Misura di lunghezza d’onda mediante spettrometro a reticolo (8 settembre 2006)
Materiale necessario
1) Sorgente luminosa a emissione discreta (lampada spettrale) con alimentatore;
2) reticolo di diffrazione;
3) goniometro ottico.
In figura 1 e` schematizzato l’apparato sperimentale.
Figura 1: Apparato sperimentale.
Sorgenti luminose
Le sorgenti luminose possono dividersi in due categorie, riguardo all’intensita` della luce emessa in funzione della lunghezza d’onda. Se l’intensita` varia con continuita` con lambda, la sorgente sara` detta continua; esempi ne sono le lampade ad incandescenza ed il sole. Se invece l’intensita` e` costituita da un insieme di radiazioni monocromatiche molto ben definite in lunghezza d’onda separate da zone a emissione nulla, sara` detta discreta; esempio di queste sorgenti sono le lampade spettrali. Queste sono ampolle di vetro contenenti gas o vapori a pressione opportuna e eccitati mediante scariche elettriche di alto voltaggio.
Reticolo di diffrazione
E` la parte attiva dello strumento che, diffrangendo la luce, ne mette in evidenza il carattere ondulatorio. E` un reticolo a trasmissione di vetro inciso con densita` di 300 o 600 linee per millimetro, a seconda del tipo. Esso scompone l’insieme di radiazioni generate dalla sorgente luminosa nelle sue componenti, che escono dal reticolo con un angolo che e` funzione della lunghezza d’onda.
Goniometro ottico
E` costituito da un cannocchiale, una fenditura con ottica di focalizzazione, da una scala graduata su 360 gradi, un tavolino su cui fissare il reticolo. La scala ha divisione minima di 30 primi e due noni al primo di grado. Il goniometro permette la misura dell’angolo di diffrazione. L’insieme del goniometro e del reticolo costituisce lo spettrometro.
Teoria dell’esperimento
Il fascio di raggi paralleli viene diffratto dalle incisioni del reticolo. Per il principio di Huygens ogni incisione agisce come sorgente elementare di onde luminose; la sovrapposizione di tutte queste onde elementari costituisce l’onda risultante al di la` del reticolo. In particolare ci interessano le condizioni in cui la sovrapposizione da` un massimo di intensita` luminosa: questo accade quando i diversi cammini differiscono per un multiplo intero di lunghezza d’onda.
Figura 2: raggi diffratti dalle incisioni nella generica direzione .
La geometria di Fraunhofer permette un calcolo molto semplice dei cammini ottici.
Siccome il cannocchiale e` focheggiato all’infinito, i raggi che incidono sullo stesso punto del piano focale sono paralleli tra il reticolo e il cannocchiale, per cui, se consideriamo due incisioni adiacenti A e B:
Figura 3: Differenza di cammino ottico per incisioni adiacenti.
la differenza di cammino ottico tra i raggi emessi in direzione e`: BH ABsen. AB e` la distanza tra fenditure adiacenti, cioe` il passo p del reticolo. La condizione di interferenza costruttiva (ovvero di massima intensita` luminosa) e` dunque:
) 1 ...(
...
m psen
Il parametro m e` detto ordine di diffrazione e rappresenta di quante lunghezze d’onda differiscono i cammini di due incisioni adiacenti e puo` assumere valori interi. Valori uguali in valore assoluto e di segno opposto corrispondono a diffusione ad angoli simmetrici rispetto alla direzione incidente. Il valore zero corrisponde all’interferenza in avanti, cioe` =0. Dati p e , ci possono essere diverse coppie ,m che soddisfano l’equazione (1), si possono cioe` trovare righe del medesimo colore ad angoli diversi. Per sapere su che ordine ci si trova basta partire da =0 , ruotare il cannocchiale e contare quante volte si incontra la riga spettrale prescelta. Ci possono essere comunque solo un numero finito di ordini in quanto:
sen p
m p
Scelto un ordine e fissato p, l’angolo di diffrazione per cui si ha un massimo di intensita`
dipende da , cio` significa che il reticolo separa le componenti monocromatiche della radiazione incidente. Nel caso di una lampada spettrale la luce verra` scomposta in un certo numero di righe colorate caratteristiche della sostanza attiva contenuta nella lampada.
