1 Sistemi Dinamici

Sistemi Dinamici e Meccanica Classica A/A 2009—2010.

Esame del 25/02/2010 Motivare i passaggi ed i calcoli.

1 Sistemi Dinamici

Si consideri il sistema dinamico

 ˙x = y

˙

y = −^∂U_∂x (1)

con U = x²e^−x.

1. Tracciare qualitativamente le curve di fase del sistema.

2. Calcolare le frequenze delle piccole oscillazioni vicino al punto di equi- librio stabile.

3. Calcolare le tangenti alla separatrice nel punto di equilibrio instabile.

4. Si consideri ora il sistema:

 ˙x = y − 2 x + x²

˙

y = −^∂U_∂x − y x²e^−x. (2) Si verifichi che ha gli stessi punti di equilibrio di (1).

Per i 12 crediti:

5. Si dimostri che anche la natura di tali punti punti di equilibrio `e la stessa per (1) e per il sistema deformato (2).

Suggerimento: per il punto di equilibrio stabile si usi il metodo di Lyapunov, mentre per quello instabile si linearizzi.

2 Meccanica Lagrangiana

Due aste omogenee AB e BC, rispettivamente di massa 2m e 3m e lunghezza l, sono mobili in un piano verticale. L’asta AB `e libera di ruotare attorno all’estremo fisso A, mentre l’asta BC pu`o ruotare attorno all’estremo comune B.

1. Scrivere la Lagrangiana del sistema e le equazioni del moto 2. Determinare i punti di equilibrio e la loro natura.

3. Determinare le frequenze proprie delle piccole oscillazioni vicino al punto di equilibrio stabile.

4. Facoltativo: Trovare i modi normali di oscillazione relativi alle frequen- ze del punto precedente.

1

3 Meccanica Hamiltoniana

1) Verificare che la trasformazione definita da











Q₁ = q₁q₂

Q₂ = q₁²− q₂²

P₁ = q₂p₁

q₂² + q₁² + q₁p₂ q₂²+ q₁²

P2 = ¹₂

 q1p1

q₂²+ q₁² − q2p2

q₂²+ q₁²

 (3)

`

e canonica e costruirne una funzione generatrice di seconda specie.

2) E possibile costruire una funzione generatrice di prima specie per tale` trasformazione? E di terza specie – cio`e una funzione generatrice espressa come ˆS = ˆS(Q₁, Q₂, p₁, p₂)?

3) Si consideri l’Hamiltoniana

H = 1 2

(q₁+ 2 q₂) p₁ q₂²+ q₁² + 1

2

(2 q₁− q₂) p₂

q₂² + q₁² + q12− q22− q12

q22

.

Mostrare che, nelle coordinate {Q₁, Q₂, P₁, P₂} definite in (3), l’equazione di Hamilton Jacobi associata ad H ammette un integrale completo separato, e calcolarlo.

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