x 2, −π &lt

Leonardo Colzani

Dipartimento di Matematica, Universit`a degli Studi di Milano Bicocca SPAZI DI HILBERT

SERIE DI FOURIER

PROBLEMI DI STURM LIOUVILLE

X+∞

n=1

(−1)ⁿ⁺¹

n sin(nx) = x

2, −π < x < π

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-4 -2 2 4

x

X10 n=1

(−1)ⁿ⁺¹

n sin(nx)

La luce pu`o essere scomposta in uno spettro di vari colori. Il suono pu`o essere scomposto in una superposizione di armoniche fondamentali. In gen- erale, ogni fenomeno ondulatorio pu`o essere scomposto in una somma di onde armoniche stazionarie, le vibrazioni di un certo sistema fisico possono essere scomposte in una somma di certe vibrazioni fondamentali. Le vibrazioni di un sistema fisico sono spesso descritte da equazioni differenziali, e le vi- brazioni fondamentali sono legate agli autovalori ed autofunzioni di queste equazioni. C’`e un principio generale: Ogni funzione pu`o essere sviluppata in serie o in integrali di funzioni trigonometriche. Questo principio `e stato enunciato esplicitamente da Fourier e dimostrato rigorosamente da Dirichlet.

C’`e un principio pi`u generale: Ogni funzione pu`o essere sviluppata in auto- funzioni di certi operatori differenziali autoaggiunti. Questo principio `e stato enunciato esplicitamente da Liouville e ripreso da molti fisici e matematici nel XIX secolo, Ohm, Poisson, Rayleigh,..., ma una formulazione rigorosa del problema e la sua soluzione sono dell’inizio del XX secolo.

Questo `e, pi`u o meno, l’argomento del corso: Sviluppi in serie di auto- funzioni di operatori differenziali autoaggiunti. L’indice `e il seguente.

1- Teoria elementare degli spazi di Hilbert.

2- Equazioni differenziali alle derivate parziali. Il problema di Dirichlet per equazioni ellittiche ed il teorema di Malgrange-Ehrenpreis sull’esistenza di soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti.

3- Sistemi ortonormali completi in spazi di Hilbert e sviluppi in serie di Fourier. In particolare, il sistema trigonometrico con qualche cenno alla trasformata di Fourier rapida, i polinomi ortogonali, il sistema di Haar.

4- Decomposizione spettrale di operatori compatti. Questa `e una gener- alizzazione del fatto che ogni matrice reale simmetrica ha autovalori reali e con una rotazione degli assi pu`o essere diagonalizzata.

5- Equazioni differenziali ed integrali. L’inverso della derivazione `e l’integrazione, una equazione differenziale `e equivalente ad una integrale.

6- Problema di Sturm-Liouville. Gli operatori inversi di certi operatori differenziali sono operatori integrali compatti, quindi la risoluzione di certe equazioni differenziali porta a considerare degli sviluppi in autofunzioni.

7- Studio del comportamento oscillatorio di equazioni differenziali del second’ordine. Sviluppo asintotico degli autovalori e delle autofunzioni.

8- Qualche cenno alle funzioni di Bessel.

SPAZI DI HILBERT

In Rⁿ ogni punto o vettore pu`o essere scomposto in una somma

v = (α, β, ..., γ) = α(1, 0, ..., 0) + β(0, 1, ..., 0) + ... + γ(0, 0, ..., 1) e, per il teorema di Pitagora,

kvk =p

α²+ β²+ ... + γ².

I vettori (1, 0, ..., 0), (0, 1, ..., 0),...,(0, 0, ..., 1) sono una base dello spazio e gli scalari α, β,...,γ sono le coordinate del vettore (α, β, ..., γ) rispetto a questa base. E’ possibile introdurre delle basi e dei sistemi di coordinate anche in spazi vettoriali di dimensione infinita? Questo `e stato fatto da Hilbert, Riesz, von Neumann, e altri.

DEFINIZIONE: Un prodotto interno su uno spazio vettoriale complesso H `e una funzione da H × H in C con le seguenti propriet`a:

Per ogni x, y, z in H ed ogni α e β in C,

1) < αx + βy, z >= α < x, z > +β < y, z >, 2) < x, y >= < y, x >,

3) < x, x >≥ 0, e < x, x >= 0 se e solo se x = 0.

La norma di un vettore `e kxk =√

< x, x >.

Se x, y ∈ H e λ = < x, y >

|< x, y >|t, con t reale otteniamo

0 ≤< x + λy, x + λy >= kyk²t²+ 2 |< x, y >| t + kxk².

Il discriminante di un polinomio quadratico positivo `e negativo e da questo segue la diseguaglianza di Cauchy-Schwarz,

|< x, y >| ≤ kxk kyk .

Dalla diseguaglianza di Cauchy-Schwarz si ricava la diseguaglianza trian- golare,

kx + yk² =< x + y, x + y >= kyk²+ 2 Re < x, y > + kxk²

≤ kyk²+ 2 kyk kxk + kxk² = (kxk + kyk)², kx + yk ≤ kxk + kyk .

Quindi kxk definisce una norma e kx − yk una distanza in H.

DEFINIZIONE: Uno spazio di Hilbert `e uno spazio vettoriale con prodotto interno che `e completo rispetto alla distanza definita dalla norma.

DEFINIZIONE: Se < x, y >= 0 i vettori x e y si dicono ortogonali tra loro. Un sistema ortogonale `e un insieme di vettori ortogonali tra loro.

Un sistema ortonormale `e un insieme di vettori ortogonali e di norma uno.

Dato un insieme X di elementi di H, indichiamo con X^⊥ l’insieme dei vettori ortogonali a tutti i vettori in X.

ESEMPI:

1) Cⁿ = {x = (x₁, x₂, ..., x_n) : x_j ∈ C} con il prodotto interno < x, y >=

Xn j=1

x_jy_j.

I vettori u_j = (..., 0, 1_j, 0, ...) sono un sistema ortonormale e sono una base.

2) `²(Z) = (

x = {x_j}^+∞_j=−∞ : X+∞

j=−∞

|x_j|² < +∞

)

con il prodotto interno

< x, y >=

X+∞

j=−∞

x_jy_j.

