Funzione di stato: caso discreto

Sistemi dinamici lineari

La funzione di stato che descrive un sistema dinamico lineare, `e rappresentabile in forma matriciale nel seguente modo:

• Per sistemi continui: ˙x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)

• Per sistemi discreti: x(k + 1) = A(k)x(k) + B(k)u(k)

• Proposizione : Ogni sistema a dimensioni finite lineare e regolare `e de- scrivibile in forma implicita per mezzo di una funzione di stato e di una funzione di uscita, e in forma esplicita per mezzo di funzione di transizione dello stato e di funzione di uscita.

• Caso continuo (t0 `e istante iniziale):

Forma implicita ⇒

⎧⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎩

˙x(t) = A(t)x(t)+B(t)u(t) y(t) = C(t)x(t)+D(t)u(t)

 Forma esplicita ⇒

⎧⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎩

x(t) = Φ(t, t₀)x(t₀)+Φ_f(t, t₀, u(·)) y(t) = C(t)x(t)+D(t)u(t)

dove Φ(t, t₀) `e la matrice di transizione dello stato, Φ(t, t<sub>0</sub>)x(t<sub>0</sub>) `e l’evoluzione libera e Φ_f(t, t₀, u(·)) `e l’evoluzione forzata.

• Caso discreto (h `e l’istante iniziale):

Forma implicita ⇒

⎧⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎩

x(k +1) = A(k)x(k)+B(k)u(k) y(k) = C(k)x(k)+D(k)u(k)

 Forma esplicita ⇒

⎧⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎩

x(k) = Φ(k, h)x(h)+Φ_f(k, h, u(·)) y(k) = C(k)x(k)+D(k)u(k)

Propriet` a della matrice Φ(t, t ₀ )

L’evoluzione libera di un sistema lineare continuo `e la seguente:

x(t) = Φ(t, t₀)x(t₀)

Come ogni altra funzione di transizione dello stato, anche questa evoluzione libera deve soddisfare le propriet`a di consistenza e di composizione, per cui devono valere le seguenti relazioni:

• Consistenza. Per ogni t0 ∈ R si ha che:

x(t₀) = Φ(t₀, t₀)x(t₀) da cui necessariamente segue che:

Φ(t₀, t₀) = I

• Composizione. Per ogni terna di valori t3 > t₂ > t₁ e per ogni stato iniziale x₁, se valgono le relazioni

x₂ = Φ(t₂, t₁)x₁, x₃ = Φ(t₃, t₂)x₂ allora si ha che

x₃ = Φ(t₃, t₁)x₁ = Φ(t₃, t₂)x₂ = Φ(t₃, t₂)Φ(t₂, t₁)x₁ per cui deve valere anche la relazione

Φ(t₃, t₁) = Φ(t₃, t₂)Φ(t₂, t₁)

Funzione di stato: caso discreto

Consideriamo il sistema lineare discreto, descritto dalla funzione di stato x(k + 1) = A(k)x(k) + B(k)u(k)

a partire dall’istante iniziale h, fino all’istante finale k:

x(h + 1) = A(h)x(h) + B(h)u(h)

x(h + 2) = A(h + 1)x(h + 1) + B(h + 1)u(h + 1)

= A(h + 1) [A(h)x(h) + B(h)u(h)] + B(h + 1)u(h + 1)

= A(h + 1)A(h)

  

Φ(h+2,h)

x(h) + B(h + 1)u(h + 1) + A(h + 1)

  

Φ(h+2,h+1)

B(h)u(h)

... ...

Definendo la matrice di transizione dello stato nel seguente modo:

Φ(k, h) =

⎧⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎩

A(k − 1) . . . A(h + 1)A(h) se k > h I (Matrice identit`a) se k = h si ottiene che:

x(k) = Φ(k, h)x(h) + Φ(k, h + 1)B(h)u(h) + . . . . . . + Φ(k, k)B(k − 1)u(k − 1)

= Φ(k, h)x(h) + ^{k −1}

j=hΦ(k, j + 1)B(j)u(j)

  

Φ_f(k, h, u(·)) cio`e che la funzione di transizione dello stato x(k)

x(k) = ϕ(k, h, x(h), u(·)) = ψ^l(k, h, x(h), 0) + ψ_f(k, h, 0, u(·))

pu`o essere espressa come somma del movimento libero ψ_l(k, h, x(h), 0) = Φ(k, h)x(h) e il movimento forzato ψ_f(k, h, 0, u(·)) = Φ^f(k, h, u(·)).

