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Sistema meccanico di trasmissione

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Academic year: 2021

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(1)

1.1. MODELLISTICA - Modellistica dinamica 1.4 11

Sistema meccanico di trasmissione

Si consideri il sistema meccanico mo- strato in figura, costituito da un albe- ro di inerzia J, che ruota a velocit`a ω, a cui `e applicata la coppia esterna τ. Tramite un rullo elastico avente ri- gidit`a torsionale K1 e raggio costan- te R, l’albero spinge una massa M che comprime una molla lineare con coefficiente di rigidit`a K2.

R

M J

b1

b2 K2

x

K1

w t

R

M J

b1

b2 K2

x

K1

w t

La forza esercitata dalla molla `e nulla quando la massa si trova nella posizione x = 0. L’inerzia e la massa sono soggette ad attrito viscoso con coefficienti di attrito lineare b1 e b2 rispettivamente. Il modello P.O.G. del sistema meccanico assegnato `e il seguente:

τ

ω

- 

?

1 s

?p1

1 J ω?

 -

 

b1

6

6 - -

 -

6

1 s

6θ

K1

6

τ1

-   1 

R

- 1

R - - 

?

1 s

?p2

1 M

?

˙x

 -

 

b2

6

6 - -

 -

6

1 s

6x

K2

6

F2

- 

F2

0

oppure, in modo equivalente, il seguente:

τ

ω

- 

1 b1 + J s

?

?

 ω -

 -

K1

s

6

6

τ1

-   1 

R

- 1

R - - 

1 b2 + M s

?

?

˙x

 -

 -

K2

s

6

6

F2

- 

F2

0

Zanasi R., Morselli R. - Sistemi di Controllo - 2004/05 1. MODELLISTICA

(2)

1.4. MODELLISTICA - Esempi di modellistica dinamica 1.4 12

1) Se le variabili di stato x = 

ω τ1 ˙x F2 T

coincidono con le variabili di potenza, la descrizione del sistema nello spazio degli stati `e la seguente:





J 0 0 0

0 K1

1 0 0 0 0 M 0 0 0 0 K1

2





| {z }

L0





˙ω

˙τ1

¨ x F˙2





| {z }

˙x

=





−b1 −1 0 0

1 0 −

1

R 0

0 R1 −b2 −1

0 0 1 0





| {z }

A0



 ω τ1

˙x F2





| {z } x

+



 1 0 0 0





|{z}B0

|{z}τ u

y = 

ω F2

 = 1 0 0 0 0 0 0 1



| {z }

C0

x

o, in modo equivalente, la seguente (A = L01A0, B = L01B0 e C = C0):

˙x =





˙ω

˙τ1

¨ x F˙2





=





b1

J

1

J 0 0

K1 0 −

K1

R 0

0 M R1

b2

M

1 M

0 0 K2 0





| {z }

A



 ω τ1

˙x F2





| {z } x

+





1 J

0 0 0





|{z}B

|{z}τ u

y = 

ω F2

 = 1 0 0 0 0 0 0 1



| {z }

C

x

2) Se invece le variabili di stato ˜x = 

p1 θ p2 x T

= (L0x)T coincidono con le variabili energia , la descrizione del sistema diventa la seguente:





˙p1

˙θ

˙p2

˙x





| {z }

˙˜x

=





b1

J −K1 0 0

1

J 0 −

1

M R 0

0 KR1

b2

M −K2

0 0 1 0





| {z }



 p1

θ p2

x





| {z }

˜ x

+



 1 0 0 0





|{z}B˜

|{z}τ u

y = 

ω F2

 =

1

J 0 0 0 0 0 0 K2



| {z }

x

Zanasi R., Morselli R. - Sistemi di Controllo - 2004/05 1. MODELLISTICA

(3)

1.4. MODELLISTICA - Esempi di modellistica dinamica 1.4 13

La funzione di trasferimento G(s) che lega l’ingresso τ all’uscita F2 si calcola facilmente utilizzando la formula di Mason :

G(s) = K1K2R

a4s4 + a3s3 + a2s2 + a1s + a0 dove:

a4 = J M R2

a3 = (b2J + b1M)R2

a2 = J K1 + b1b2R2 + J K2R2 + K1M R2 a1 = b1K1 + b2K1R2 + b1K2R2

a0 = K1K2R2

Si pu`o giungere allo stesso risultato anche applicando la seguente formula:

G(s) = C(I s − A)1B

= C0(sI − L01A0)1L01B0 = C0(L0s − A0)1B0

Nota: se tutti gli elementi dissipativi sono nulli, b1 = b2 = 0, il sistema `e conservativo e tutti i poli del sistema sono sull’asse immaginario.

G(s) = K1K2R

J M R2s4 + (J K1 + J K2R2 + K1M R2)s2 + K1K2R2

Nota: condizione necessaria affinche’ tutti i poli di un sistema dinamico siano sull’asse immaginario `e che il polinomio caratteristico abbia solamente i termini di ordine pari o solamente i termini di ordine dispari. Il modulo dei poli sull’asse immaginario coincide con le pulsazioni di risonanza del sistema.

Zanasi R., Morselli R. - Sistemi di Controllo - 2004/05 1. MODELLISTICA

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