I vettori uj = (..., 0, 1j, 0, ...) sono un sistema ortonormale in `<sup>2</sup>(Z) e questo sistema `e massimale.

3) Se dµ `e una misura positiva su uno spazio di misura X, L²(X, dµ) =

½

φ misurabile, Z

X

|φ|²dµ < +∞

¾

con il prodotto interno < φ, ψ >=

Z

X

φψdµ.

Riesz e Fischer hanno dimostrato che L²(X, dµ) `e completo. Questo `e forse il maggior pregio dell’integrale di Lebesgue. Lo spazio delle funzioni Riemann integrabili su un intervallo [a, b] con prodotto interno < φ, ψ >=

Z _b

a

φ(x)ψ(x)dx non `e completo. Questa `e forse la principale mancanza dell’integrale di Riemann.

Le funzioni trigonometriche {exp(2πinx)}^+∞_n=−∞ sono un sistema ortonor- male in L²[0, 1].

TEOREMA: Ogni insieme non vuoto, chiuso e convesso in uno spazio di Hilbert contiene uno ed un solo elemento di norma minima.

Dimostrazione: La somma dei quadrati delle diagonali di un parallelo- gramma `e uguale alla somma dei quadrati dei lati:

kx + yk²+ kx − yk² = 2 kxk²+ 2 kyk².

Sia X chiuso e convesso, e sia δ = inf {kxk : x ∈ X}. Se x, y ∈ X, allora anche x + y

2 ∈ X e per la regola del parallelogramma si ha kx − yk² = 2 kxk² + 2 kyk²− 4

°°

°°x + y 2

°°

°°

2

≤ 2¡

kxk²+ kyk²¢

− 4δ².

Se {x_n} `e una successione di elementi in X con {kx<sub>n</sub>k} → δ, allora {kxm− xnk} → 0. Poich´e X `e chiuso, la successione {xn} converge ad un elemento x ∈ X con kxk = δ. Sempre per la regola del parallelogramma, questo elemento di norma minima `e unico. ¥

TEOREMA (delle proiezioni): Sia X un sottospazio chiuso di uno spazio di Hilbert H e sia X^⊥ il sottospazio ortogonale a X. Esiste una ed una sola coppia di proiezioni lineari P : H →X e Q : H →X^⊥ tali che

1) kz − P zk = inf {kz − xk : x ∈ X} , 2) kz − Qzk = inf©

kz − yk : y ∈ X^⊥ª , 3) kzk² = kP zk²+ kQzk².

Dimostrazione: Se z ∈ H, l’insieme z + X `e chiuso e convesso, quindi contiene un elemento di norma minima Qz. Definiamo poi P z = z − Qz, quindi l’applicazione P manda H in X e P + Q `e l’identit`a.

Per definizione, per ogni x ∈ X e λ ∈ C si ha kQz − λxk² ≥ kQzk², quindi

λλ < x, x > −λ < x, Qz > −λ < Qz, x >≥ 0.

Supponendo < x, x >= 1 e ponendo λ =< Qz, x >, si ottiene − |< Qz, x >|² ≥ 0. Quindi < Qz, x >= 0 e l’applicazione Q manda H in X^⊥.

Per dimostrare la linearit`a delle applicazioni P e Q, osserviamo che

P (λz + µw) + Q(λz + µw) = λz + µw = λ(P z + Qz) + µ(P w + Qw).

quindi

P (λz + µw) − λP z − µP w = λQz + µQw − Q(λz + µw).

Siccome il primo membro `e in X ed il secondo in X<sup>⊥</sup>, entrambi devono es- sere zero, le applicazioni sono lineari. Infine, per l’ortogonalit`a < P z, Qz >=

0 si ha

kzk² =< P z + Qz, P z + Qz >= kP zk²+ kQzk². ¥

COROLLARIO: Se X `e un sottospazio chiuso di uno spazio di Hilbert H e X 6= H, allora esiste un y non nullo ortogonale ad X.

Dimostrazione: Se z /∈ X, z = P z + Qz con Qz non nullo ed in X^⊥. ¥ TEOREMA (Riesz): Per ogni y in uno spazio di Hilbert H, l’applicazione x →< x, y > `e un funzionale lineare continuo su H. Viceversa, se L : H → C

`e un funzionale lineare continuo, esiste uno ed un solo y in H tale che Lx =< x, y >.

Dimostrazione: Poniamo X = {x : Lx = 0}. Questo `e un sottospazio chiuso e se L 6= 0 l’ortogonale ha dimensione uno. Esiste allora y in X^⊥ con Ly =< y, y >. Se z ∈ H, decomponendo z = x + λy, con x ∈ X e λ ∈ C, si ottiene

Lz = L(x + λy) = Lx + λLy = λLy

= λ < y, y >=< x + λy, y >=< z, y > . ¥

Altra Dimostrazione: Vogliamo presentiamo una dimostrazione costrut- tiva del teorema di rappresentazione dei funzionali lineari continui su `<sup>2</sup>(Z), anzi, pi`u in generale vogliamo determinare i funzionali continui sugli spazi vettoriali `^p(Z), 0 < p < +∞,

`^p(Z) =



x = {x_j}^+∞_j=−∞ : kxk_p = ( _+∞

X

j=−∞

|x_j|^p )_1/p

< +∞



.

Se L `e un funzionale lineare su `^p(Z) e se u_j = (..., 0, 1_j, 0, ...), definiamo Lu_j = y_j e y = {y_j}^+∞_j=−∞. Allora, per la continuit`a e linearit`a del funzionale,

Lx = L Ã _+∞

X

j=−∞

xjuj

!

= X+∞

j=−∞

xjLuj = X+∞

j=−∞

xjy_j =< x, y > .

Assumendo l’esistenza di una costante c tale che |Lx| ≤ c kxk_p per ogni x, si verifica che la successione y deve essere tale

( X+∞

j=−∞

|y_j|^p/(p−1)

)_(p−1)/p

≤ c se 1 < p < +∞ e sup−∞<j<+∞|yj| ≤ c se 0 < p ≤ 1. ¥

In analogia agli spazi euclidei, cerchiamo ora di introdurre negli spazi di Hilbert delle basi formate da sistemi ortonormali.

