prof. Francesco Ragusa Università di Milano

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prof. Francesco Ragusa Università di Milano

Interazioni Elettrodeboli

anno accademico 2020-2021

Lezione n. 6

13.10.2020

Effetti di polarizzazione nello scattering Coulombiano

Analisi di Fourier dei campi di KG ed EM

Oscillatore Quantistico

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Polarizzazione nella diffusione di Coulomb

y Generalizziamo le regole per scrivere l’elemento di matrice direttamente dal diagramma di Feynman (diapositiva ) al caso in cui i fermioni iniziale e finale siano polarizzati

y Si percorre da destra a sinistra il diagramma y Stato finale con polarizzazione s

_f

y Vertice (interazione vettoriale) y Stato iniziale con polarizzazione s

_i

y Vertice

p

_f

p

_i

γ

^μ

116

1200

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Polarizzazione nella diffusione di Coulomb

y Calcoliamo adesso la polarizzazione dello stato finale per una data polarizzazione dello stato iniziale

y In generale la polarizzazione è data da

y Le quantità N

₊

e N

₋

sono il numero di particelle con polarizzazione rispettivamente parallela o antiparallela all’asse di quantizzazione

y Il numero di interazioni è proporzionale al modulo quadrato dell’elemento di matrice

y È evidente che nella somma N

₊

+ N

₋

la dipendenza da s

_f

si cancella y Nel denominatore rimane solo la dipendenza da s

_i

y Abbiamo visto nello scattering Coulombiano che non contribuisce

y Il risultato è (diapositiva ) 115

¹¹⁹⁷

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Polarizzazione nella diffusione di Coulomb

y Valutiamo adesso il numeratore

y Notiamo che i termini danno origine alle espressioni

y Nell’espressione N

₊

− N

₋

la prima espressione si elide y Pertanto sopravvive solo

y Sviluppando l’espressione

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Polarizzazione nella diffusione di Coulomb

y L’espressione trovata è più semplice di quanto appaia a prima vista y Analizziamo i vari termini nell’ordine

y 1. Nullo: numero dispari di matrici γ

y 2. Non contribuisce: la traccia è proporzionale a ε

^ρσμν

che è 0 per μ = ν y 3. Da calcolare

y 4. Nullo: numero dispari di matrici γ y 5. Come il punto 2

y 6. Nullo: numero dispari di matrici γ y 7. Nullo: numero dispari di matrici γ y 8. Da calcolare

y Pertanto sopravvivono solo due termini

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Polarizzazione nella diffusione di Coulomb

y Le matrici γ

⁵

possono essere eliminate con opportune commutazioni

y Il primo termine è del tipo già visto

y Per il secondo termine occorre una nuova regola

y Lo sviluppo dell’espressione è lasciato come esercizio

y Per il risultato finale occorre inoltre definire i vettori di spin s

_i

e s

_f

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Polarizzazione nella diffusione di Coulomb

y Definiamo i vettori di polarizzazione

y Ricordiamo la definizione del vettore s (diapositiva )

y Per la particella nello stato iniziale quantizziamo lo spin nella direzione del momento incidente

y Per la particella nello stato finale quantizziamo lo spin nella direzione del momento uscente

z^' x^'

y^' K'

z^' x^'

y^' K'

θ

1160

79

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Polarizzazione nella diffusione di Coulomb

y Utilizzando le formule ricavate e i vettori polarizzazione s il risultato è

y L’interpretazione di questo risultato è la seguente

y Lo stato iniziale è completamente polarizzato (dato del problema) y Abbiamo scelto polarizzazione lungo p (elicità Right-Handed ) y Lo stato finale ha una polarizzazione che dipende dall’angolo

y La probabilità relativa di uno stato finale Right-Handed o di uno stato Left-Handed dipende dall’angolo

y Alcuni casi notevoli y θ = 0 → P = 1 y θ = π → P = −1 y β <<1 ( E → m )

y β → 1 ( E >> m ) P = 1

conservazione spin

conservazione elicità

Proiezione di [ lungo p

_f

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Conservazione dell’elicità

y Quando la particella è ultra-relativistica il 4-vettore di spin assume una forma limite interessante

y Consideriamo lo spin nella direzione del momento

y Dal momento che |p| → E

y Ricordiamo l’espressione dei proiettori di spin

y Pertanto nel caso ultra-relativistico

gli operatori di proiezione acquistano la forma indicata che contiene solo γ

⁵

ricordiamo l’equazione di Dirac

Proiettore di chiralità Nel caso ultrarelativistico proiezione di spin e proiezione