Dall’equazione (1), noto il passo, misurato l’angolo di deviazione e conosciuto l’ordine di diffrazione, si puo` ricavare la lunghezza d’onda:
) 2 ...(
...
m psen
Messa a punto dello strumento
E` finalizzata a costituire la condizione di Fraunhofer, la cui trattazione e`
particolarmente semplice dal punto di vista matematico: si prepara un fascio di raggi paralleli su cui viene inserito il reticolo di diffrazione; i raggi diffratti vengono osservati con un cannocchiale focheggiato all’infinito. Tutte le operazioni di messa a punto dell’ottica vanno eseguite, per chi ha difetti di vista, indossando occhiali correttivi del difetto.
1) Focheggiare il reticolo a croce (da non confondere con il reticolo di diffrazione) agendo sull’oculare del cannocchiale. Questo e` utile per centrare l’immagine della fenditura nel campo del cannocchiale. L’oculare non va piu` toccato.
2) Focheggiare il cannocchiale all’infinito. In pratica si punta il cannocchiale verso un oggetto lontano e lo si mette a fuoco. La messa a fuoco non va piu` toccata.
3) Focheggiare la fenditura. Si punta il cannocchiale verso la fenditura e si agisce sull’ottica della fenditura (non del cannocchiale).
4) Si accende la lampada spettrale.
5) Si riduce la larghezza della fenditura.
6) Si monta il reticolo di diffrazione sul tavolino.
7) Si pone il reticolo perpendicolarmente all’asse ottico (parte prima) ruotando il tavolino attorno all’asse verticale. Si puo` fare questo “ad occhio” (l’occhio ha una sensibilita` dell’ordine di un primo di grado), o piu` accuratamente mediante un’opportuna procedura che fa uso della scala del goniometro. L’inevitabile errore di perpendicolarita` puo` essere ridotto prendendo il valor medio delle letture eseguite sugli ordini omologhi di destra e sinistra.
8) Si rende il piano del reticolo perpendicolare all’asse ottico (parte seconda) con un procedimento iterativo consistente nel guardare alternativamente il primo ordine a destra e a sinistra, controllare che le righe risultino centrate nel campo del cannocchiale, ed eventualmente agire sulle viti di regolazione dell’orizzontalita`
del tavolino.
Raccolta e analisi dei dati
Si fa un censimento preliminare delle righe piu` brillanti, supponiamo ad esempio che se ne abbiano cinque, cui diamo il nome C1, C2, C3, C4, C5. Costruiamo la seguente tabella:
Tabella 2: Tabella di raccolta dei dati.
Le righe della tabella rappresentano gli ordini di diffrazione: 1S significa primo ordine a sinistra e corrisponde a m=-1; 2D significa secondo a destra, cioe` m=+2; e cosi’ via (vedi figura seguente).
Figura 4: Rotazione del cannocchiale a destra e a sinistra dell’asse ottico principale.
La tabella va riempita con i valori misurati degli angoli corrispondenti alle righe dello spettro: si centra nel campo del cannocchiale la riga prescelta con l’aiuto del reticolo a croce e si legge la posizione angolare del cannocchiale sulla scala graduata, sfruttando l’aumento di precisione dato dal nonio. Attenzione che se quando il cannocchiale giace lungo l’asse ottico principale, la sua posizione angolare ha valore diverso da zero, tale valore va sottratto alle letture angolari delle righe spettrali.
Supponiamo ad esempio di aver raccolto i seguenti dati con una lampada a vapori di Zinco e reticolo con 600 linee per millimetro:
Tabella 3: Esempio di misure angolari.
Inserendo i dati precedenti nella formula (2) otteniamo i seguenti valori di lunghezza d’onda (in nm):
Tabella 4: Valori misurati di lunghezza d’onda (in nm), a destra e a sinistra dell’asse ottico, per i primi due ordini di diffrazione su entrambi i lati.
Facendo la media dei valori di destra e di sinistra (per ordini corrispondenti) abbiamo:
Tabella 5: Media dei valori di lunghezza d’onda (in nm) misurati a destra e a sinistra dell’asse ottico, per i primi due ordini di diffrazione.
I valori precedenti differiscono dai valori accettati per non piu` di 6 parti su 1000.
L’errore da attribuire alle misure di Tabella 4 si puo` stimare usando la propagazione degli errori sulla formula (2):
) 3 ...(
)...
( cos )
(
m
p
Ove l’errore sull’angolo e` dell’ordine della sensibilita` del nonio, cioe` 1’. Attenzione che tale angolo va convertito in radianti prima di inserirlo nell’equazione (3) (1’
corrisponde a 2.91 x 10-4 rad). Per i dati raccolti l’errore risulta essere dell’ordine di 0.4 nm.