Esercizio. Sia dato il seguente sistema lineare discreto tempo-variante x(k + 1) =

⎛

⎝α + β k

⎞

⎠x(k) + b(k)u(k)

definito per k ≥ 1. Determinare la funzione di transizione dello stato del sistema a partire dalla condizione iniziale x(1) = x₁.

• Nel caso generale tempo-variante, la matrice di transizione dello stato vale

Φ(k, h) =

⎧⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎩

(α + _k−1^β )(α + _k−2^β ) . . . (α + ^β_h) per k > h

1 per k = h

La soluzione dell’equazione alle differenze `e quindi la seguente:

x(k) = Φ(k, 1)x₁ +^{k −1}

i=1 Φ(k, i + 1)b(i)u(i)

• Nel caso invece in cui si abbia β = 0, la matrice di transizione si semplifica Φ(k, h) = α^k−h

per cui la soluzione dell’equazione alle differenze diventa x(k) = α^k−1x₁ +^{k −1}

i=1 α^k−i−1b(i)u(i)

• Se poi si considera il caso di ingresso costante u(k) = u0 (k ≥ 1) e parametro b(k) = b costante, allora la soluzione si semplifica ulteriormente

x(k) = α^k−1x₁ +

⎛

⎝k −1

i=1 α^k−i−1

⎞

⎠b u₀

Il termine racchiuso tra parentesi pu`o essere trasformato come segue

k −1

i=1 α^k−i−1 = ^{k −2}

i=0 αⁱ = 1− α^k−1 1− α per cui la soluzione diventa

x(k) = α^k−1x₁ + 1 − α^k−1 1− α b u₀

Nel caso lineare tempo-invariante

x(k + 1) = α x(k) + b u(k)

la risposta al gradino del sistema pu`o essere calcolata anche utilizzando la tecnica delle Z-trasformate:

z[X(z) − x(1)] = αX(z) + b U(z) Posto x(1) = x₁ e isolando X(z) si ottiene:

X(z) = z

z − αx₁ + b

z − αU (z) Nel caso di gradino unitario in ingresso

U (z) = u₀z z − 1 si ha che

X(z) = z

z − αx₁ + b u₀z

(z − α)(z − 1)

= z

z − αx₁ + b u₀z (1 − α)

⎡

⎣ 1

z − 1 − 1 z − α

⎤

⎦

Antitrasformando e traslando di un periodo di campionamento si ottiene:

x(k) = α^k−1x₁ + b u₀1 − α^k−1 1− α

Funzione di stato: caso continuo

Consideriamo il sistema lineare continuo autonomo (cio`e con funzione di in- gresso nulla u(t) = 0) descritto dalla funzione di stato:

˙x(t) = A(t)x(t) (1)

La soluzione generica x(t) del sistema (1) a partire dallo stato iniziale x(t₀) = x₁(t₀)e₁ + x₂(t₀)e₂ + . . . + x_n(t₀)e_n

dove e₁, . . ., e_n sono i vettori della base canonica

e₁ =

⎡

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

1 0...

0

⎤

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎦

, e₂ =

⎡

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

0 1...

0

⎤

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎦

, . . . , e_n =

⎡

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

0 0...

1

⎤

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎦

deve potersi esprimere come combinazione lineare di n soluzioni linearmente indipendenti Φ_i(t, t₀) del sistema (1), cio`e:

x(t) = x₁(t₀)Φ₁(t, t₀) + x₂(t₀)Φ₂(t, t₀) + . . . + x_n(t₀)Φ_n(t, t₀)

Le n soluzioni Φ_i(t, t₀) si ottengono risolvendo il sistema (1) a partire dalle n condizioni iniziali e₁, . . ., e_n. Per ipotesi, quindi, la i-esima soluzione Φ_i(t, t₀) soddisfa l’equazione differenziale

d

dtΦ_i(t, t₀) = A(t)Φ_i(t, t₀)

con condizione iniziale: Φ_i(t₀, t₀) = e_i, per i = 1, . . . , n. Le n soluzioni Φ_i(t, t₀), dette anche movimenti liberi del sistema, non sono altro che le colonne della matrice di transizione dello stato:

Φ(t, t₀) = [Φ₁(t, t₀), Φ₂(t, t₀), . . . Φ_n(t, t₀)] → x(t) = Φ(t, t0)x(t₀) La matrice Φ(t, t₀) soddisfa pertanto l’equazione differenziale matriciale:

d

dtΦ(t, t₀) = A(t)Φ(t, t₀) con condizione iniziale: Φ(t₀, t₀) = I.