DEFINIZIONE: I coefficienti di Fourier di un vettore x rispetto ad un sistema ortonormale {u_n} sono definiti dai prodotti interni {< x, u_n >}, la serie di Fourier `e X

n

< x, u_n > u_n.

TEOREMA (delle proiezioni): Sia {u1, u2, ..., un} un sistema di n vettori ortonormali. Allora per ogni vettore x e per ogni scelta di scalari λ₁, λ₂,..., λ_n si ha

°°

°°

°x − Xn

j=1

< x, uj > uj

°°

°°

°≤

°°

°°

°x − Xn

j=1

λjuj

°°

°°

°

e l’uguaglianza vale solo se λ_j =< x, u_j > per ogni 1 ≤ j ≤ n.

Il vettore Xn

j=1

< x, u_j > u_j `e la proiezione ortogonale di x sul sottospazio generato da {u<sub>1</sub>, u<sub>2</sub>, ..., u<sub>n</sub>} e la distanza di x da questo sottospazio `e

°°

°°

°x − Xn j=1

< x, u_j > u_j

°°

°°

°= vu

utkxk²− Xn

j=1

|< x, u_j >|². Dimostrazione:

°°

°°

°x − Xn

j=1

λ_ju_j

°°

°°

°

2

=< x − Xn

j=1

λ_ju_j, x − Xn

j=1

λ_ju_j >

=< x, x > − Xn

j=1

λ_j< x, u_j > − Xn

j=1

λ_j < x, u_j > − Xn

j=1

λ_jλ_j

=< x, x > − Xn

j=1

|< x, uj >|²+ Xn j=1

|< x, uj > −λj|².

Il minimo di questa quantit`a si ha per λ_j =< x, u_j > e x−

Xn j=1

< x, u_j > u_j

`e ortogonale a {u₁, u₂, ..., u_n},

< x − Xn j=1

< x, u_j > u_j, u_k>=< x, u_k > − Xn

j=1

< x, u_j >< u_j, u_k>= 0. ¥

Altra Dimostrazione: Limitiamoci a spazi di Hilbert reali. Il minimo della distanza

°°

°°

°x − Xn

j=1

λ_ju_j

°°

°°

°

2

al variare di (λ₁, λ₂, ..., λ_n) in una opportuna sfera di Rⁿ esiste e si pu`o trovare derivando:

∂

∂λ_k

°°

°°

°x − Xn

j=1

λ_ju_j

°°

°°

°

2

= ∂

∂λ_k < x − Xn

j=1

λ_ju_j, x − Xn

j=1

λ_ju_j >

= −2 < x − Xn

j=1

λ_ju_j, u_k>= 2 (λ_k− < x, u_k>) . La derivata `e zero se e solo se λk =< x, uk>. ¥

La seconda dimostrazione pu`o essere generalizzata ad altri spazi funzion- ali. Ad esempio la migliore approssimazione in L^p(X, dµ), 1 ≤ p < +∞, di una funzione φ con combinazioni lineari

Xn j=1

λ_jψ_j `e caratterizzata dalle condizioni di ortogonalit`a

∂

∂λ_k Z

X

¯¯

¯¯

¯φ − Xn

j=1

λ_jψ_j

¯¯

¯¯

¯

p

dµ = 0,

−p Z

X





¯¯

¯¯

¯φ − Xn

j=1

λjψj

¯¯

¯¯

¯

p−1

signum Ã

φ − Xn

j=1

λjψj

!

 · ψkdµ = 0.

Osserviamo che solo per p = 2 si ottiene una condizione lineare.

Il teorema precedente ha come importante corollario la diseguaglianza di Bessel e l’uguaglianza di Parseval, che `e una generalizzazione del teorema di Pitagora.

COROLLARIO (Diseguaglianza di Bessel e uguaglianza di Par- seval): Se {u_j} `e un sistema ortonormale, per ogni vettore x si ha

X

j

|< x, u_j >|² ≤ kxk².

Vale l’uguaglianza se x appartiene alla chiusura del sottospazio lineare gen- erato da {u_n}.

TEOREMA (Riesz-Fischer): Sia {u_j} un sistema ortonormale in uno spazio di Hilbert.

1) Se X

j

|λj|² < +∞, allora la serie X

j

λjuj converge ad un elemento x e si ha λ_j =< x, u_j >.

2) La serie di Fourier X

j

< x, u_j > u_j converge alla proiezione di x sulla chiusura del sottospazio lineare generato da {un}.

Dimostrazione: Per dimostrare 1) basta mostrare che le somme parziali della serie X

j

λ_ju_j sono una successione di Cauchy. Se B ⊂ A

°°

°°

° X

j∈A

λ_ju_j−X

j∈B

λ_ju_j

°°

°°

°

2

= X

j∈A−B

|λ_j|².

Questa quantit`a pu`o essere resa arbitrariamente piccola, pur di prendere l’insieme di indici B abbastanza grande.

Il punto 2) segue dalla diseguaglianza di Bessel. ¥

TEOREMA: Sia {u_j} un sistema ortonormale in uno spazio di Hilbert H. Le seguenti condizioni sono equivalenti:

1) {u_j} un sistema massimale di vettori ortonormali in H.

2) Le combinazioni lineari finite di elementi in {u_j} sono dense in H.

3) Ogni x in H `e somma della sua serie di Fourier X

j

< x, u_j > u_j. 4) Per ogni x in H vale l’uguaglianza di Parseval kxk² =X

j

|< x, u_j >|². 5) Per ogni x e y in H si ha < x, y >=X

j

< x, uj > < y, uj >.

Dimostrazione: 1) ⇒ 2). Se il sottospazio generato {uj} non `e denso, esiste y in H con y −X

j

< y, u_j > u_j 6= 0. Ma questo vettore `e ortogonale ad {u_j}.

2) ⇒ 3). Questo segue dal fatto che la serie di Fourier X

j

< x, u_j > u_j converge alla proiezione di x sottospazio generato {u_j}.

