduzione e essione).

In conclusione, se IFDOC fornisce valori della forza di reazione nel giunto gleno-omerale maggiori rispetto a IDO, potrebbe essere un sistema candi-dabile per una modellizzazione appropriata di tasks dinamici. Tuttavia per garantire questa supposizione è necessario un modello rigoroso di validazione. Maurel et al.[22], nella loro modellizzazione dell'azione muscolare, sti-mano i contributi delle forze muscolari attorno ad un giunto eettuando un'analisi di ottimizzazione.

Per tenere conto sia della topologia che della meccanica dell'azione mu-scolare, Maurel et al. propongono tre metodi base utilizzabili nella modelliz-zazione:

• approccio straight line, che consiste nel collegare il sito di origine e l'inserzione del muscolo;

• approccio centroid line, che stima le linee curve lungo le quali si sviluppa la tensione, formate dai centri delle sezioni trasversali del muscolo; • approccio contour line, che fa un bilancio tra l'accuratezza e la

sempli-cità nella segmentazione dei contorni dell'osso che vengono seguiti dal muscolo.

I primi due metodi hanno lo svantaggio di riferirsi ad una sola posizione del modello.

In tutti i casi, si assume che l'azione muscolare è rappresentativa della forza muscolare e che il muscolo non esercita momento attorno a questa linea. Nel modello semplicato proposto da Maurel et al.[22], la maggior par-te dei muscoli sono stati modellati come singole polilinee eccetto alcuni (ad esempio gran pettorale, deltoide, trapeszio, grandorsale) che sono stati mo-dellati seguendo la descrizione di Hogfors et al.[6]; inoltre, sono stati im-plementati i dati della topologia muscolari necessari per eseguire l'analisi di ottimizzazione.

IL modello di Newcastle (UKNSM) proposto da Charlton et al.[11], per quanto riguarda la denizione dei muscoli e dei legamenti si basa sul

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data-set VH (`Visible Human') che fornisce i dati muscolari più rappresentativi, raccolti su cadavere umano.

La parte muscolo-scheletrica del modello UKNSM è stata implementa-ta usando SIMM (`Muscolographics Inc.'Illinois), un software commerciare che fornisce una rappresentazione realistica dello scheletro, dei muscoli e dei legamenti. I muscoli sono modellati con delle stringhe che si avvolgono at-torno alle strutture rilevanti delle ossa. SIMM fornisce solo rappresentazioni grache; i calcoli necessari per valutare le forze muscolari e del giunto sono eseguite utilizzando un programma custom implementato in MATLAB.

Nell'analisi dinamica di Charlton et al.[11] sono state studiate dieci atti-vità della vita quotidiana (risportate in tabella 1.13).

Figura 1.13: Attività della vita quotidiana studiate da Charlton et al. Per risolvere il problema di distribuzione dei carichi tra i vari muscoli coinvolti, è stato utilizzato il comune metodo dei minimi quadrati applicato allo stress muscolare (F/P CSA). Charlton et al. hanno scelto come range di stress tensile i valori solitamente più citati in letteratura, 0 e 100 N/cm2.

Nel modello di Newcastle, diversamente dagli altri modelli presentati, viene fornita anche una modellizzazione per descrivere il range di comporta-mento del legacomporta-mento. Il modello prevede seguenti tre legamenti: l. costacla-vicolare, l. conoide e l. trapezoideo.

Le proprietà tensili del legamento possono essere schematizzate in un gra-co stress-strain con un andamento esponenziale per basse deformazioni, e un andamento lineare per elevate deformazioni. Inoltre a parità di deformazione, per bassi valori del modulo di Young si ha una curva con minore pendenza, mentre per elevati valori si ha un modello con andamento più ripido (vedi gura 1.14). Charlton et al.[11] utilizzano questi due modelli per indicare il limite superiore ed inferiore, per eludere le complicazioni riscontrate con caratterizzazioni ad una sola equazione.

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CAPITOLO 1. MODELLI ARTO SUPERIORE 32

Figura 1.14: Condizione superiore e inferiore dello stress del legamento. Nel `Waterloo model' (WSM), modello computazionale muscolo-scheletrico della spalla di Dickerson et al.[8], sono previsti 23 muscoli. Alcuni di que-sti vengono schematizzati con più di un elemento meccanico, ad esempio il muscolo gran dorsale in due elementi e il trapezio in quattro.

La linea di azione del muscolo (indicata da Dickerson et al.[8] con l'acro-nimo `L-O-A') viene indicata con una stringa che connette i siti di attacca-mento del muscolo. Nel modello WSM, le L-O-As possono essere modicate per passare attorno alle barriere ortopedica, in particolare la gabbia toracica e la testa dell'omero. Questa approssimazione, che non era stata eettuata nel modello DSE di Van der Helm[19], permette di ottenere linee di azione più appropriate.

