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1.1. MODELLISTICA - Modellistica dinamica 1.4 3

Sistema meccanico di trasmissione

Si consideri il sistema meccanico mo- strato in figura, costituito da un albe- ro di inerzia J, che ruota a velocit`a ω, a cui `e applicata la coppia esterna τ. Tramite un rullo elastico avente ri- gidit`a torsionale K1 e raggio costan- te R, l’albero spinge una massa M che comprime una molla lineare con coefficiente di rigidit`a K2.

R M J

b₁

b₂ K₂

x

K₁

w t

M J

b₁

b₂ K₂

x

K₁

w t

La forza esercitata dalla molla `e nulla quando la massa si trova nella posizione x = 0. L’inerzia e la massa sono soggette ad attrito viscoso con coefficienti di attrito lineare b1 e b2 rispettivamente. Il modello P.O.G. del sistema meccanico assegnato `e il seguente:

τ

ω

- 

1?

s

?p₁

1 J ω?

 -

 

b1

6

6 - -

 -

6

1s

6θ

K1

6

τ1

-   1 

R

- 1

R ^{- - }_? 1s

?p₂

1 M

˙x?

 -

 

b2

6

6 - -

 -

6

1s

6x

K2

6

F2

- 

F2

0

oppure, in modo equivalente, il seguente:

τ

ω

- 

1 b1 + J s

?

?

 ω -

 -

K1

s

6

6

τ1

-   1 

R

- 1

R ^{- - }

1 b2 + M s

?

?

 ˙x -

 -

K2

s

6

6

F2

- 

F2

0

Zanasi R., Morselli R. - Sistemi di Controllo - 2004/05 1. MODELLISTICA

1.4. MODELLISTICA - Esempi di modellistica dinamica 1.4 4

La descrizione del sistema nello spazio degli stati `e la seguente:

⎡

⎢⎢

⎢⎣

J 0 0 0 0 _K¹₁ 0 0 0 0 M 0 0 0 0 _K¹₂

⎤

⎥⎥

⎥⎦

 

L

⎡

⎢⎢

⎢⎣

˙τ˙ω1

¨x˙F2

⎤

⎥⎥

⎥⎦

 

˙x

=

⎡

⎢⎢

⎢⎣

−b1 −1 0 0 1 0 −_R¹ 0 0 _R¹ −b2 −1

0 0 1 0

⎤

⎥⎥

⎥⎦

 

A

⎡

⎢⎢

⎢⎣ τω1

F˙x2

⎤

⎥⎥

⎥⎦

  x

+

⎡

⎢⎢

⎢⎣ 10 00

⎤

⎥⎥

⎥⎦

 B

 τ u

y = 

ω F2 

=

1 0 0 0 0 0 0 1



 

C

x

La funzione di trasferimento G(s) che lega l’ingresso τ all’uscita F2 si calcola facilmente utilizzando la formula di Mason :

G(s) = K1K2R

a4s⁴ + a3s³ + a2s² + a1s + a0

dove:

a4 = J M R²

a3 = (b2J + b1M)R²

a2 = J K1 + b1b2R² + J K2R² + K1M R² a1 = b1K1 + b2K1R² + b1K2R²

a0 = K1K2R²

Si giunge allo stesso risultato anche applicando la seguente formula:

G(s) = C(sI − L⁻¹A)⁻¹L⁻¹B = C(L s − A)⁻¹B

Nota: se tutti gli elementi dissipativi sono nulli, b1 = b2 = 0, il sistema `e conservativo e tutti i poli del sistema sono sull’asse immaginario.

G(s) = K1K2R

J M R²s⁴ + (J K1 + J K2R² + K1M R²)s² + K1K2R²

Nota: condizione necessaria affinche’ tutti i poli di un sistema dinamico siano sull’asse immaginario `e che il polinomio caratteristico abbia solamente i termini di ordine pari o solamente i termini di ordine dispari. Il modulo dei poli sull’asse immaginario coincide con le pulsazioni di risonanza del sistema.

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