3) ⇒ 4). Questo segue dal fatto che

°°

°°

° X

j

< x, u_j > u_j

°°

°°

°

2

=X

j

|< x, u_j >|². 4) ⇒ 5). Per ogni vettore x e y e scalare λ si ha

kx − λyk² = kxk²+ |λ|²kyk²− 2 Re¡

λ < x, y >¢ , e

X

j

|< x − λy, u_j >|²

=X

j

|< x, uj >|² + |λ|²X

j

|< y, uj >|²− 2 Re Ã

λX

j

< x, uj > < y, uj >

! .

Se vale 4), allora Re¡

λ < x, y >¢

= Re Ã

λX

j

< x, u_j > < y, u_j >

! , da cui si ricava < x, y >=X

j

< x, u_j > < y, u_j >.

5) ⇒ 1). 5) implica 4) e l’uguaglianza di Parseval implica che un vettore ortogonale a {u_j} `e nullo. ¥

DEFINIZIONE: Una base ortonormale o sistema ortonormale completo

`e un sistema che soddisfa una delle condizioni del teorema precedente.

Con il lemma di Zorn si pu`o mostrare che ogni sistema ortonormale pu`o essere completato. In particolare ogni spazio di Hilbert H possiede una base ortonormale {u_j}_j∈Aindicizzata su un certo insieme A. L’applicazione lineare che ad ogni x in H associa la successione dei coefficienti di Fourier {< x, u_j >

}j∈A `e una isometria tra H e `²(A). Spazi di Hilbert con basi ortonormali della stessa cardinalit`a sono isometrici. Se lo spazio di Hilbert `e separabile, allora la cardinalit`a di una base `e al pi`u numerabile.

Data una successione finita o numerabile di vettori {vj}^+∞_j=0, esiste un procedimento canonico per costruire un sistema ortonormale che genera lo stesso spazio dei vettori {v_j}^+∞_j=0, il processo di ortonormalizzazione di Gram- Schmidt:

u₀ = kv₀k⁻¹v₀, un=

°°

°°

°vn− Xn−1

j=1

< vn, uj > uj

°°

°°

°

−1Ã vn−

Xn−1 j=1

< vn, uj > uj

!

Se i vettori {v_j}ⁿ_j=0 sono linearmente indipendenti, lo spazio da essi gen- erato coincide con lo spazio generato da {u_j}ⁿ_j=0.

Una semplice ma importante osservazione `e che per dimostrare la com- pletezza di un sistema ortonormale {u_j} in H, basta dimostrare la com- pletezza del sistema in un sottospazio denso in H. Anzi, se con combinazioni lineari X

j

λ_ju_j `e possibile approssimare bene quanto si vuole un sistema di vettori {vj} che genera un sottospazio denso in H, allora il sistema {uj} `e completo in H.

Diamo una semplice applicazione di questa osservazione.

TEOREMA (Vitali-Dalzell): Sia {u_j(x)} un sistema ortonormale in L²[a, b].

1) Se per un insieme denso di r in [a, b] si ha

X

j

¯¯

¯¯ Z _r

a

u_j(x)dx

¯¯

¯¯

2

= r − a, allora il sistema {u_j(x)} `e completo in L²[a, b].

2) Se

X

j

Z _b

a

¯¯

¯¯ Z _r

a

u_j(x)dx

¯¯

¯¯

2

dr = (b − a)²

2 ,

allora il sistema {uj(x)} `e completo in L²[a, b].

Dimostrazione: Per la diseguaglianza di Bessel per ogni r si ha

X

j

¯¯

¯¯ Z _r

a

uj(x)dx

¯¯

¯¯

2

=X

j

¯¯< χ_[a,r], uj >¯

¯² ≤ Z _b

a

¯¯χ_[a,r](x)¯

¯²dx = r − a.

L’uguaglianza implica che la funzione caratteristica χ_[a,r](x) appartiene alla chiusura del sottospazio generato da {u_j(x)}. Le funzioni {χ_[a,r](x)}

generano il sottospazio delle funzioni semplici con discontinuit`a in questi punti r. Se l’insieme degli r `e denso in [a, b], questo sottospazio `e denso in L²[a, b]. Questo prova 1).

Integrando la disuguaglianza precedente si ha Z _b

a

ÃX

j

¯¯< χ_[a,r], u_j >¯

¯²

! dr ≤

Z _b

a

(r − a)dr = (b − a)²

2 .

Se vale l’uguaglianza, allora X

j

¯¯< χ_[a,r], u_j >¯

¯² = r − a per quasi ogni r in [a, b]. Quindi 2) segue da 1). ¥

ESERCIZI:

In uno spazio di Hilbert, kx − yk + ky − zk = kx − zk se e solo se y = λx + (1 − λ)z con 0 ≤ λ ≤ 1. La sfera unitaria di uno spazio di Hilbert `e strettamente convessa, se kxk = kyk = 1 e se x 6= y, allora

°°

°°x + y 2

°°

°° < 1. In uno spazio di Hilbert vale la polarizzazione dell’identit`a

< x, y >= 1 4

¡kx + yk²− kx − yk²+ i kx + iyk² − i kx − iyk²¢ . Se in uno spazio di Banach vale la regola del parallelogramma

kx + yk² + kx − yk² = kxk²+ kyk², lo spazio `e di Hilbert.

< φ, ψ >= φ(a)ψ(a) + Z _b

a

d

dxφ(x) d

dxψ(x)dx `e un prodotto interno su C<sup>1</sup>[a, b], ma lo spazio non `e completo. Il completamento di questo spazio

`e formato da funzioni continue? Derivabili? Sia a ≤ c ≤ b. Il funzionale lineare φ(x) 7−→ φ(c) `e continuo rispetto a questo prodotto interno? Quale

`e l’elemento che lo rappresenta?

Se φ(z) `e olomorfa in {|z| < 1}, allora φ(x + iy) = 1

π Z Z

{u²+v²<1}

φ(u + iv)

(1 − (x + iy)(u − iv))²dudv.

Lo spazio H² delle funzioni olomorfe in {|z| < 1} con il prodotto interno

< φ, ψ >=

Z Z

{x²+y²<1}

φ(x + iy)ψ(x + iy)dxdy

`e uno spazio di Hilbert e le funzioni

(rn + 1 π zⁿ

)_+∞

n=0

sono un sistema ortonor- male completo in H².