Dickerson et al.[8] dedicano un intero blocco del modello computazionale alla predizione delle forze muscolari.

Il problema anche in questo caso (come visto sopra nel modello SSM di Karlsson e Peterson[9]) è quello di risolvere un sistema meccanico indetermi-nato, costituito in questo modello da 38 elementi muscolari e 19 condizioni di equilibrio meccanico. Per cercare di fornire una predizione della distribuzio-ne del carico tra i muscoli, è distribuzio-necessario scegliere un criterio di ottimizzaziodistribuzio-ne numerica.

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et al. derivano dalle sei equazioni di equilibrio (lineare ed angolare) per ciscun segmento che è connesso al giunto sterno-clavicolare, al giunto gleno-omerale e al giunto acromio-clavicolare; un solo vincolo invece, viene fornito dall'equazione di equilibrio per il momento di esso/estensione del gomito.

L'espressione generale che indica i vincoli delle forze è la seguente (eq.1.20): X

Fm,i+ Ji−1+ Ji =

X

FE (1.20)

dove Fm,i indica le forze attive agenti sul segmento i, Ji−1 è la forza di

contatto del giunto nella sua parte distale, Ji, invece, la forza di contatto del

giunto nella sua parte prossimale, e FE rappresenta qualsiasi forza esterna

agente.

La relazione di vincoli per quanto riguarda i momenti è analoga alla precedente (vedi eq.1.21).

X

(li× Fm,i) + τi−1+ τi =

X

τE (1.21)

Con li si indica il moment arm del muscoli i-esimo, e i termini τi−1, τi e

τE sono rispettivamente i momenti generati dalle forze di contatto sul giunto

distale, prossimale e i momenti agenti esterni.

Le forze muscolari agiscono lungo le L-O-As che vengono denite con dei versori. Queste forze sono vincolate a rimanere non negative, dato che pos-sono esercitare esclusivamente forze in tensione. Le forze muscolari, secondo Dickerson et al.[8], devono essere soggette alle seguenti condizioni:

• valore minimo: Fm,i,M IN = 0;

• valore massimo: Fm,i,M AX = ui, con ui proporzionale alla PCSA

(`Phy-siological Cross-Sectional Area') del muscolo specico13.

La funzione obiettivo utilizzata nel modello WSM [8], ha la seguente espressione (eq.1.22): Θ = 38 X i=1  fi P CSAi 3 (1.22) dove con fi si indica la predizione della forza esercitata dal muscolo i, e

con P CSAi la physiological cross-section area del muscolo i.

Questa funzione obiettivo favorisce una distribuzione sinergica del carico tra i vari elementi muscolari.

13I valori di PCSA utilizzati da Dickerson et al.[8] sono stati ottenuti dai risultati ottenuti

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CAPITOLO 1. MODELLI ARTO SUPERIORE 34 La risoluzione del sistema meccanico modellato è ottenuta da da Dicker-son et al. sequenzialmente ad ogni intervallo di movimento fornito in input al programma. La soluzione ottenuta, viene utilizzata come condizione iniziale per l'iterazione successiva del processo di ottimizzazione.

Lo schema di ottimizzazione complessivamente assume la seguente forma:

M inimizeΘ (1.23)

Ax = B (1.24)

0 ≤ fi ≤ ui con i = 1, . . . , 38 (1.25)

Le condizioni di uguaglianza (eq.1.24) sono complessivamente 22 poiché diciannove derivano dalle equazioni di equilibrio meccanico e tre dalla forza di contatto nel giunto gleno-omerale. Il sistema complessivamente prevede 60 incognite rappresentate dal vettore x di dimensioni 60 X 1. Da ciò si deduce le dimensioni 22 X 60 della matrice A che rappresenta complessivamnente le relazioni del sistema, e le dimensioni 22 X 1 del vettore B che raccoglie le azioni esterne (vedi eq.1.24).

Le 60 quantità scalari incognite che compongono il vettore x comprendono le 38 forze muscolari, le 3 forze del legamento14, le 9 forze di contatto dei

giunti, le 2 forze di contatto scapola-torace e gli 8 coecienti del rapporto direzionale della forze di dislocazione del giunto gleno-omerale.

1.4 Forza di contatto nel giunto

Il sistema della spalla, oltre alle forze esercitate dai muscoli, è soggetto ad altre due tipologie di forze, le forze dei legamenti e le forze di contatto all'interno dei giunti. Si generano quindi forze all'interno del giunto sterno-clavicolare, acromio-scapolare, gleno-omerale e tra scapola e torace.

