prof. Francesco Ragusa Università di Milano

prof. Francesco Ragusa Università di Milano

Interazioni Elettrodeboli

anno accademico 2020-2021

Lezione n. 20

14.12.2020

Propagatore del IVB

Deep inelastic scattering di neutrini

Modello a partoni del nucleone

Il modello Bosone Vettoriale Intermedio (IVB)

y Analogamente per un processo in canale t y Calcoliamo il momento trasferito

y Trascuriamo le masse dei fermioni

y Il propagatore diventa

y La sezione d'urto diventa pertanto

y Osserviamo che per piccoli momenti trasferiti la sezione d'urto è di nuovo quella calcolata nel modello di Fermi y Il limite di alta energia non è più divergente

( )

4

2 2 2

1

32 1 cos 2

d g s

d s M

σ

π θ

Ω = ⎡ ⎢ ⎣ − + ⎤ ⎥ ⎦

T k_i

k_f

p_f

p_i

k

ν

μ

k

p

p

W⁺

e

ν

( )

2 _{i f}

2

2

1 cos

q = k − k ≈ − k k ⋅ ≈ − E E − θ

i f

2 s

E ≈ E ≈

( 1 cos )

2

q = − s − θ

( )

2 2 2

1 2

1 cos 2

W W

q M = s θ M

− − − −

2

2

8

G g

= M

2 2

4

d G s

d σ

⎯⎯⎯⎯→ π Ω

( )

[ ]

4

2 2 2

4

4 1 cos 2

d g s

d s M

σ α

π θ

Ω = − +

2 4

2 2

1 32 1 cos

s MW

g

π s θ

⎯⎯⎯⎯→

−

Difficoltà del modello IVB

y Purtroppo, nonostante l'apparente successo, il

modello IVB non è ancora una soluzione soddisfacente y Esistono diagrammi di ordine superiore

con più propagatori

y La particella W

introdotta può partecipare a reazioni in cui è reale (non virtuale)

y Questi diagrammi divergono in modo non rinormalizzabile y L'ampiezza del secondo diagramma è

y Abbiamo indicato esplicitamente le polarizzazioni λ

e λ

dei bosoni W y Possono essere anche le polarizzazioni longitudinali λ

= 3, λ

= 3 (vedi

diapositiva ) nel limite di alta energia

y Si può verificare che l'ampiezza diverge nel limite di alta energia s →∞

ν

e

W

ν

W

ν

e

W

ν

W

e

ν

ν

* *

1 2

2 5 5

1 2 2 2

( , ) ( , ) ( , ) (1 ) (1 ) ( , )

8 ( )

i f e

f f i i i i

i f e

k k m

g p k v p s u k s

k k m

μ ν

λ λ

ε

λ ε

λ γ γ − + γ γ

= − −

− −

M

k

p

k

p

532

3

( )

( , 3) 1 ,

W

k k k

ε ≡ ε = M ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ k k

k

0

0

( , ) ( 1, ) ˆ

( )

W W

k M

M k

= + −

+

k k

k

( , )

W W

k k

M M

→ k =

i i f f

k + p = k + p k

− k

= p

− p

≡ P

0 W

k M

M

Difficoltà del modello IVB

y Verifichiamo che l'ampiezza calcolata per W con polarizzazione longitudinale diverge nel limite di alta energia dei bosoni

y In questo limite possiamo fare le sostituzioni y L'ampiezza diventa ( )

y Trascurando le masse dei fermioni possiamo scrivere

y Introducendo nell'ampiezza (inseriremo alla fine il fattore

y Utilizzando la tecnica delle tracce calcoliamo il modulo quadrato

2 5 5

00 2

( , ) (1 )

(1 ) ( , ) 8

i i f e f i i

W e

P m

g v p s p k u k s

M γ P + m γ

= − −

M −

i f f i

k − k = p − p = P

( )

0

v p p = v p p ( )

→ v p ( )(

p

− p

) k u k =

( )

0 k u k

( )

→ ( k

− k u k

) ( )