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ALLE DERIVATE PARZIALI

In un aperto limitato Ω di R^N consideriamo un operatore differenziale ellittico del second’ordine in forma di divergenza

P µ

x, ∂

∂x

¶

ψ(x) = − X

1≤j,k≤N

∂

∂x_j µ

a_j,k(x) ∂

∂x_kϕ(x)

¶ ,

con {aj,k(x)} funzioni reali continue e con la matrice {aj,k(x)} simmetrica definita positiva, X

1≤j,k≤N

a_j,k(x)ξ_jξ_k ≥ c |ξ|². Vogliamo risolvere il problema al bordo



 P

µ x, ∂

∂x

¶

u(x) = ϕ(x) x ∈ Ω,

u(x) = 0 x ∈ ∂Ω.

Questa equazione ha una formulazione debole. Moltiplichiamo l’equazione per una generica funzione infinitamente differenziabile ed a supporto com- patto in Ω ed integriamo,

Z

Ω

µ P

µ x, ∂

∂x

¶ u(x)

¶

ψ(x)dx = Z

Ω

ϕ(x)ψ(x)dx.

Con una integrazione per parti il problema si trasforma nella ricerca di una u(x) tale che per ogni ψ(x) infinitamente differenziabile ed a supporto compatto in Ω,

Z

Ω

X

1≤j,k≤N

aj,k(x) ∂

∂x_ju(x) ∂

∂x_kψ(x)dx = Z

Ω

ϕ(x)ψ(x)dx.

Osserviamo che se per applicare l’operatore P (x, ∂/∂x) bisogna richiedere due derivate alla funzione u(x), per la formulazione debole la derivata `e una sola, ma questa deve essere integrabile. Se Ω `e limitato,

Z

Ω

|ϕ(x)|²dx = − Z

Ω

x_j ∂

∂x_j |ϕ(x)|²dx

≤ 2 µ

sup

x∈Ω|xj|

¶ ½Z

Ω

|ϕ(x)|²dx

¾_1/2(Z

Ω

¯¯

¯¯ ∂

∂x_jϕ(x)

¯¯

¯¯

2

dx )_1/2

.

Inoltre, per la condizione di ellitticit`a, Z

Ω

|∇ϕ(x)|²dx ≤ c Z

Ω

X

1≤j,k≤N

a_j,k(x) ∂

∂x_jϕ(x) ∂

∂x_kϕ(x)dx.

Quindi, se

½Z

Ω

|ϕ(x)|²dx

¾_1/2 6= 0,

½Z

Ω

|ϕ(x)|²dx

¾_1/2

≤ c (Z

Ω

X

1≤j,k≤N

aj,k(x) ∂

∂x_jϕ(x) ∂

∂x_kϕ(x)dx )_1/2

.

DEFINIZIONE: Sia D(Ω) lo spazio di tutte le funzioni infinitamente differenziabili con supporto compatto in Ω. In D(Ω) introduciamo il prodotto interno

< ϕ, ψ >=

Z

Ω

X

1≤j,k≤N

a_j,k(x) ∂

∂xi

ϕ(x) ∂

∂xk

ψ(x)dx.

Definiamo H(Ω) il completamento di D(Ω) rispetto alla norma definita dal prodotto interno.

Osserviamo che

½Z

Ω

|ϕ(x)|²dx

¾_1/2 +

½Z

Ω

|∇ϕ(x)|²dx

¾_1/2

`e una norma equivalente su H(Ω). Se una successione {ϕ<sub>j</sub>(x)} di funzioni in D(Ω) con- verge in H(Ω), sia {ϕ<sub>j</sub>(x)} che {∇ϕ<sub>j</sub>(x)} convergono in L<sup>2</sup>(Ω) e definiscono delle funzioni a quadrato integrabile ϕ(x) e ∇ϕ(x). Quindi lo spazio di Sobolev H(Ω) `e uno spazio di funzioni.

TEOREMA: Per ogni ϕ(x) in L²(Ω), esiste una ed una sola u(x) in H(Ω) tale che per ogni ψ(x) in D(Ω),

Z

Ω

X

1≤j,k≤N

aj,k(x) ∂

∂x_ju(x) ∂

∂x_kψ(x)dx = Z

Ω

ϕ(x)ψ(x)dx.

Dimostrazione: Se ϕ(x) `e in L<sup>2</sup>(Ω) e ψ(x) `e in D(Ω),

¯¯

¯¯ Z

Ω

ϕ(x)ψ(x)dx

¯¯

¯¯ ≤

½Z

Ω

|ϕ(x)|²dx

¾_1/2½Z

Ω

|ψ(x)|²dx

¾_1/2

≤ c

½Z

Ω

|ϕ(x)|²dx

¾_1/2(Z

Ω

X

1≤j,k≤N

aj,k(x) ∂

∂x_jψ(x) ∂

∂x_kψ(x)dx )_1/2

.

Quindi l’integrale Z

Ω

ϕ(x)ψ(x)dx `e un funzionale lineare su D(Ω) con- tinuo nella topologia di H(Ω). Per il teorema di rappresentazione di Riesz questo funzionale, esteso a tutto H(Ω), pu`o essere rappresentato mediante il prodotto interno < ψ, u > con un elemento di H(Ω). ¥

Se si vuole risolvere il problema al bordo



 P

µ x, ∂

∂x

¶

v(x) = 0 x ∈ Ω,

v(x) = ψ(x) x ∈ ∂Ω,

basta porre nel problema precedente u(x) = v(x)−ψ(x) e ϕ(x) = −P (x, ∂/∂x) ψ(x).

Si pu`o mostrare che, sotto ipotesi ragionevoli, le soluzioni deboli del problema di Dirichlet sono anche soluzioni in senso classico.

Consideriamo ora il problema dell’esistenza di soluzioni per equazioni differenziali alle derivate parziali lineari con coefficienti costanti.

DEFINIZIONE: L’operatore aggiunto di un operatore differenziale lin- eare a coefficienti costanti P

µ ∂

∂x

¶

= X

α

cα ∂^α

∂x^α `e l’operatore P^∗ µ ∂

∂x

¶

= X

α

(−)^|α|c_α ∂^α

∂x^α.