Nel modello biomeccanico del sistema della spalla svedese di Hogfors et al.[6], le forze di contatto che vengono indicate sono:

• forza di contatto che lo sterno esercita sulla clavicola nel giunto sterno-clavicolare che ha il punto di applicazione nell'origine del sistema di riferimento della clavicola;

• forza di contatto che la clavicola esercita sulla scapola nel giunto acromio-scapolare che ha come punto di applicazione l'origine del sistema di riferimento relativo alla scapola;

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• forza di contatto che la scapola esercita sull'omero nel giunto gleno-omerale che agisce attraverso il centro della testa dell'omero;

• forza di contatto tra torace e scapola che vengono modellate con due forze normali al torace in due punti della scapola.

Nella parte del modello SSM di predizione delle forze, oltre alle forze muscolari, viene fornita una stima anche della forza di contatto che si ha all'interno del giunto gleno-omerale.

Nella versione del modello biomeccanico, presentata da Karlsson e Peterson[9], non viene posto nessun vincolo sulla direzione della forza di contatto nel giun-to gleno-omerale. La direzione della forza, invece, è un fatgiun-tore decisivo per poter valutare se i risultati ottenuti dal modello potrebbero portare o meno alla lussazione della spalla. Questo modello fornisce, dunque, risultati sod-disfacenti per quanto riguarda i valori dell'ampiezza della forza di contatto, ma risultati non soddisfacenti per quanto riguarda la sua direzione.

Un'analisi dettaglia delle forze agenti nel meccanismo di spalla viene fornita dal modello ad elementi niti di Van der Helm[19] (DSE).

Si ha una descrizione di ciò che avviene nei giunti gleno-omerale (GH), acromio-clavicolare (AC), sterno clavicolare (SC) e nel piano di scorrimento scapola-torace (ST) del modello di spalla.

Il giunto GH è modellizzato come un giunto sferico con il centro di rotazione sso rispetto alla scapola.

A causa dell'ampio range di movimento del giunto, Van der Helm ritiene che la capsula del gleno-omerale sia lassa e non sia in grado di trasmette-re alcuna forza all'interno del normale range di movimento siologico. Di conseguenza il vettore risultante dalle forze muscolari e dalle forze esterne nell'omero, deve intersecare la supercie articolare della cavità glenoidea, in modo da riuscire a controbilanciare qualsiasi forza di reazione presente nel giunto ed evitarne la sua lussazione.

Nella procedura di ottimizzazione utilizzata da Van der Helm[19], viene quindi aggiunto come vincolo che il vettore della forza risultante deve puntare nella cavità del glenoide. La localizzazione dei punti di intersezione tra il vettore risultante del giunto e la cavità del glenoide, ricavati dallo studio di Van der Helm[19] sono riportati in gura 1.15.

Per quanto riguarda il giunto acromoio-clavicolare, Van der Helm[19] for-nisce una stima della rotazione assiale della clavicola che non è valutabile in studi di registrazione del movimento. Van der Helm ipotizza che la rotazione assiale della clavicola dipende solamente dal legamento del conoide.

I vettori dell forze di reazione che sono state ottenute dal modello DSE [19] per il giunto sterno-clavicolare, mostrano che per circa 90◦ di abduzione la

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CAPITOLO 1. MODELLI ARTO SUPERIORE 36

Figura 1.15: Punti di intersezione della forza di reazione del giunto GH e la supercie del glenoide in coordinate sferiche (φ angolo con il piano frontale e θ angolo con il piano trasversale). (linea continua) plot dell'ellisoide che indica la cavità del glenoide; (X) punti di intersezione in casa di abduzione senza carico; (O) punti di intersezione in caso di anteessione senza carico [19].

forza di reazione nel giunto SC lungo l'asse frontale è negativa, indicando che la clavicola viene sembra essere spinta fuori dal giunto. In queste condizioni il giunto sterno-clavicolare è sottoposto ad un elevato momento esterno.

`

E possibile anche ricavare dal modello una stima delle forze di reazione che si hanno nel piano di scorrimento scapola-torace.

Le forze di compressione si generano tra il margine mediale della scapola e il torace, in particolare, vengono considerate applicate di due punti ca-ratteristici della scapola, Trigonum Spinae e l'Angulus Inferior. Per quanto riguarda l'accoppiamento scapola torace, secondo Van der Helm[19] è preferi-bile avere due punti di contatto, riducendo così i gradi di libertà ed ottenendo un meccanismo maggiormente controllabile.

Il modello di Delf viene utilizzato da Charlton et al. [11] per validare il modello di Newcastle.

Viene eettuato un confronto tra i risultati ottenuti per quanto riguar-da le forze di contatto nel giunti tra scapola e torace (in particolare punto dell'angolo inferiore, AI), nel giunto sterno-clavicolare, nel giunto acromio-clavicolare e nel giunto gleno-omerale, per quanto riguarda i movimenti di essione anteriore e abduzione. Gli andamenti ottenuti sono abbastanza similari.

La forza di contatto nel giunto GH ottenuta per elevazioni nel piano scapolare con il modello di Newcastle, è stata confrontata anche con i risultati ottenuti dal modello svedese di Karlsson e Peterson [9]. In questo caso, la

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