 )x(f)x(f  4x4y

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Classe quinta

STUDIO COMPLETO

DI UNA FUNZIONE ALGEBRICA RAZIONALE FRATTA

Esempio B:

4 x y ₂4

 

1) Classificazione e C.E.:

Funzione algebrica razionale fratta di terzo grado, C.E.: x 2 .

2) Simmetrie :

La funzione è simmetrica rispetto all’asse delle ordinate, cioè è pari perché si verifica la condizione ^f⁽^x⁾^ ^f⁽^^x⁾.

3) Studio del segno :

Si pone: 0

4 x

4

2 

 ossia:

sempre 0

4 : ) x (

N 

2 x 2 x 0 4 x : ) x (

D ²     

PROF. MAURO LA BARBERA “Studio di una funzione algebrica razionale fratta”

-2 2 x y

N(x)

D(x)

+ - +

1

(2)

La funzione è positiva per x2 e per x , è negativa per 2 2x2, inoltre, non esiste per 2

x .

4) Intersezione con gli assi cartesiani :

La funzione data non interseca l’asse

x

, ma interseca l’asse delle ordinate nel punto^A⁽⁰^;^¹⁾ .

5) Asintoti :

La funzione ha tre asintoti: due verticali ed uno orizzontale, infatti:

sapendo che 

 



 x 4

lim_x ₂ ₂4 e 

 



 x 4

lim_x ₂ ₂4 allora x2 è l’equazione del

primo asintoto verticale, ovviamente, essendo una funzione pari, l’altro asintoto verticale ha equazione x .2

Inoltre, 0

4 x lim 4 4 x

lim_x ₂4 _x ₂ 

 

 ^^



 , quindi la funzione data è asintotica all’asse

x

.

6) Crescenza o decrescenza :

Calcolando la derivata prima si ha:



^x² ⁸^x⁴



²

y 

 



,

studiando il segno della derivata prima si ottiene:

0 x 0 x 8 : ) x (

N    



^x ⁴



⁰ ^sempre ^nel ^C^.^E^.

: ) x (

D ² ² 

(-2) 0 (2) x

y

N(x)

D(x)

+ + 0 - -

2

(3)

pertanto, essendo la derivata prima positiva per x22x0, la funzione data è ivi crescente, mentre, essendo la derivata prima negativa per 0x2x2, la funzione è ivi decrescente, infine, la derivata prima è nulla per x0.

7) Massimi, minimi relativi e flessi a tangente orizzontale :

La funzione data ha un massimante nel punto di ascissa x 0, quindi, essendo ^f⁽⁰⁾^ ^¹, la funzione presenta un massimo relativo nel punto ^A⁽⁰^;^¹⁾.

8) Concavità e convessità :

Calcolando la derivata seconda si ha:

 



²



⁴

3 2

2

4 x

x 16 x 4 x 8 ) 4 x ( y 8







 

 , cioè

 



²



⁴

2 2 2

2

4 x

4 x x 32 ) 4 x ( y 8







 

 ossia

 

 



²



⁴

2 2

2

4 x

x 4 4 x ) 4 x ( y 8







 

 , semplificando si ha:

 



²



³

2

4 x

4 x 3 y 8



 

 .

Studiando il segno della derivata seconda della funzione si ottiene:



³^x ^⁴



^⁰ ^^x^^

8 : ) x (

N ²



^x ⁴



⁰ ^x ⁴ ⁰ ^x ² ^x ²^.

: ) x (

D ² ³   ²     

pertanto, per 2x2 la derivata seconda è negativa, quindi la funzione data è concava verso il basso, mentre per x2x2 la derivata seconda è positiva, quindi la funzione data è concava verso l’alto, inoltre, poiché la derivata seconda non si annulla non ci sono punti d’inflessione.

-2 2 x

y  

N(x)

D(x)

+ - +

3

(4)

9) Grafico :

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