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Classe quinta

STUDIO DELLA FUNZIONE CUBICA ^{y x3 4x}

1) Classificazione e Campo di esistenza

Funzione algebrica razionale intera di terzo grado, parabola cubica. C. E.:x (simbologia insiemistica oppure ^{] ; [} (simbologia topologica).

2) Simmetrie

Si pone f

 

x x³ 4x allora fx   x ³4x ossia f

 

x x³ 4x, quindi la funzione è simmetrica rispetto all’origine degli assi cartesiani, perché: f x  fx .

3) Studio del segno

Si pone il secondo membro dell’equazione della funzione maggiore o uguale a zero, cioè:

0 x 4

x³   cioè: ^{x(x2 4)0} , pertanto, si può scrivere:

1 fattore: x0,

2 fattore: x² 40 per ^{x2 ; x2} .

Quindi, per 2x0 e per x la funzione è positiva, mentre per 2 x 2 e per 0x2 la funzione è negativa. Infine, per x0 e per x2 la funzione è nulla.

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y

x

+ 1 fatt.

2 fatt.

2 – 2

0

+

– 0

0

0

–

1 x

y

–

2 0

+

–

+ –2

4) Intersezioni con gli assi cartesiani

 







  0 x

x4 x

y

³

y ossia passa per l’origine degli assi cartesiani.

 







  0 y

x4 x

y

³

x ossia interseca l’asse delle ascisse nei punti^O(0;0), ^A(2;0)e^A(2;0).

5) Andamento della funzione agli estremi dell’intervallo del dominio

Poiché l’intervallo di esistenza della funzione è ^{] ; [}, si calcolano i limiti della funzione per x e per x , cioè lim_x(x^{3 }4x)^{ } e lim_x(x^{3 }4x)^ .

6) Crescenza e decrescenza

Si calcola la derivata prima della funzione, cioè: ^{y3x2 4} , si pone poi la derivata prima maggiore o uguale a zero, cioè: 3x² 40 , pertanto, la disequazione è verificata per

3 x 4 3 ,

x 4  , cioè per

3 3 x 2 3 ,

3

x2  .

Quindi, la derivata prima è negativa per

3 3 x 2 3

3

2  

 , pertanto, in questo intervallo la funzione data è decrescente, mentre negli intervalli dove la derivata prima è positiva, cioè per

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y

x

–

0 ⁺

+ 0

2 x

y

–

2 0

+

–

+ –2

3 3

x2 e per

3 3

x 2 , la cubica è crescente. Infine, nei punti dove la derivata prima è nulla si ha che la funzione data è costante, ossia per

3 3 x2 .

7) Massimi, minimi relativi e flessi a tangente orizzontale

La funzione data ha nel punto _^











9 3

;16 3

3

B 2 un massimo relativo, mentre nel punto











 

 9

3

; 16 3

3

B 2 ha un minimo relativo.

8) Concavità e convessità

Si calcola la derivata seconda della funzione, cioè: ^{y 6x}, si pone poi la derivata seconda maggiore o uguale a zero, cioè: 6x 0, pertanto si ottiene x0. Quindi la funzione data è concava verso l’alto nell’intervallo dove la derivata seconda è positiva, ossia per x0, mentre è concava verso il basso nell’intervallo dove la derivata seconda è negativa, cioè per x0 .

9) Ricerca di ulteriori punti di flesso a tangente obliqua

Poiché f

 

x₀ f(0)0 e ^f

 

^x₀ ^f⁽⁰⁾⁴⁰ la funzione data presenta in O0;0 un punto di flesso a tangente obliqua discendente. Per determinare l’equazione della retta tangente nell’origine degli assi cartesiani si applica la seguente equazione: yf

 

x₀ m



xx₀



dove

) x ( f

m  ₀ . Pertanto, si ottiene ^{y  4x}.

10) Grafico

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