prof. Francesco Ragusa Università di Milano

prof. Francesco Ragusa Università di Milano

Interazioni Elettrodeboli

Lezione n. 18

30.11.2020

Decadimento τ ⁻ → π ⁻ ν _τ

Proprietà isotopiche della corrente adronica Fattori di forma

CVC e decadimento π ⁻ → π ⁰ e ⁻ ν _e

Il decadimento del leptone τ: τ ⁻ → π ⁻ ν _τ

y Mostriamo come il formalismo fin qui sviluppato può essere utilizzato anche per il calcolo della frazione di decadimento del leptone τ

y Osserviamo prima di tutto che per il calcolo della vita media o della larghezza totale occorrerebbe calcolare tutte le larghezze parziali

y Troppo lavoro ….

y Calcoliamo solo la larghezza del decadimento in π

ν

e confrontiamola con la larghezza totale

y La larghezza totale può essere derivata dalla vita media y Dal risultato sperimentale τ = 290.6u10

s ricaviamo

y Calcoliamo adesso la larghezza del decadimento π

ν

y Il calcolo è identico a quello fatto per il decadimento del pione

y Si utilizza l’Hamiltoniana

Il decadimento del leptone τ: τ ⁻ → π ⁻ ν _τ

y La corrente leptonica J

adesso contiene anche un termine per il leptone τ y Lo stato iniziale e lo stato finale sono rispettivamente

y Notiamo in particolare che per quel che riguarda gli adroni si passa dallo stato vuoto allo stato con un pione

y La situazione opposta a quella del decadimento del pione y Scriviamo pertanto l’ampiezza di decadimento

y L’elemento di matrice della parte adronica è il complesso coniugato di quello che avevamo nel decadimento del pione

y Dato che era reale sono uguali

Il decadimento del leptone τ: τ ⁻ → π ⁻ ν _τ

y L’elemento di matrice della parte leptonica è

y Per finire l’ampiezza è

y Sostituendo

y Con la solita tecnica troviamo

y Dalla cinematica otteniamo

Il decadimento del leptone τ: τ ⁻ → π ⁻ ν _τ

y Mettendo insieme i vari pezzi otteniamo

y Notiamo il fattore ½ introdotto prima dell’elemento di matrice y Questa volta il leptone è nello stato iniziale

y Bisogna mediare statisticamente fra le due polarizzazioni possibili y Introduciamo i valori delle costanti e delle masse

y Otteniamo

media sulle polariz-

zazioni iniziali

Il decadimento del leptone τ: τ ⁻ → π ⁻ ν _τ

y Ricordando la larghezza totale ottenuta dalla vita media

y Otteniamo la frazione di decadimento

y Da confrontare con il valore sperimentale

Polarizzazione del leptone τ

y Calcoliamo adesso la larghezza di decadimento nel caso in cui il leptone τ sia polarizzato. L’ampiezza mediata

y Diventa

y Adesso mettiamoci nel sistema di riposo del leptone

Polarizzazione del leptone τ

y Si ottiene infine la distribuzione angolare dei pioni nel sistema di riposo del leptone τ

y Nel rapporto i termini costanti dello spazio delle fasi si elidono e pertanto possiamo semplicemente fare il rapporto fra i quadrati delle ampiezze

y Osserviamo infine che il segno di fronte al prodotto ξ˜k

dipende dal segno della massa nell’espressione

y La massa compare con questo segno perchè nell’ampiezza era presente lo spinore u del τ

(particella)

y Se invece ci fosse stato un τ

(antiparticella) allora ci sarebbe

La misura della polarizzazione del τ

y A LEP coppie di leptoni τ sono prodotti nelle collisioni e

e

all’energia del centro di massa pari a M

y I due leptoni hanno momento opposto (uguale in modulo) e energia E = M

/2 y I leptoni sono prodotti con una polarizzazione ℘ che dipende dagli

accoppiamenti della Z

ai leptoni (lo vedremo)

y Dalla misura della polarizzazione si possono misurare gli accoppiamenti

y Nel sistema di riposo del leptone τ, il π e il neutrino sono prodotti ad un angolo θ

rispetto alla direzione di volo del τ

y Nel piano contenente i due mesoni e la direzione di volo del τ

y

y Il momento e l’energia del pione sono

θ

β

π

ν

La misura della polarizzazione del τ

y La massa del τ è m

= 1776.99 MeV e per i nostri scopi è possibile approssimare a zero la massa del pione

