1.1. MODELLISTICA - Modellistica dinamica 1.4 11
Sistema meccanico di trasmissione
Si consideri il sistema meccanico mo- strato in figura, costituito da un albe- ro di inerzia J, che ruota a velocit`a ω, a cui `e applicata la coppia esterna τ. Tramite un rullo elastico avente ri- gidit`a torsionale K1 e raggio costan- te R, l’albero spinge una massa M che comprime una molla lineare con coefficiente di rigidit`a K2.
R
M J
b1
b2 K2
x
K1
w t
R
M J
b1
b2 K2
x
K1
w t
La forza esercitata dalla molla `e nulla quando la massa si trova nella posizione x = 0. L’inerzia e la massa sono soggette ad attrito viscoso con coefficienti di attrito lineare b1 e b2 rispettivamente. Il modello P.O.G. del sistema meccanico assegnato `e il seguente:
τ
ω
-
?
1 s
?p1
1 J ω?
-
b1
6
6 - -
-
6
1 s
6θ
K1
6
τ1
- 1
R
- 1
R - -
?
1 s
?p2
1 M
?
˙x
-
b2
6
6 - -
-
6
1 s
6x
K2
6
F2
-
F2
0
oppure, in modo equivalente, il seguente:
τ
ω
-
1 b1 + J s
?
?
ω -
-
K1
s
6
6
τ1
- 1
R
- 1
R - -
1 b2 + M s
?
?
˙x
-
-
K2
s
6
6
F2
-
F2
0
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1.4. MODELLISTICA - Esempi di modellistica dinamica 1.4 12
1) Se le variabili di stato x =
ω τ1 ˙x F2 T
coincidono con le variabili di potenza, la descrizione del sistema nello spazio degli stati `e la seguente:
J 0 0 0
0 K1
1 0 0 0 0 M 0 0 0 0 K1
2
| {z }
L0
˙ω
˙τ1
¨ x F˙2
| {z }
˙x
=
−b1 −1 0 0
1 0 −
1
R 0
0 R1 −b2 −1
0 0 1 0
| {z }
A0
ω τ1
˙x F2
| {z } x
+
1 0 0 0
|{z}B0
|{z}τ u
y =
ω F2
= 1 0 0 0 0 0 0 1
| {z }
C0
x
o, in modo equivalente, la seguente (A = L−01A0, B = L−01B0 e C = C0):
˙x =
˙ω
˙τ1
¨ x F˙2
=
−
b1
J −
1
J 0 0
K1 0 −
K1
R 0
0 M R1 −
b2
M −
1 M
0 0 K2 0
| {z }
A
ω τ1
˙x F2
| {z } x
+
1 J
0 0 0
|{z}B
|{z}τ u
y =
ω F2
= 1 0 0 0 0 0 0 1
| {z }
C
x
2) Se invece le variabili di stato ˜x =
p1 θ p2 x T
= (L0x)T coincidono con le variabili energia , la descrizione del sistema diventa la seguente:
˙p1
˙θ
˙p2
˙x
| {z }
˙˜x
=
−
b1
J −K1 0 0
1
J 0 −
1
M R 0
0 KR1 −
b2
M −K2
0 0 1 0
| {z }
A˜
p1
θ p2
x
| {z }
˜ x
+
1 0 0 0
|{z}B˜
|{z}τ u
y =
ω F2
=
1
J 0 0 0 0 0 0 K2
| {z }
C˜
x
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1.4. MODELLISTICA - Esempi di modellistica dinamica 1.4 13
La funzione di trasferimento G(s) che lega l’ingresso τ all’uscita F2 si calcola facilmente utilizzando la formula di Mason :
G(s) = K1K2R
a4s4 + a3s3 + a2s2 + a1s + a0 dove:
a4 = J M R2
a3 = (b2J + b1M)R2
a2 = J K1 + b1b2R2 + J K2R2 + K1M R2 a1 = b1K1 + b2K1R2 + b1K2R2
a0 = K1K2R2
Si pu`o giungere allo stesso risultato anche applicando la seguente formula:
G(s) = C(I s − A)−1B
= C0(sI − L−01A0)−1L0−1B0 = C0(L0s − A0)−1B0
Nota: se tutti gli elementi dissipativi sono nulli, b1 = b2 = 0, il sistema `e conservativo e tutti i poli del sistema sono sull’asse immaginario.
G(s) = K1K2R
J M R2s4 + (J K1 + J K2R2 + K1M R2)s2 + K1K2R2
Nota: condizione necessaria affinche’ tutti i poli di un sistema dinamico siano sull’asse immaginario `e che il polinomio caratteristico abbia solamente i termini di ordine pari o solamente i termini di ordine dispari. Il modulo dei poli sull’asse immaginario coincide con le pulsazioni di risonanza del sistema.
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