 )x(f)x(f  3;0x

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Classe quinta

STUDIO COMPLETO

DI UNA FUNZIONE ALGEBRICA RAZIONALE FRATTA

Esempio E:

x 3 x

x y 1₂

2



 

1) Classificazione e C.E.:

Funzione algebrica razionale fratta di terzo grado, C.E.: ^{x}

 

2) Simmetrie :

La funzione non è simmetrica, infatti ponendo

x 3 x

x ) 1

x (

f ₂

2



  si ha che

x 3 x

x ) 1

x (

f ₂

2



 

 cioè

) x ( f ) x (

f   .

3) Studio del segno :

Si pone: 0

x 3 x

x 1

2 2

 

 ossia:

1 x 1 0 1 x 0 x 1 : ) x (

N  ²   ²     3

x , 0 x 0 x 3 x : ) x (

D ²    

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-1 3 x y

N(x)

D(x)

+

- +

1 0

- -

0 0

1

La funzione è positiva per 1x0 e per 1x3, è negativa per x1 , per 0x1 e per 3

x , inoltre, è nulla per x1 e non esiste perx e per 0 x .3

4) Intersezione con gli assi cartesiani :

La funzione data interseca l’asse delle ascisse nei punti ^A(1;0) e ^B(1;0).

5) Asintoti :

La funzione ha tre asintoti: due verticali ed uno orizzontale, infatti:

sapendo che 





  x 3x x lim 1₂

2 0

x e 





  x 3x x lim 1₂

2 0

x allora x è l’equazione del0 primo asintoto verticale, ossia la funzione è asintotica all’asse delle ordinate, inoltre, sapendo

che 





  x 3x x lim 1₂

2 3

x e 





  x 3x x lim 1₂

2 3

x allora x è l’equazione del secondo3 asintoto verticale.

Infine, 1

x 3 x

x lim 1

x 3 x

x

lim 1 ₂

2 2 x

2

x 



 











 , quindi la funzione data è asintotica alla retta

orizzontale di equazione ^{y  1}.

6) Crescenza o decrescenza :

Calcolando la derivata prima si ha:





2

x 3 x

3 x 2 x y 3





 



,

studiando il segno della derivata prima si ottiene:











2x 3 0 x x

3 : ) x (

N ²





 

: ) x (

D ² ²  

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pertanto, essendo la derivata prima sempre positiva nel campo di esistenza la funzione data è sempre crescente dove è definita.

7) Massimi, minimi relativi e flessi a tangente orizzontale :

La funzione data non ha estremanti, poiché la derivata prima non si annulla mai.

8) Concavità e convessità :

Calcolando la derivata seconda si ha:





2

x 3 x

) 1 x )(

3 x ( y 6







 

 .

Studiando il segno della derivata seconda della funzione si ottiene:











6(x 3) 0 x :

) x (

N₁ ²

1 x 0 1 x : ) x (

N₂    





: ) x (

D ² ³   ²     

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(0) (3) x

y

N(x)

D(x)

+ + +

0 1 3 x

y  

N₁(x)

D(x)

+ - +

N₂(x)

0 -

3

pertanto, per 0x1 e per x la derivata seconda è negativa, quindi la funzione data è3 concava verso il basso in questi intervalli, mentre per x e per 0 1x3 la derivata seconda è positiva, quindi la funzione data volge la concavità verso l’alto, inoltre, la derivata seconda si annulla per x1.

9) Flessi a tangente obliqua :

La funzione data presenta un punto di flesso a tangente obliqua nel punto ^B(1;0), inoltre essendo ^{f(1)10}, il flesso è ascendente, per determinare l’equazione della tangente obliqua

si utilizza la seguente formula: yf(x₀)f(x₀)(xx₀) dove ^x0 ¹. Pertanto, si ottiene:

) 1 x ( 1 0

y   , ossia l’equazione della tangente obliqua nel punto ^B(1;0) è: ^t:yx1.

10) Grafico :

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