y Nel laboratorio, l’energia di un pione emesso ad un angolo θ

nel c.m. è

y γ e β sono i fattori relativistici del leptone τ

y L’energia del pione è pertanto

y Al variare di cos θ

l’energia del pione nel sistema di laboratorio varia fra y Il valore massimo M

/2 che si raggiunge per cos θ

= 1

y il valore minimo 0 che si raggiunge per cos θ

= 1

y Se non si trascura la massa del leptone l'intervallo è ridotto

La misura della polarizzazione del τ

y Abbiamo visto che nel sistema di riposo del τ l’angolo di emissione del pione ha una distribuzione

y Nel sistema di laboratorio avremo pertanto

y Dai calcoli cinematici precedenti

y Mettendo insieme i vari pezzi

y Si ottiene

e inoltre

La misura fatta a LEP

Introduciamo la variabile

Decadimenti deboli

y Abbiamo visto che l’interazione di Fermi (interazione corrente-corrente) può essere utilizzata con successo per descrivere i decadimenti deboli

y Assumendo l’universalità l’Hamiltoniana può essere scritta come

y La corrente J

(x) è fatta da due pezzi: J

(x) = l

(x) + h

(x)

y La corrente leptonica l

(x) contiene i campi delle tre famiglie di leptoni

y I leptoni sono soggetti solo all’interazione elettrodebole e la loro descrizione mediante campi liberi di Dirac è adeguata

y Notiamo che la presenza nell’Hamiltoniana sia della corrente J che della corrente J

permette di descrivere processi “coniugati”

y Ad esempio

richiede i campi

richiede i campi

La corrente adronica

y La corrente adronica h

(x) è più complicata

y Non può essere scritta in termini di campi liberi

y Deve descrivere fenomeni per un gran numero di decadimenti di adroni y Decadimenti di bosoni ad esempio decadimento dei mesoni π o K

y Decadimenti di fermioni, ad esempio del neutrone n o della Λ

y Nel seguito dedurremo alcune proprietà e parametrizzazioni della corrente adronica utilizzando le sue simmetrie dedotte dai dati sperimentali

y Innanzitutto ricordiamo che l’interazione debole viola la parità y La corrente è la somma di due termini: h

(x) = V

(x) − A

(x)

y Una componente vettoriale-polare V

(x) y Una componente vettoriale-assiale A

(x)

y Inoltre i decadimenti deboli adronici sono classificabili in due grandi famiglie y Decadimenti adronici senza violazione di stranezza per i quali ΔS = 0

y Ad esempio i decadimenti

y Decadimenti adronici con violazione di stranezza per i quali ΔS ≠ 0

y Ad esempio i decadimenti

La corrente adronica

y La corrente adronica contiene pertanto y Un termine che conserva la stranezza

y Un termine che viola la conservazione della stranezza

y Studiamo dapprima le proprietà della corrente , la parte ΔS = 0

y I processi deboli studiati fino ad ora hanno tutti la proprietà che la carica elettrica dello stato adronico (o leptonico) cambia di una unità: ΔQ = ±1 y Questa proprietà fissa delle regole di commutazione fra le correnti e

l’operatore carica elettrica Q

y Infatti dati due stati |i> e |f>

y Verifichiamo che la regola di commutazione implica che ΔQ = ±1

y Pertanto, se l’elemento di matrice è diverso da zero y Analogamente per la corrente J

abbiamo

y Pertanto le interazioni deboli (correnti cariche) hanno la regola di selezione

Proprietà isotopiche della corrente adronica

y Sappiamo che l’isospin è una simmetria delle interazioni forti

y Ad esempio per nucleoni e pioni se si trascurano le differenze di massa y Anche se l’interazione debole viola la conservazione dell’isospin tuttavia lo

utilizziamo per descrivere gli stati adronici iniziali e finali

y Introduciamo pertanto il formalismo dell’isospin per i campi del protone e del neutrone

y Se utilizziamo il formalismo dell’isospin il protone e il neutrone sono un’unica particella di Isospin T = ½ con due stati caratterizzati da T