Una integrazione per parti mostra che per ogni coppia di funzioni infini- tamente differenziabili ed a supporto compatto in Ω,

< P µ ∂

∂x

¶

ϕ, ψ >=

Z

Ω

ÃX

α

c_α ∂^α

∂x^αϕ(x)

!

∂

∂x_kψ(x)dx

= Z

Ω

ϕ(x)

ÃX

α

(−)^|α|cαα ∂^α

∂x^αψ(x)

!

dx =< ϕ, P^∗ µ ∂

∂x

¶ ψ > .

DEFINIZIONE: Dato un operatore differenziale P (∂/∂x) ed una fun- zione f (x) in L²(Ω), una soluzione debole dell”equazione P (∂/∂x) u(x) = f (x) `e una funzione u(x) in L²(Ω) tale che per ogni funzione ϕ(x) infinita- mente differenziabile ed a supporto compatto in Ω si ha < u, P^∗(∂/∂x) ϕ >=<

f, ϕ >.

La seguente diseguaglianza `e dovuta ad H¨ormander.

TEOREMA: Sia Ω un aperto limitato e sia P (∂/∂x) un operatore dif- ferenziale lineare a coefficienti costanti. Esiste allora una costante positiva c(Ω, P ) tale che per ogni ϕ(x) infinitamente differenziabile ed a supporto compatto in Ω,

(Z

Ω

¯¯

¯¯P µ ∂

∂x

¶ ϕ(x)

¯¯

¯¯

2

dx )_1/2

≥ c(Ω, P )

½Z

Ω

|ϕ(x)|²dx

¾_1/2 . Dimostrazione: Se x = (x₁, ..., x_N), poniamo

P µ ∂

∂x

¶

(x_jϕ(x)) = x_jP µ ∂

∂x

¶

ϕ(x) + P_j µ ∂

∂x

¶ ϕ(x).

Se P (∂/∂x) ha ordine m, allora esiste j₁ tale che P_j1(∂/∂x) ha ordine m − 1, esiste poi j₂ tale che (P_j1)_j2(∂/∂x) ha ordine m − 2,... Se mostriamo che esiste c tale che per ogni funzione in D(Ω),

°°

°°P µ ∂

∂x

¶ ϕ

°°

°° ≥ c

°°

°°P^j µ ∂

∂x

¶ ϕ

°°

°° , iterando si ottiene la catena di disuguaglianze

°°

°°P µ ∂

∂x

¶ ϕ

°°

°° ≥ c¹

°°

°°P^j1 µ ∂

∂x

¶ ϕ

°°

°° ≥ c¹c₂

°°

°°(P^j1)_j

2

µ ∂

∂x

¶ ϕ

°°

°° ≥ ... ≥ c kϕk . Osserviamo che per la commutativit`a degli operatori a coefficienti costanti, Z

Ω

P_j^∗ µ ∂

∂x

¶

(x_jϕ(x)) P^∗ µ ∂

∂x

¶

ϕ(x)dx = Z

Ω

P µ ∂

∂x

¶

(x_jϕ(x)) P_j µ ∂

∂x

¶

ϕ(x)dx

= Z

Ω

x_jP µ ∂

∂x

¶

ϕ(x)P_j µ ∂

∂x

¶

ϕ(x)dx + Z

Ω

¯¯

¯¯P^j µ ∂

∂x

¶ ϕ(x)

¯¯

¯¯

2

dx.

Quindi

°°

°°P^j µ ∂

∂x

¶ ϕ

°°

°°

2

= Z

Ω

¯¯

¯¯P^j µ ∂

∂x

¶ ϕ(x)

¯¯

¯¯

2

dx

= Z

Ω

P_j^∗ µ ∂

∂x

¶

(x_jϕ(x)) P^∗ µ ∂

∂x

¶

ϕ(x)dx − Z

Ω

x_jP µ ∂

∂x

¶

ϕ(x)P_j µ ∂

∂x

¶

ϕ(x)dx

≤

°°

°°P^j µ ∂

∂x

¶ (x_jϕ)

°°

°° ·

°°

°°P µ ∂

∂x

¶ ϕ

°°

°° +

°°

°°x^jP µ ∂

∂x

¶ ϕ

°°

°° ·

°°

°°P^j µ ∂

∂x

¶ ϕ

°°

°° . Posto A = sup_x∈Ω|x|, dimostriamo per induzione sull’ordine m dell’operatore differenziale P (∂/∂x) che per ogni funzione in D(Ω) si hanno le disug- uaglianze

°°

°°P^j µ ∂

∂x

¶ ϕ

°°

°° ≤ 2mA

°°

°°P µ ∂

∂x

¶ ϕ

°°

°° ,

°°

°°P µ ∂

∂x

¶ (x_jϕ)

°°

°° ≤ (2m + 1)A

°°

°°P µ ∂

∂x

¶ ϕ

°°

°° .

E’ chiaro che la prima diseguaglianza implica la seconda ed `e anche chiaro che se m = 0 queste disuguaglianze sono verificate. Supponiamo queste disuguaglianze verificate per operatori differenziali di ordine minore di m.

Se P (∂/∂x) ha ordine m, P_j(∂/∂x) ha ordine minore di m e per ipotesi di induzione

°°

°°P^j µ ∂

∂x

¶ ϕ

°°

°°

2

≤

°°

°°P^j µ ∂

∂x

¶ (x_jϕ)

°°

°° ·

°°

°°P µ ∂

∂x

¶ ϕ

°°

°° +

°°

°°x^jP µ ∂

∂x

¶ ϕ

°°

°° ·

°°

°°P^j µ ∂

∂x

¶ ϕ

°°

°°

≤ (2m − 1)A

°°

°°P^j µ ∂

∂x

¶ ϕ

°°

°° ·

°°

°°P µ ∂

∂x

¶ ϕ

°°

°° + A

°°

°°P µ ∂

∂x

¶ ϕ

°°

°° ·

°°

°°P^j µ ∂

∂x

¶ ϕ

°°

°°

≤ 2mA

°°

°°P^j µ ∂

∂x

¶ ϕ

°°

°° ·

°°

°°P µ ∂

∂x

¶ ϕ

°°

°° . ¥ Consideriamo infine il teorema di Malgrange-Ehrenpreis.

