Sistemi Dinamici e Meccanica Classica A/A 2009—2010.
Esame del 01/02/2010 Motivare i passaggi ed i calcoli.
1 Sistemi Dinamici
Si consideri il sistema dinamico
˙x = y
˙
y = −∂U∂x (1)
con U = e−x33 (1 + x2).
1. Tracciare qualitativamente le curve di fase del sistema.
2. Calcolare le frequenze delle piccole oscillazioni vicino al punto di equi- librio stabile.
3. Calcolare le tangenti alla separatrice nel punto di equilibrio instabile.
4. Si consideri ora il sistema:
( ˙x = y − x + x2
˙
y = −∂U∂x − y x2e−x33 . (2) Si verifichi che ha gli stessi punti di equilibrio di (1).
Per i 12 crediti:
5. Si dimostri che anche la natura di tali punti punti di equilibrio `e la stessa per (1) e per il sistema deformato (2).
Suggerimento: per il punto di equilibrio stabile si usi il metodo di Lyapunov, mentre per quello instabile si linearizzi.
2 Meccanica Lagrangiana 3 Meccanica Hamiltoniana
Per la sufficienza, risolvere almeno uno dei seguenti problemi.
Esercizio H3 1) Verificare che la trasformazione definita da
Q1 = q1q2
Q2 = q12− q22
P1 = q2p1
q22 + q12 + q1p2 q22+ q12
P2 = 12
q1p1
q22+ q12 − q2p2 q22+ q12
(3)
`
e canonica e costruirne una funzione generatrice di seconda specie.
2) `E possibile costruire una funzione generatrice di prima specie per tale trasformazione? E di terza specie – cio`e una funzione generatrice espressa come ˆS = ˆS(Q1, Q2, p1, p2)?
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