= ± ½

y Il campo Ψ del nucleone è un isospinore

y Il campo Ψ è una quantità a due componenti

y Ciascuna delle due componenti è a sua volta uno spinore di Dirac a 4 componenti

y La Lagrangiana del nucleone si riscrive tramite il campo Ψ

y Espandendo la notazione compatta

Proprietà isotopiche della corrente adronica

y La simmetria dell’isospin si introduce richiedendo l’invarianza (globale) della Lagrangiana rispetto al gruppo SU(2) nello spazio isospinoriale

y Una trasformazione di SU(2) è funzione di 4 parametri (α, Λ

, Λ

, Λ

) y Si può scrivere

y La trasformazione che si ottiene per Λ = 0 è l’invarianza per trasformazioni globali di fase già vista

y L’applicazione del teorema di Noether porta alla corrente conservata

y La carica conservata associata è

y La conservazione di questa carica esprime la

τ

matrici di Pauli

Proprietà isotopiche della corrente adronica

y L’invarianza rispetto ad una trasformazione con Λ ≠ 0 porta alla corrente (di Isospin) conservata

y La corrente definita è un oggetto complicato

y È un operatore vettoriale (nel senso di Lorentz) rispetto all’indice μ y È un operatore vettoriale (nello spazio dell’isospin) rispetto

all’indice i degli operatori di Pauli τ

y J ^μ è conservata: per ogni componente i si definiscono le cariche isotopiche

y Gli operatori T

appena definiti

y Sono operatori come gli operatori di campo Ψ

y Agiscono sugli stati dello spazio di Fock (in particolare sul vuoto) y Gli stati hanno adesso anche il grado di libertà isospin

y T

possono essere espressi tramite operatori di creazione e distruzione

y Si possono verificare le seguenti regole di commutazione

y Consideriamo adesso la corrente di isospin

y Dall’ultima relazione della diapositiva precedente si può ricavare

y In analogia a quanto si fa nella teoria del momento angolare (o dello spin isotopico) si possono definire gli operatori

y Utilizzando le regole di commutazione precedenti si ottiene

y Notiamo che le ultime relazioni trovate sono formalmente identiche a quelle della diapositiva

y La differenza è la sostituzione dell’operatore carica elettrica Q con l’operatore T

y Questa circostanza suggerisce una relazione fra la corrente debole carica J

462

Proprietà isotopiche della corrente adronica

Proprietà isotopiche della corrente adronica

y Gli operatori dello spazio isotopico sono classificati secondo le loro proprietà di trasformazione sotto l’azione di un operatore U di SU(2 ⁾

y Operatori isoscalari: ad esempio il numero barionico y Infatti

y Operatori isospinoriali: ad esempio il campo Ψ

y Si può dimostrare che Ψ si trasforma come un isospinore

y Operatori isovettoriali: ad esempio la corrente

y La verifica che sia un isovettore è più complicata

y Si può verificare

che per Λ infinitesimo

Proprietà isotopiche della corrente adronica

y Discutiamo adesso l’importante relazione

y Consideriamo l’operatore B

y Consideriamo adesso l’operatore T

Proprietà isotopiche della corrente adronica

y Per finire possiamo definire la carica elettrica del sistema (in unità di e) come il numero di protoni

y Abbiamo utilizzato le seguenti matrici 2×2

y Ovviamente si ha

y Utilizzando la relazione precedente si trova

Proprietà isotopiche della corrente adronica

y Ritorniamo adesso alle considerazioni fatte nella diapositiva y Avevamo visto le regole di commutazione

y Abbiamo appena visto che

y Dato che la corrente conserva il numero barionico, B commuta con la corrente e quindi possiamo sostituire Q a T

nelle regole di commutazione

y Tutto ciò ci permette di dire che la corrente adronica carica J

ha evidenti somiglianze con un operatore nello spazio di isospin con le proprietà di un operatore di innalzamento o di abbassamento

y La corrente che induce, ad esempio, transizioni n → p y La corrente che induce, ad esempio, transizioni p → n

y Assumiamo pertanto che gli stati iniziale e finale siano elementi di un spazio isotopico

466

Confrontare con

diapositiva 466

La corrente adronica

y Studiamo ora il comportamento generale della corrente adronica in relazione alle sue proprietà di trasformazione per il gruppo di Lorentz

y Consideriamo un elemento di matrice della corrente fra uno stato iniziale e uno stato finale |i> ed |f>

y Ad esempio nel decadimento β del neutrone i = n f = p y Oppure nel decadimento β del pione i = π

f = π

y Innanzitutto la teoria deve essere invariante per traslazioni

y L’invarianza per traslazioni (P

generatori delle traslazioni) implica che si possa scrivere

y Consideriamo adesso l’elemento di matrice

y Abbiamo già notato che ha una componente polare e una assiale

La corrente adronica: Fattori di Forma

y Nella trattazione del decadimento β abbiamo utilizzato il risultato (diap. )