TEOREMA: Sia Ω un aperto limitato e sia P (∂/∂x) un operatore dif- ferenziale lineare a coefficienti costanti. Per ogni f (x) in L²(Ω), esiste una soluzione debole dell”equazione P (∂/∂x) u(x) = f (x).

Dimostrazione: Dobbiamo mostrare che esiste u(x) in L²(Ω) tale che per ogni ϕ(x) in D(Ω) si ha < u, P^∗(∂/∂x) ϕ >=< f, ϕ >. Sia

X=

½

ψ(x) : ψ(x) = P^∗ µ ∂

∂x

¶

ϕ(x), ϕ(x) ∈ D(Ω)

¾ .

X `e un sottospazio di L<sup>2</sup>(Ω) e la diseguaglianza di H¨ormander mostra che l’applicazione L(ψ) =< ϕ, f > `e ben definita su X, `e lineare ed `e continua rispetto alla norma in L²(Ω),

|L(ψ)| = |< f, ϕ >| ≤ kf k · kϕk

≤ c kf k · kP^∗(∂/∂x) ϕk = c kf k · kψk

Questo funzionale lineare L pu`o essere esteso da X a tutto L²(Ω) e per il teorema di rappresentazione di Riesz esiste u(x) in L²(Ω) tale che L(ψ) =<

ψ, u >. In particolare, < u, P^∗(∂/∂x) ϕ >=< f, ϕ >. ¥

IL SISTEMA TRIGONOMETRICO

DEFINIZIONE: Sia φ(x) una funzione periodica di periodo uno ed in- tegrabile in [0, 1). I coefficienti di Fourier

½ˆ

φ(n)

¾_+∞

n=−∞

e la serie di Fourier Sφ(x) sono

φ(n) =ˆ

Z ₁

0

φ(x) exp(−2πinx)dx, Sφ(x) =

X+∞

n=−∞

φ(n) exp(2πinx).ˆ

Similmente si pu`o definire lo sviluppo in serie di Fourier su un intervallo a ≤ x ≤ b rispetto al sistema trigonometrico

½

(b − a)^−1/2exp

µ2πinx b − a

¶¾_+∞

n=−∞

. TEOREMA: Il sistema trigonometrico {exp(2πinx)}^+∞_n=−∞ `e ortonor- male completo in L<sup>2</sup>[0, 1]. Pi`u in generale,

½

(b − a)^−1/2exp

µ2πinx b − a

¶¾_+∞

`e un sistema ortonormale completo in L²[a, b]. n=−∞

Dimostrazione: L’ortonormalit`a segue dalla formula Z ₁

0

exp(2πinx)exp(2πimx)dx = exp(2πi(n − m)x) 2πi(n − m)

¯¯

¯¯

1 0

.

Per dimostrare la completezza basta ricordare la formula di Eulero^+∞P

n=1

n⁻² = π²

6 ed osservare che Z _r

0

exp(2πinx)dx = exp(2πinr) − 1

2πin = exp(πinr)sin(πnr) πn , X+∞

n=−∞

Z ₁

0

¯¯

¯¯ Z _r

0

exp(2πinx)dx

¯¯

¯¯

2

dr = X+∞

n=−∞

Z ₁

0

¯¯

¯¯sin(πnr) πn

¯¯

¯¯

2

dr

= Z ₁

0

r²dr + 2 X+∞

n=1

1 π²n²

Z ₁

0

|sin(πnr)|²dr = 1 3 + 1

π² X+∞

n=1

1 n² = 1

2. ¥

TEOREMA: 1) Se la funzione φ(x) `e periodica di periodo uno e dif- ferenziabile con continuit`a k volte, allora

φ(n) = (2πin)ˆ ^−k

µ d^k dx^kφ

¶ ˆ(n).

2) Se la funzione φ(x) ha variazione limitata in 0 ≤ x ≤ 1, allora

¯¯

¯¯ φ(n)ˆ

¯¯

¯¯ ≤ (2π |n|)⁻¹ Z ₁

0

|df (x)| .

3) La serie di Fourier di una funzione con derivata in L²[0, 1] converge uniformemente ed assolutamente alla funzione.

Dimostrazione: 1) e 2) si dimostrano integrando per parti,

φ(n) =ˆ

Z ₁

0

φ(x)d

µexp(−2πinx)

−2πin

¶

= Z ₁

0

exp(−2πinx) 2πin dφ(x).

Se la funzione ha derivata in L²[0, 1], X

n6=0

¯¯

¯¯

φ(n) exp(2πinx)ˆ

¯¯

¯¯ = X

n6=0

¯¯

¯¯(2πin)⁻¹ µ d

dxφ

¶ ˆ(n)

¯¯

¯¯

≤ 2π

(X

n6=0

|n|⁻²

)_1/2( X

n6=0

¯¯

¯¯ µ d

dxφ

¶ ˆ(n)

¯¯

¯¯

2)_1/2

= 2π²

√3 (Z ₁

0

¯¯

¯¯ d dxφ(x)

¯¯

¯¯

2

dx )_1/2

.

Quindi la serie `e uniformemente ed assolutamente convergente. La serie converge alla funzione di partenza nella topologia di L²[0, 1], quindi la serie converge alla funzione anche puntualmente. ¥

COROLLARIO (Weierstrass): Data una funzione φ(x) continua in un intervallo [a, b] e dato ε > 0, esiste un polinomio P (x) tale che per ogni a ≤ x ≤ b si ha |φ(x) − P (x)| < ε. In altri termini, i polinomi sono densi nello spazio delle funzioni continue su un compatto, con la topologia della convergenza uniforme.

Dimostrazione: Supponiamo [a, b] ⊂ (0, 1). Possiamo approssimare a meno di ε/3 la funzione φ(x) con una spezzata ψ(x) che poi estendiamo a

tutto [0, 1] in modo da avere ψ(0) = ψ(1). La serie di Fourier di ψ(x) converge assolutamente ed uniformemente, quindi esiste un polinomio trigonometrico Q(x) che approssima ψ(x) a meno di ε/3. La serie di Taylor di Q(x) converge uniformemente sui compatti, quindi un opportuno polinomio di Taylor P (x) approssima Q(x) in [a, b] a meno di ε/3. Concludendo, se a ≤ x ≤ b,

|φ(x) − P (x)| ≤ |φ(x) − ψ(x)| + |ψ(x) − Q(x)| + |Q(x) − P (x)| < ε. ¥ LEMMA (Riemann-Lebesgue): Se la funzione ψ(x) `e integrabile in R e se ξ ∈ R,

¯¯

¯¯ Z

R

ψ(x) exp(iξx)dx

¯¯

¯¯ ≤ Z

R

|ψ(x)| dx,

|ξ|→+∞lim

¯¯

¯¯ Z

R

ψ(x) exp(iξx)dx

¯¯

¯¯ = 0.