Soluzione della funzione di stato (Caso continuo)

Consideriamo il seguente sistema lineare non autonomo:

˙x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)

La soluzione di questa equazione differenziale matriciale `e la seguente:

x(t) = Φ(t, t₀)x(t₀) +

 t

t₀ Φ(t, τ )B(τ )u(τ )dτ dove Φ(t, t₀)x(t₀) rappresenta il movimento libero e ^{ t}

t₀ Φ(t, τ )B(τ )u(τ )dτ il movimento forzato.

La verifica si ottiene facilmente per sostituzione ed utilizzando la seguente regola di derivazione di una funzione integrale:

d dt

 b(t)

a(t) f (t, τ )dτ = f (t, b(t)) d

dtb(t) − f(t, a(t))d

dta(t) + ^{ b(t)}

a(t)

d

dtf (t, τ )dτ Derivando la soluzione x(t) si ottiene infatti che:

˙x(t) = d

dtΦ(t, t₀)x(t₀) + Φ(t, t)B(t)u(t) +

 t t₀

d

dtΦ(t, τ )B(τ )u(τ )dτ

= A(t)Φ(t, t₀)x(t₀) + B(t)u(t) + ^{ t}

t₀ A(t)Φ(t, τ )B(τ )u(τ )dτ

= A(t)



Φ(t, t₀)x(t₀) +

 t

t₀ Φ(t, τ )B(τ )u(τ )dτ



  

x(t)

+B(t)u(t)

= A(t)x(t) + B(t)u(t)

Esercizio. Si consideri il seguente sistema lineare continuo tempo-variante

˙x(t) = a(t)x(t) + b(t)u(t)

Risolvere il sistema a partire dalla condizione iniziale x(t₀) = x₀.

• Nel caso tempo-variante, la matrice di transizione dello stato si determina risolvendo la seguente equazione differenziale omogenea

Φ(t, t˙ ₀) = a(t)Φ(t, t₀)

a partire dalla condizione iniziale Φ(t₀, t₀) = 1. Operando le seguenti trasformazioni

Φ(t, t˙ ₀)

Φ(t, t₀) = a(t) → d ln Φ(t, t₀)

dt = a(t) →

→ ln Φ(t, t₀) = ^{ t}

t₀ a(ρ)dρ si ricava che

Φ(t, t₀) = e

 t

t₀ a(ρ)dρ

La soluzione dell’equazione differenziale `e quindi la seguente:

x(t) = e^{ tt0a(ρ)dρ}x₀ +

 t

t₀ e^{ tτa(ρ)dρ}b(τ )u(τ )dτ

• Nel caso in cui si abbia un parametro a(t) costante, a(t) = a, la matrice di transizione si semplifica come segue

Φ(t, t₀) = e^a(t−t0)

per cui la soluzione dell’equazione differenziale diventa x(t) = e^a(t−t0)x₀ +^{ t}

t₀ e^a(t−τ)b(τ )u(τ ) dτ

• Nel caso di ingresso costante u(t) = u0 e parametro b(t) = b costante, la soluzione si semplifica ulteriormente

x(t) = e^a(t−t0)x₀ +^{ t}

t₀ e^a(t−τ) dτ



b u₀

Il termine racchiuso tra parentesi pu`o essere trasformato come segue

 t

t₀ e^a(t−τ)dτ = 1

−a



e^a(t−τ)

t

t₀ = e^a(t−t0) − 1 a

per cui, in questo caso, la soluzione del problema diventa x(t) = e^a(t−t0)x₀ + e^a(t−t0) − 1

a b u₀

Sistemi lineari invarianti discreti.