y Questo risultato vale solo per particelle puntiformi (senza struttura) y Non è adeguato per calcoli precisi con adroni

y Nel caso degli adroni occorre ricorrere a parametrizzazioni che superino la nostra incapacità di calcolare esattamente gli elementi di matrice in

presenza dell’interazione forte

y Sulla base di considerazioni di invarianza relativistica si può scrivere la forma più generale che devono avere gli elementi di matrice

y Nel caso di fermioni (ad esempio neutrone → protone)

y Le quantità g

, f

, h

sono funzioni scalari dell’unica quantità cinematica scalare non banale: q

= ( p

− p

)

n p

p

p

291

La corrente adronica: Fattori di Forma

y I fattori di forma possono essere estratti da misure di decadimenti deboli in funzione del momento trasferito

y In particolare abbiamo già visto alcuni risultati per il decadimento β del n y Data la piccola differenza di massa fra neutrone e protone il momento

trasferito è limitato a valori molto piccoli: q

≈ 0

y Nel limite di bassi momenti trasferiti sopravvivono solo i Fattori di Forma g

y Confrontando con risultati ottenuti da transizioni di Fermi 0

→ 0

y Utilizzando per G il valore ottenuto G

dalla vita media del muone y Supponendo G = G

otteniamo

y Dagli studi di transizioni di Gamov−Teller si ottiene

La corrente adronica vettoriale

y La cosa più interessante del risultato precedente è che g

(0) è praticamente 1 y Significa che a basso momento trasferito la parte vettoriale della corrente

adronica si comporta come la corrente vettoriale del muone y L’interazione forte non modifica il decadimento debole y Questa affermazione merita dei commenti

y Per il decadimento del neutrone abbiamo calcolato y Poichè esiste il decadimento

y Dovremmo considerare anche contributi tipo y Il fatto che f

(0) = 1 significa che il secondo

diagramma non modifica il primo che risulta uguale a quello del decadimento del leptone μ

y Questa circostanza è analoga a quanto succede alle proprietà elettro- magnetiche del protone a basso momento trasferito

y L’interazione elettromagnetica del protone è descritta dal diagramma

y È identica a quella dell’elettrone (puntiforme) y Non è modificata da effetti del tipo indicato

n p

p p

n p p

π

π

p n p

π

μ

ν

Digressione: la corrente elettromagnetica

y Nel caso dello scattering elastico elettrone – protone il processo è descritto dall’interazione di due correnti tramite un fotone

y L’elemento di matrice della corrente leptonica si può calcolare esattamente perché si possono usare

i campi liberi

y Per l’elemento di matrice della corrente adronica bisogna utilizzare una parametrizzazione simile a quanto fatto per l’interazione debole

y Che l’interazione elettromagnetica a basso momento trasferito non sia sensibile alle interazioni forti è espresso dal fatto che

y La cancellazione degli effetti dovuti ai diagrammi di ordine superiore nella ridefinizione della carica elettrica (escluso la polarizzazione del vuoto) è una conseguenza della conservazione della corrente elettromagnetica

k

e

e

k

p

p

γ

p p

Digressione: la corrente elettromagnetica

y La conservazione della corrente elettromagnetica implica che F

= 0 y Imponendo questa condizione sulla parametrizzazione

y Osserviamo che

y Il primo termine diventa pertanto

y Il secondo termine è nullo per l’antisimmetria di σ

y Otteniamo in definitiva

y L’elemento di matrice della corrente elettromagnetica del protone è pertanto

y Gli esperimenti di scattering elastico e p → e p permettono di misurare i

fattori di forma F e F in funzione del momento trasferito q

Digressione: la corrente elettromagnetica

y Per una particella puntiforme che obbedisce all’equazione di Dirac

y Il Fattore di Forma F

è costante (non dipende da q

) ed è uguale a 1 y Il Fattore di Forma F

è sempre nullo

y Occorre tenere presente che il fattore F

rappresenta una interazione di momento magnetico aggiuntiva

y La corrente vettoriale contiene già una interazione di tipo magnetico y Lo abbiamo visto nel limite di bassa energia

y Lo si può vedere esplicitamente con la Scomposizione di Gordon della corrente vettoriale

y Dal momento che F

descrive una interazione di momento magnetico aggiuntiva viene detta “Momento Magnetico Anomalo”

y In particolare il suo valore a momento trasferito nullo κ = F

(0)