Dimostrazione: La prima diseguaglianza `e immediata. Dimostriamo la seconda in tre passi.

Primo passo: Se ψ(x) = χ_[a,b](x) `e una funzione caratteristica,

¯¯

¯¯ Z

R

χ_[a,b](x) exp(iξx)dx

¯¯

¯¯ =

¯¯

¯¯exp(ibξ) − exp(iaξ) iξ

¯¯

¯¯ ≤ 2 |ξ|⁻¹. Secondo passo: Se ψ(x) =X

I

c_Iχ_I(x) `e una funzione semplice,

¯¯

¯¯

¯ Z

R

X

I

c_Iχ_I(x) exp(iξx)dx

¯¯

¯¯

¯≤ 2X

I

|c_I| |ξ|⁻¹. Terzo passo: Se la funzione ψ(x) `e integrabile in R,

¯¯

¯¯ Z

R

ψ(x) exp(iξx)dx

¯¯

¯¯

≤

¯¯

¯¯

¯ Z

R

Ã

ψ(x) −X

I

c_Iχ_I(x)

!

exp(iξx)dx

¯¯

¯¯

¯+

¯¯

¯¯

¯ Z

R

X

I

c_Iχ_I(x) exp(iξx)dx

¯¯

¯¯

¯

≤ Z

R

¯¯

¯¯

¯ψ(x) −X

I

c_Iχ_I(x)

¯¯

¯¯

¯dx + 2X

I

|c_I| |ξ|⁻¹.

Questa quantit`a `e piccola se Z

R

¯¯

¯¯

¯ψ(x) −X

I

c_Iχ_I(x)

¯¯

¯¯

¯dx `e piccolo e |ξ| `e grande. ¥

Altra Dimostrazione:

Z

R

ψ(x) exp(iξx)dx = − Z

R

ψ(x + π/ξ) exp(iξx)dx

= 1 2 Z

R

(ψ(x) − ψ(x + π/ξ)) exp(iξx)dx.

¯¯

¯¯ Z

R

ψ(x) exp(iξx)dx

¯¯

¯¯ ≤ 1 2 Z

R

|ψ(x) − ψ(x + π/ξ)| dx.

Se |h| → +∞, allora Z

R

|ψ(x + h) − ψ(x)| dx → 0. ¥

LEMMA: Le somme parziali della serie di Fourier di una funzione pe- riodica di periodo uno ed integrabile in [0, 1) sono

Snφ(x) = X+n k=−n

φ(k) exp(2πikx)ˆ

= Z ₁

0

φ(y) Ã _+n

X

k=−n

exp(2πik(x − y))

! dy =

Z ₁

0

φ(x − y) Ã _+n

X

k=−n

exp(2πiky)

! dy

= Z ₁

0

φ(x − y)sin(π(2n + 1)y) sin(πy) dy.

Dimostrazione: La prima uguaglianza segue per la periodicit`a delle fun- zioni. Per dimostrare la seconda uguaglianza basta sommare una serie geo- metrica,

X+n k=−n

exp(2πiky) = exp(−2πiny) X2n

k=0

exp(2πiky)

= exp(−2πiny)exp(2πi(2n + 1)y) − 1 exp(2πiy) − 1

= exp(πi(2n + 1)y) − exp(−πi(2n + 1)y) exp(πiy) − exp(−πiy) . ¥

TEOREMA (Dini): Sia φ(x) periodica di periodo uno ed integrabile in [0, 1) e supponiamo che per un x ed un A l’integrale

Z _1/2

0

¯¯

¯¯φ(x + y) + φ(x − y) − 2A sin(πy)

¯¯

¯¯ dy

sia finito. Sotto queste ipotesi, le somme parziali della serie di Fourier convergono nel punto x al valore A.

Dimostrazione: Siccome il nucleo di Dirichlet ha integrale uno ed `e pari, S_nφ(x) − A =

Z _1/2

−1/2

φ(x − y)sin(π(2n + 1)y)

sin(πy) dy − A

= Z _1/2

0

(φ(x + y) + φ(x − y) − 2A)sin(π(2n + 1)y) sin(πy) dy

= Z _1/2

0

φ(x + y) + φ(x − y) − 2A

sin(πy) sin(π(2n + 1)y)dy.

Per ipotesi, la funzione y 7→ φ(x + y) + φ(x − y) − 2A

sin(πy) `e integrabile, quindi, per il lemma di Riemann-Lebesgue, l’integrale di questa funzione contro sin(π(2n + 1)y) tende a zero se n → +∞. ¥

COROLLARIO (Principio di localizzazione di Riemann): Se φ(x) e ψ(x) sono due funzioni periodiche di periodo uno ed integrabili in [0, 1) e se φ(x) = ψ(x) in un intervallo, allora in questo intervallo

n→+∞lim |Snφ(x) − Snψ(x)| = 0.

In altri termini, il comportamento delle somme parziali di una serie di Fourier in un particolare punto dipende solo dal comportamento della fun- zione in un intorno di questo punto.

Dimostrazione: Basta applicare il teorema del Dini a φ(x) − ψ(x). ¥

COROLLARIO: Se φ(x) `e periodica di periodo uno e se |φ(x + y) − φ(x)| ≤ c |y|^ε, allora le somme parziali della serie di Fourier convergono alla funzione.

Dimostrazione: Basta applicare il teorema del Dini, osservando che Z _1/2

0

¯¯

¯¯φ(x + y) + φ(x − y) − 2φ(x) sin(πy)

¯¯

¯¯ ≤ c Z _1/2

0

|y|^ε−1dy < +∞. ¥