5 5

00

( , ) (1

) P

(1 ) ( , )

v p s P P u k s

γ P γ

= − − −

M

00

= 2 ( , ) (1 v p s P

− γ

) ( , ) u k s

2

M PP = P

2 5 5

00

= 4 Tr p P ⎡ ⎢ ⎣

(1 − γ ) (1 k

+ γ ) P ⎤ ⎥ ⎦

M = 8 Tr p P ⎡ ⎢ ⎣

(1 − γ

) k P

⎤ ⎥ ⎦ = 8 Tr p Pk P ⎡ ⎣

⎤ ⎦

2

= 32 2( ⎡ p P k P ⋅ )( ⋅ ) − p k P ⋅

⎤ M

f W

p M

μ

ε →

W

k M

ν

ε →

2 2

) 8

g M

i i

0 p P k P

ε

=

Difficoltà del modello IVB

y Specializziamo nel centro di massa (m

= 0)

y Calcoliamo i prodotti scalari

y Reintroduciamo il fattore

y Per la sezione d'urto, trascuriamo le masse e usiamo le formule usate per la reazione ν

+ e

(dia. )

ν

e

W

ν

W

k

p

k

p

2 2

00

= 32 2( ⎡ ⎢ ⎣ p P k P

⋅ )(

⋅ ) − p k P

⋅

⎤ ⎥ ⎦

M

k_f

p_f

p_i

( , 0, 0, ) k

= E E

( , 0, 0, ) p

= E − E

( , sin , 0, cos ) k

= E E θ E θ

( , sin , 0, cos ) p

= E − E θ − E θ

i f f i

k − k = p − p = P 2 E = q = s

i i i i f

p P ⋅ = p k ⋅ − p k ⋅ = E

(1 − cos ) θ

i i i i f

k P ⋅ = k k ⋅ − k k ⋅ = − E

(1 − cos ) θ p k

⋅

= 2 E

P

= − 2 E

(1 − cos ) θ

( )( )

^sin

2 2 sin

i i i f

8

p P k P k k P E s θ

θ

⋅ ⋅ − ⋅ = =

2 2 2

2

2

8

g G

M

⎛ ⎞⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟ =

⎜ ⎟⎟

⎜⎝ ⎠

2 2 2 2

00

= 2 G s sin θ

M ( )

2

2

1 4 4

d d

F s π

Φ Ω

=

519

( )

2 2

2

sin d G s d

σ θ

π Ω =

2

3 4 σ G s

= π

⋅

• Osserviamo che la sezione d'urto diverge

• Gli stati longitudinali causano divergenze

Neutrino deep inelastic scattering

y Il diagramma per la diffusione profondamente anelastica di neutrini da neutrone è

y Si può parametrizzare l’elemento di matrice adronico per studiare

interazioni profondamente anelastiche di neutrini (antineutrini)

y Un formalismo analogo a quello che si utilizza per lo scattering anelastico di elettroni

y Per la sezione d’urto differenziale si trova

y Il tensore L

è lo stesso di quello utilizzato nello studio delle interazioni leptoniche di neutrini (era M

o N

, diapositiva )

y Il tensore W

si parametrizza con tre funzioni di struttura (funzioni di due variabili cinematiche)

}

k k'

p

p'

ν

μ

μ

ν

d

G L W dE d

αβ αβ μ

σ

′ Ω ∼

1 2 2 2 3

1

2

W g W p p W i p q W

m m

αβ αβ α β αβγδ

ε

= − + −

W

517

Neutrino deep inelastic scattering

y Nel deep inelastic scattering invece di E' e Ω si utilizzano le variabili Q

e ν

y Sviluppando

y Per la sezione d’urto si trova ( W

= W

(Q

,ν) )

y Il segno ± della funzione W

è conseguenza della violazione di parità y Vale + per i neutrini

y Vale − per gli antineutrini

, 2

2 2

1 2 3

2

2 sin co sin

s 2

2 2 2

E E

W m

d G E

W W

dQ d E

ν ν μ

μ ν

ν

σ θ θ

π

θ ν

⎛ ⎞⎟

⎜ ⎟

= ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ + ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

