Una successione di numeri reali ` e un’applicazione dall’insieme N dei nu- meri naturali in R:

1. Successioni

Una successione di numeri reali ` e un’applicazione dall’insieme N dei nu- meri naturali in R:

f : n ∈ N −→ f (n) ∈ R

L’elemento x

della successione ` e quindi l’immagine del numero n secondo la funzione f: x

= f (n)

1.1. Successioni convergenti.

Definizione. Si dice che la successione (x

)

converge al numero reale l, se per ogni ε > 0 esiste ν ∈ N tale che n > ν =⇒ |x

− l| < ε. In simboli

n→∞

lim x

= l, che si legge limite di x

rispetto a n uguale ad l.

Poich` e |x

− l| < ε equivale a

−ε < x

− l < ε, cio` e

l − ε < x

< l + ε, si pu` o anche scrivere

n > ν =⇒ l − ε < x

< l + ε.

Esempio di successione convergente : x

=

lim

1 2

= 0

1.2. Successioni divergenti positivamente e negativamente.

Definizione. Una successione (x

)

si dice divergente positivamente, se per ogni numero reale M > 0 esiste ν ∈ N tale che

n > ν =⇒ x

> M.

In questo caso si scrive

n→∞

lim x

= +∞.

Definizione. Una successione (x

)

si dice divergente negativamente, se per ogni numero reale M > 0 esiste ν ∈ N tale che

n > ν =⇒ x

< −M.

In questo caso si scrive

n→∞

lim x

= −∞.

Esempio di successione divergente positivamente : x

= 2

n→∞

lim 2

= +∞

Esempio di successione divergente negativamente : x

= −2

n→∞

lim −2

= −∞

1.3. Successione non regolare. Definizione. Una successione (x

)

si dice non regolare se non ammette limite.

Esempio di successione non regolare: x

= (−1)

non esiste il lim

(−1)

1

2

2. Analisi del caso misto

•

x

= q

Allora

n→∞

lim x

=



 



 



+∞ q > 1

1 q = 1

0 q ∈] − 1, 1[

6 ∃ q ≤ −1 Consideriamo

•

1 + q + q

+ · · · + q

+ · · · serie geometrica di ragione q.

Ridotta −nsima

s

= 1 + q + q

+ · · · + q

Se q = 1 si ha

s

= 1 + 1 + · · · + 1 = n.

Sia q 6= 1. Abbiamo dimostrato che

s

= 1 + q + q

+ · · · + q

= 1 − q

1 − q Se |q| < 1 allora lim

q

= 0 e pertanto

n→∞

lim s

= lim

n→∞

1 − q

1 − q = 1

1 − q . Se q > 1, poich` e lim

q

= +∞ si ha

n→∞

lim s

= lim

n→∞

q

− 1 q − 1 = 1

q − 1 · lim

n→∞

q

− 1 = 1

q − 1 · +∞ = +∞

Sia ora q = −1,

s

= 1 − (−1)

2 =

 0 , n = 2p 1 , n = 2p + 1 Pertanto la successione (s

)

non ` e regolare.

Sia infine q < −1. Possiamo scrivere q = −|q|, e quindi s

= 1 − (−|q|)

1 + |q| = 1 − (−1)

|q|

1 + |q|

=



 



 



1 − |q|

1 + |q| , n = 2p 1 + |q|

1 + |q| , n = 2p − 1 Ne segue che S

→ −∞ e S

→ +∞ e pertanto 6 ∃ lim

s

Allora

n→∞

lim s

=



 

 

+∞ q ≥ 1

1

1 − q q ∈] − 1, 1[

6 ∃ q ≤ −1