y In alcuni articoli o testi si fa la sostituzione F

→ κF

con F

(0) = 1 e

Scomposizione di Gordon

y La scomposizione di Gordon mette in evidenza i due termini di interazione di una particella di Dirac

y L’interazione di una particella senza spin y L’interazione dovuta al momento magnetico

y Per dimostrare la relazione sviluppiamo il secondo termine

y Dalle regole di commutazione delle matrici γ

y Utilizzando la relazione per i due termini otteniamo

Scomposizione di Gordon

y Applicando ancora una volta l’equazione di Dirac otteniamo

y Ridisponendo i termini otteniamo la scomposizione di Gordon della corrente

vettoriale

I Fattori di Forma del protone

y Ritorniamo ai fattori di forma elettromagnetici

y Le figure riportano i due fattori di forma del protone

κ

misure di NMR

F

(0) = 1

I Fattori di Forma del protone

y Una analisi analoga può essere fatta per il neutrone

y Le figure mostrano i risultati di esperimenti e n → e n che permettono di misurare i fattori di forma in funzione del momento trasferito q

y Misure dei Fattori di Forma del neutrone mostrano una complessa struttura di cariche e correnti

y Il neutrone si comporta come se avesse un nucleo positivo e una superficie

Corrente elettromagnetica e isospin

y Il formalismo precedente può essere unificato utilizzando gli isospinori Ψ per descrivere protoni e neutroni

y Per il protone possiamo scrivere la corrente vettoriale come

y La matrice 2×2 può essere riscritta utilizzando le matrici di Pauli τ y Otteniamo pertanto

y Occorre tenere presente che gli operatori γ

e (1 + τ

)/2 operano in spazi differenti e quindi la loro posizione relativa non è essenziale

y Pertanto, nello spazio dell’isospin, la corrente del protone è la somma di due termini

y La corrente è un isoscalare

Corrente elettromagnetica e isospin

y Analogamente per il neutrone

y Per tutte le correnti introdotte possiamo introdurre i fattori di forma

y A seconda dei casi la corrente J

, gli spinori u e la matrice T sono y Per X = n, p

y La corrente J

è un operatore nello spazio degli spinori u y La matrice T non è presente

y Per X = S, V

y La corrente J

è anche un operatore nello spazio degli isospinori u y La matrice T è o 1 (S) o τ

(V)

y Si hanno ovviamente le seguenti relazioni

Il Fattore di Forma del π ^±

y Richiamiamo alcuni risultati relativi al campo complesso φ soluzione della equazione di Klein-Gordon

y Descrive una particella puntiforme di spin zero s

y La corrente elettromagnetica è data da

y Consideriamo adesso gli stati di particella singola

y Utilizzando l’espansione in operatori di creazione e distruzione per il campo φ è facile calcolare l’elemento di matrice della corrente elettromagnetica

y Anche nel caso del mesone π l’interazione forte modifica l’elemento di matrice y Considerazioni di invarianza relativistica portano a concludere che

y L’elemento di matrice può dipendere solo dai 4-vettori p

e p

y L’elemento di matrice contiene funzioni scalari (invarianti) della variabile q

y Invece che i due 4-vettori p

e p

è conveniente utilizzare la loro somma e

la loro differenza

Il Fattore di Forma del π ^±

y Pertanto l’elemento di matrice si può scrivere

y Una ulteriore semplificazione deriva dalla conservazione della corrente elettromagnetica

y Osserviamo che l’elemento di matrice dipende da x solo attraverso l’esponenziale e pertanto

y Sostituendo

y Si verifica facilmente che q

P

= 0 e quindi y In definitiva otteniamo

y La funzione F

(q

) è il fattore di forma elettromagnetico del pione

y Per una particella scalare puntiforme F (q

) = 1

Il Fattore di Forma del π ^±

y Il fattore di forma del π

si può misurare in vari modi y Mediante la fotoproduzione di pioni con fotoni

reali o virtuali

y Mediante lo scattering di pioni su elettroni y Calcoliamo il momento trasferito q

y In queste reazioni il momento trasferito è sempre negativo

y Si dice che q

è space-like

y Il valore massimo q

= 0 si ha per

y La figura mostra la compilazione dei dati di due esperimenti

y I risultati sono compatibili con

k

π

π

k

p

p

γ

e

e

k

e

e

k

p

p

γ

p n

π

π

La corrente debole adronica

y Da quanto fin qui esposto, in particolare richiamiamo la diapositiva , risulta evidente che la componente vettoriale della corrente debole adronica ha molte analogie con la componente isovettoriale della corrente elettromagnetica

y Entrambe le correnti sono “insensibili” alle correzioni radiative forti y Il fattore di forma relativo tende a 1 per q