chirale coincidono

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Conservazione dell’elicità

y Pertanto nel caso ultra-relativistico, dato uno spinore con polarizzazione

arbitraria u possiamo scomporlo nei due stati di polarizzazione usando (1rγ

⁵

)/2 y Polarizzazione Right-Handed

y Polarizzazione Left-Handed y Ovviamente

y Calcoliamo anche gli aggiunti spinoriali delle due componenti y Preliminarmente osserviamo che

y Veniamo agli aggiunti spinoriali delle proiezioni

y Analogamente per u

₋

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Conservazione dell’elicità

y Siamo adesso in grado di verificare che nel caso ultra-relativistico nel caso di una corrente vettoriale l’elicità è conservata

y L’ampiezza per la transizione − → + è proporzionale all’elemento di matrice

y Analogamente

y Sono invece diversi da zero gli elementi di matrice fra stati

con la stessa elicità

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Analisi di Fourier del campo di Klein-Gordon

y Consideriamo un campo (reale) φ(x) che soddisfa l’equazione di Klein-Gordon

y Possiamo rappresentare il campo con un integrale di Fourier

y Se il campo è reale allora

y L’applicazione di ( ∂

^μ

∂

_μ

+m

²

) a φ(x) dà

y Pertanto la funzione (k quadri-dimensionale) deve essere singolare y Infatti deve essere

y E allo stesso tempo l’integrale che dà φ(x) deve essere non nullo y Avremo pertanto

y Possiamo eliminare la funzione

δ(k

²

− m

²

) integrando su k

⁰

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Analisi di Fourier del campo di Klein-Gordon

y Ricordiamo che y Pertanto

y Introducendo nell’integrale di Fourier

y Inoltre, nel primo termine, possiamo utilizzare il fatto che gli integrali sono estesi da −∞ a +∞ per sostituire k → −k

y Nel nostro caso (x = k

₀

)

y Ci sono 2 zeri ( k

₀

= r E

_k

)

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Analisi di Fourier del campo di Klein-Gordon

y Infine definiamo le due funzioni

y Sostituiamo nell’integrale

y Per un campo reale ricordiamo che y La condizione implica

y Per un campo reale l'espansione diventa

y Per finire notiamo che se scriviamo

y L’equazione di Klein-Gordon impone che a(t) soddisfi l’equazione dell’oscillatore

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Il campo elettromagnetico classico

y Applichiamo il formalismo appena esposto al campo elettromagnetico

y Equazioni di Maxwell

y Introduciamo i potenziali A e )

y I campi E e B si ottengono dai potenziali come

y È noto che potenziali sono definiti a meno di una trasformazione di gauge

y Si può infatti verificare che si ottengono gli stessi campi E e B y Sostituendo le espressioni di E e B nella seconda e terza equazione

di Maxwell otteniamo le equazioni per i potenziali

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Il campo elettromagnetico classico

y Si può utilizzare l’indeterminazione dei potenziali per semplificare le equazioni y Si fissa il gauge

y I gauge più utilizzati sono y Il gauge di Lorentz

y Le equazioni dei potenziali diventano

y Il gauge di Coulomb o gauge di radiazione y Le equazioni dei potenziali diventano

y Il gauge di Lorentz ha il vantaggio di essere covariante y Non dipende dal sistema di riferimento

y Il gauge di Coulomb non è covariante

y Mette in evidenza il carattere trasversale dell’onda elettromagnetica

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Onde elettromagnetiche

y Consideriamo adesso un campo elettromagnetico y Utilizziamo il gauge di Coulomb

y Come abbiamo visto l’equazione del potenziale scalare diventa

y Nel vuoto, quindi in assenza di sorgenti: ρ = 0 J = 0 y Pertanto il potenziale elettrico è nullo ) = 0

y L’equazione per il potenziale vettore è

y Pertanto ciascuna delle componenti del potenziale soddisfa l’equazione dell’onda y L’analisi di Fourier del potenziale conduce alla rappresentazione integrale

y Come nel caso di Klein-Gordon, posto

y L’equazione dell’onda impone che a(t) soddisfi

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Onde elettromagnetiche

y La condizione del gauge di Coulomb permette di evidenziare la natura trasversale dell’onda

y Pertanto le ampiezze a(k) devono essere perpendicolari al vettore d’onda k y Il vettore a(k) ha pertanto solo due gradi di libertà

(stati di polarizzazione)

y Si introducono pertanto due vettori mutuamente perpendicolari e perpendicolari a k

y Possiamo infine calcolare i campi elettrico e magnetico

y Perché E e B siano reali deve essere

Cohen-Tannoudji et al.

Photons and Atoms (Wiley 1997) p. 24

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Onde elettromagnetiche

y L’energia associata al campo elettromagnetico è data da

y Calcoliamo esplicitamente il primo integrale

Cohen-Tannoudji et al.

