• Sistema meccanico:

1.3. MODELLISTICA - Esempi di modellistica dinamica 1.3 1

Sistema dinamico da modellare e simulare

• Sistema meccanico:

• Modello dinamico del sistema meccanico:

F

^{- }_?

1 s? 1 M1

˙x

?1

 -

  6

b

6 - -

 -

6 1 s 6

K

6

F

e

- 

-  1? s? 1 M2j

˙x

?2

 -

  6

b

2 6

- -- 1 R -

ω

2 1

 R  -

K

j

s

6

6

τ

- 

-  1? s? 1 J1

ω

?1

 -

  6

d

1 6 - -

τ

d

• Uno schema POG equivalente `e il seguente:

F

^{- }

1 b1+M₁s

?

?

˙x

1

 -

 -

K s

6

6

F

e

- 

- 

1 b2+M_2js

?

?

˙x

2

 -- 1

R -

ω

2 1

 R  -

K

j

s

6

6

τ

- 

- 

1 d1+J₁s

?

?

ω

1

 -

τ

d

• Vettore di stato (variabili di potenza):

x =

˙x

1

F

e

˙x

2

τ ω

1



T

• La forza F `e l’ingresso di controllo. La coppia τ

d

`e il segnale di disturbo.

• La variabile di uscita di interesse `e la velocit`a angolare ω

1

.

Zanasi Roberto - Sistemi di Controllo Veicolo - 2002/03 1. MODELLISTICA

1.3. MODELLISTICA - Esempi di modellistica dinamica 1.3 2

• La massa M

2j

`e la somma della massa M

2

e del momento di inerzia J

2

riportata a monte della ruota di raggio R:

M

2j

= M

2

+ J

2

R

²

• Descrizione nello spazio degli stati: ⎡

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎢ ⎣

M

1

¨x

1 1 K

˙F

e

M

2j

¨x

2 1 K_j

˙τ J

1

˙ω

1

⎤

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎥ ⎦  

L ˙x

=

⎡

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎢ ⎣

−b

1

−1 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 1 −b

2

−

_R¹

0 0 0

_R¹

0 −1 0 0 0 1 −d

1

⎤

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎥ ⎦

 

A

⎡

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎢ ⎣

˙x

1

F

_e

˙x

2

τ ω

1

⎤

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎥ ⎦  

x

+

⎡

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎢ ⎣

1 0 0 0 0 0 0 0 0 −1

⎤

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎥ ⎦  

B

F τ

d

 

u

y =

0 0 0 0 1 

 

C

x cio`e 

L ˙x = A x + B u y = C x

 ⇓

˙x = L

⁻¹

A x + L

⁻¹

B u y = C x

dove L =

⎡

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎢ ⎣

M

1

0 0 0 0 0

_K¹

0 0 0 0 0 M

2j

0 0 0 0 0

_K¹

j

0 0 0 0 0 J

1

⎤

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎥ ⎦

• Di nuovo si pu`o notare che la parte simmetrica della matrice A `e funzione dei soli elementi dissipativi, mentre la parte emisimmetrica ‘e funzione dei soli “collegamenti”.

• Possibili parametri del sistema per una esercitazione in Matlab/Simulink:

M1 = 0.6*Kg; % Prima Massa

b1 = 2*N/(40*m/sec); % Coeff. di attrito sulla prima massa K = 100*N/(1*cm); % Rigidita’ della prima molla

M2 = 1*Kg; % Seconda Massa

b2 = 1*N/(50*m/sec); % Coeff. di attrito sulla seconda massa

R = 10*cm; % Raggio della ruota

J2 = 150*gr*(12*cm)^2; % Momento di inerzia di J2

Kj = 100*N/(0.1*rad); % Rigidita’ della molla torsionale J1 = 190*gr*(10*cm)^2; % Momento di inerzia di J1

d1 = 10*N*m/(100*rad/sec); % Coeff. di attrito sull’inerzia J1 M2j = M2+J2/(R^2); % Massa traslazionale equivalente

Zanasi Roberto - Sistemi di Controllo Veicolo - 2002/03 1. MODELLISTICA