→ 0

y È possibile che anche la componente vettoriale della corrente debole sia conservata

y Queste analogie risultano implicite se si fanno le seguenti assunzioni y Il nucleone è descritto da un campo isospinoriale

y La teoria è invariante per trasformazioni globali di isospin SU(2) y Esistono 3 correnti conservate J

, J

, J

y Alle 3 correnti corrispondono 3 cariche T

, T

, T

y La componente isovettoriale della corrente

adronica elettromagnetica è la corrente J

y La componente vettoriale della corrente debole adronica è la corrente J

+ iJ

y Questa ipotesi fu proposta da Gell-Mann e prende il nome di

474

Il decadimento “β” del pione carico π ⁻

y Come applicazione della ipotesi CVC calcoliamo la larghezza del decadimento

y È un decadimento raro dato il piccolo volume dello spazio delle fasi dovuto al piccolo Q valore del decadimento

y È tuttavia molto interessante perché consente una verifica della CVC y L’ampiezza del decadimento è data da

y Dobbiamo calcolare l’elemento di matrice adronico

y Innanzitutto, per l’invarianza relativistica, l’elemento di matrice può dipendere solo dai 4-vettori p

e p

y Sappiamo inoltre che la corrente ha una parte polare e una assiale

Il decadimento “β” del pione carico π ⁻

y Dimostriamo adesso che solo la parte vettoriale V

della corrente contribuisce all’elemento di matrice

y Consideriamo le proprietà di trasformazione per inversione spaziale P (ricordiamo che P

= P e P|π,p> = −|π,−p>)

y Per la componente temporale abbiamo

y Per la componente spaziale

y In modo analogo per la parte assiale dell’elemento di matrice si ottiene

y Nella diapositiva precedente abbiamo visto che per motivi di invarianza

y Solo l’elemento di matrice vettoriale si comporta come un 4-vettore

Il decadimento “β” del pione carico π ⁻

y Utilizziamo adesso l’ipotesi CVC per calcolare l’elemento di matrice

y L’ipotesi CVC consiste nell’assumere che le correnti deboli cariche e la corrente elettromagnetica siano correnti di isospin V

, V

, V

y In particolare

y La componente isovettoriale della corrente elettromagnetica è V

y Per la corrente debole V

= V

+ i V

(V

= V

− i V

)

y Nella diapositiva (con l’identificazione J = V ) abbiamo visto che le cariche J e le correnti V

soddisfano le seguenti regole di commutazione y In particolare

y Dalle due relazioni precedenti si ottiene y In conclusione

466

Il decadimento “β” del pione carico π ⁻

y Questa regola ci permette di trovare una relazione fra y L’elemento di matrice del decadimento β del π

y L’elemento di matrice della corrente elettromagnetica del π

y Il π

e il π

sono due autostati |T, T

> dell’isospin

y Otteniamo pertanto

y Sfruttiamo le proprietà degli operatori di innalzamento e abbassamento

y Introducendo nell’elemento di matrice

Il decadimento “β” del pione carico π ⁻

y Utilizzando l’ipotesi CVC abbiamo pertanto ottenuto

y Ricordiamo inoltre che l’ipotesi CVC identifica V

con la corrente elettromagnetica j

y Un’ultima semplificazione si ottiene dalla proprietà della corrente elettro- magnetica rispetto all’operatore di coniugazione di carica C = C

= C

y Questa relazione dice semplicemente che il segno del campo elettromagnetico dipende dal segno della carica elettrica della particella

y Inoltre il π

è un autostato di C con autovalore +1 C|π

> = +|π

>

y Otteniamo pertanto y Da cui

y Pertanto l’elemento di matrice del decadimento β del π

è k

π

π

k

γ

Il decadimento “β” del pione carico π ⁻

y Pertanto che l’elemento di matrice adronico della corrente debole può essere calcolato a partire dall’elemento di matrice della corrente elettromagnetica y Il Q valore del decadimento è molto piccolo

y La massima quantità di moto è di appena 4 MeV y Introducendo i valori numerici vediamo che

y È possibile pertanto trascurare la dipendenza da q

e assumere F

(q

) = 1 y Pertanto

y Il calcolo è a questo punto semplice ed è lasciato come esercizio da confrontare con

p

= 0