Photons and Atoms (Wiley 1997) p. 24

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Onde elettromagnetiche

y Analogamente si calcola l’energia associata a B y L’energia totale è

y Vediamo che l’energia del campo è la somma delle energie degli oscillatori in cui è stato scomposto il campo

y Notiamo che classicamente l’energia e proporzionale al modulo quadrato dell’ampiezza dell’oscillazione

y Notiamo inoltre che hanno una energia proporzionale a ω

_k

tutti gli oscillatori con momento 3-dimensionale |k|c = ω

_k

y Partendo da queste considerazioni si può calcolare, classicamente, lo spettro della radiazione in una cavità: lo spettro della radiazione del corpo nero y Calcoliamo innanzitutto il numero degli oscillatori per unità di energia (o

frequenza) corrispondenti ad una energia dω = cdk

y Tenendo conto che ogni oscillatore ha 2 gradi di libertà

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Energia media dell’oscillatore

y L’energia del campo è espressa come somma delle energie di tanti oscillatori y Quando la radiazione è in equilibrio all’interno della cavità

y Il materiale delle pareti contiene oscillatori elettromagnetici che interagiscono con il campo

y Le pareti assorbono radiazione dagli oscillatori del campo

y Le pareti emettono radiazione che è assorbita dagli oscillatori del campo y Quando si è all’equilibrio termico l’energia assorbita è uguale a quella emessa

y Gli oscillatori sono in equilibrio termico

y La loro energia media può essere calcolata utilizzando la meccanica statistica

y L'energia del campo è l'energia media degli oscillatori per il loro numero y La probabilità che un oscillatore abbia una energia U è data da

y Pertanto, all'equilibrio termodinamico, l’energia media di ogni oscillatore è

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Radiazione del corpo nero

y Questo è il risultato classico dell’equipartizione dell’energia

y Un ingrediente essenziale è stato aver assunto che l’oscillatore può assumere un valore arbitrario di energia U

y Distribuzione continua dell’energia

y Utilizziamo il risultato per calcolare la distribuzione di energia della radiazione del corpo nero

y Associamo ad ogni oscillatore una energia kT y La densità di energia è pertanto

y Questa è la famosa legge di Rayleigh-Jeans y È la previsione classica dello spettro della

radiazione del corpo nero

y È in accordo con i dati solo a bassissime

frequenze catastrofe ultravioletta

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Ipotesi di Planck

y Per risolvere il problema precedente Planck ipotizzò che

y L’oscillatore non può assumere tutte le energie possibili classicamente y L’energia dipende solo dalla frequenza ν = ω/2π

y L’energia può assumere solo valori che sono un multiplo intero di hν

y Calcoliamo l’energia media

y Preliminarmente la distribuzione di probabilità

y Calcoliamo innanzitutto il denominatore

y Otteniamo infine

posto

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Ipotesi di Planck

y Veniamo adesso al calcolo del valore medio

y Concludendo

y La distribuzione dell’energia nella cavità diventa

y L’accordo con i dati sperimentali è perfetto y L’ipotesi critica è stata la natura discreta

dell’energia dell’oscillatore

posto

notiamo che se hν → 0

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Quantum Field Theory: Introduzione

y Un campo elettromagnetico all’interno di una cavità presenta degli aspetti interpretabili con una visione “particellare” del campo

y Il campo può essere rappresentato come integrale di Fourier y All’equazione dell’onda corrisponde un’equazione di oscillatore

armonico per ogni componente

y L’energia del campo è espressa come somma delle energie dei singoli oscillatori

y Per un campo all’interno di una cavità in equilibrio termico con le pareti si può utilizzare la meccanica statistica per descrivere

y La distribuzione di energia degli oscillatori y L’energia media degli oscillatori

y Abbiamo visto che

y L’utilizzo del principio di equipartizione dell’energia (classico) porta alla distribuzione di Rayleigh-Jeans

y In disaccordo con le osservazioni sperimentali

y L’ipotesi di Planck che l’energia di ogni oscillatore sia un multiplo intero di hν conduce alla distribuzione di Planck

y In ottimo accordo con le osservazioni sperimentali

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Quantum Field Theory: Introduzione

y Ai nostri fini, l’aspetto più importante del calcolo della radiazione del corpo nero è che il campo può essere visto come un insieme di particelle (quanti) y Alla descrizione ondulatoria (campo) si affianca una descrizione particellare

y Dualità onda-particella

y L’aspetto particellare è associato ai modi descritti da oscillatori ( fotoni ) y L’energia degli oscillatori è quantizzata (E

_n