La condizione di invarianza per i sistemi discreti si traduce nella non dipendenza dal tempo delle matrici che descrivono la funzione di stato e la funzione di uscita del sistema

⎧⎪

⎨

⎪⎩

x(k + 1) = A x(k) + B u(k) y(k) = C x(k) + D u(k)

In questo caso la matrice di transizione dello stato Φ(k, h) si semplifica.

Essendo la matrice A indipendente dal tempo, si ha che, per k > h:

A(h) = A(h + 1) = . . . = A(k − 1) = A

e quindi la matrice Φ(k, h) risulta funzione della sola differenza k − h:

Φ(k, h) = A(k − 1)A(k − 2) . . . A(h) = A^k−h Posto h = 0, la funzione di transizione dello stato diventa quindi:

x(k) = A^kx(0) +^{k −1}

j=0A^(k−j−1)Bu(j)

L’evoluzione forzata pu`o anche essere scritta nella seguente forma matriciale:

k −1

j=0 A^(k−j−1)Bu(j) =



B AB A²B . . . A^k−1B



⎡

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

u(k−1) u(k−2) u(k−3)

...

u(0)

⎤

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎦

Nota. Nell’ipotesi che la matrice A sia invertibile, il sistema risulta reversi- bile, cio`e `e sempre possibile determinare lo stato iniziale x(0) partendo dalla conoscenza dello stato x(k) all’istante k e dell’ingresso u(·) nell’intervallo [0, k − 1]:

x(0) = A^−kx(k)− A^{−kk −1}

j=0A^(k−j−1)Bu(j) =

= A^−kx(k)− ^{k −1}

j=0A^(−j−1)Bu(j)

Sistemi lineari invarianti continui

La condizione di invarianza per i sistemi continui si traduce nella non dipen- denza dal tempo delle matrici che descrivono la funzione di stato e la funzione di uscita

⎧⎪

⎨

⎪⎩

˙x(t) = A x(t) + B u(t) y(t) = C x(t) + D u(t)

• Nel caso stazionario, la matrice di transizione Φ(t, t0) dipende soltanto dalla differenza t − t0: Φ(t, t₀) = Φ(t− t0). Senza togliere in generalit`a, potremo quindi porre t₀ = 0 e scrivere:

d

dtΦ(t − t0) = AΦ(t − t0) ^t⇒⁰⁼⁰ d

dtΦ(t) = AΦ(t) con condizione iniziale Φ(0) = I.

• La soluzione della precedente equazione differenziale matriciale `e la serie di potenze a coefficienti matriciali:

Φ(t) = I + At + A²t²

2! + . . . + Aⁿtⁿ

n! + . . . = e^{ At}

La verifica per sostituzione `e immediata se si applica il teorema di deriva- zione per serie:

Φ(t) = A˙

⎡

⎢⎣I + At + A²t²

2! + . . . + Aⁿtⁿ

n! + . . .

⎤

⎥⎦ = AΦ(t)

• In modo formale, tale serie esponenziale viene indicata con il simbolo e^At, oppure exp(At):

e^{At }= ^∞

n=0

(At)ⁿ n!

Per sistemi lineari stazionari la matrice di transizione dello stato `e Φ(t, t₀) = e^A(t−t0)

per cui la funzione di transizione dello stato diventa x(t) = e^A(t−t0)x(t₀) +

 t

t₀ e^A(t−τ)Bu(τ )dτ Nel caso in cui si scelga t₀ = 0 si ha:

Φ(t) = e^At e quindi

x(t) = e^Atx(0) +^₀^t e^A(t−τ)Bu(τ )dτ

————–

Nota. A differenza del caso discreto, nel caso di sistemi continui la funzione di transizione Φ(t) `e sempre invertibile. Infatti, se la Φ(t) fosse singolare, dovrebbe esistere un vettore v = o, tale che Φ(t)v = o, ma anche per il vettore nullo deve valere che Φ(t)o = o, ma ci`o contraddice l’unicit`a della soluzione di una equazione differenziale.

Nota. Dalla invertibilit`a della matrice Φ(t) segue che `e sempre possibile de- terminare lo stato iniziale x(t₀), noti lo stato finale x(t) e i valori assunti dalla funzione di ingresso u(t) nell’intervallo di tempo considerato.

x(t₀) = e^A(t0−t)x(t) − ^_t0^t e^A(t0−τ)Bu(τ )dτ