± +

( )

q

= k − k ′ = k

+ k ′

− 2 k k ⋅ ′ ≈ − 2k k ′ ⋅ ≈ − 2 E E

1 − cos θ

2

4 sin

q E E

2 θ

= − Q

= − q

E

E

ν = − inoltre si ha p ′ = + p q

( )²

p ′ =

p + q p ′ ≡

W

= m

+ q

+ 2 q p ⋅

2 2_p 2

2

W = m + q + m ν

}

k k'

p

p'

ν

μ

μ

ν

q

( m

, )

= 0

Le variabili x e y

y Si sostituiscono di solito le variabili Q

e ν = E

− E'

con le due variabili adimensionali x e y più adeguate per descrivere i limite di alto Q (scaling)

y Le variabili x e y possono essere espresse in funzione di invarianti relativistici

y Si può facilmente verificare che le espressioni precedenti si riducono alle espressioni originali nel sistema di laboratorio

y Vediamo quali sono le regioni fisiche delle variabili x e y y Iniziamo con

y Sappiamo che, trascurando le masse dei leptoni

y Inoltre ν = E

– E

> 0 quindi x t 0

2

2

x Q

= m ν y

E

= ν

2

2 x q

p q

= −

⋅

y p q

p k

= ⋅

⋅

2

2

x q

m ν

= −

2

4 sin

0

q E E

2 θ

≈ − ≤

Le variabili x e y

y Ricordiamo la massa invariante del sistema adronico

y Poiché

y Mettendo insieme i due risultati y Per quanto riguarda y

y Concludiamo che

y Può infine essere utile anche l'espressione

invariante per ν , simile, ovviamente, a quella di y k + p = k ′ + p ′

}

k k'

p p'

ν

μ

( )

p ′ = k − k ′ + p = + q p

( )

2 2

W = p ′ = q + p = q

+ m

+ 2 m ν

2 2

W ≥ m

2

2

0

q + m ν ≥ 2 m

ν ≥ − q

1

2

q m ν

≥ − 1 ≥ x

0 ≤ x ≤ 1

y E

= ν E E 1 E

y E E

ν μ μ

ν ν

= − = −

0 ≤ y ≤ 1

p q ν m ⋅ p q =

y p k

= ⋅

⋅

Le variabili x e y

y Disegniamo la regione cinematica permessa

y Nel piano Q − y, la regione cinematica permessa è limitata da una retta Q

in funzione di y

y Inoltre y Pertanto

y Una famiglia di rette y Infine

y Ribadiamo che per lo scattering elastico si ha x = 1

y = 1 Q

y

2

2

1 q m ν

− ≤ Q

2 m E

2 m E y

ν

E

ν

≤ ν =

( )

2

2

Q = m E y

− W − m

2 2_p 2

2

W − m = − Q + m ν

( )

2

2

Q = m ν − W − m

2

2

x Q

= m ν

( )

2

2

Q = x m E y

Variabili cinematiche

y Troviamo una relazione per le funzioni trigonometriche y Ricordiamo la definizione delle variabili x e y

y Consideriamo il sistema di c.m. e trascuriamo le masse delle particelle

y Pertanto

y Infine

2

2

q p q

x y

p q p k

− ⋅

= =

⋅ ⋅

( )

p k k

y p k

⋅ − ′

= ⋅ 1 p k

p k

⋅ ′

= − ⋅ 1 p k

y p k

⋅ ′

− = ⋅

k'

p'

k θ p

( )²

2

s = p + k ≈ p k ⋅

( )

'

cos

p k ⋅ ′ = E E

− p k ′ π − θ

p k

2

E ≈ p ≈ E

≈ k ′ ≈ s 1

1 cos

2 θ

= +

( ^{1 cos} )

4

2 s

p k

p k s

θ

′ +

⋅ =

⋅

( )

1 1 1 cos

y 2 θ

− = + 1 ^{( )}

1 cos

y = 2 − θ

Scaling di Bjorken

y Sperimentalmente, la sezione d'urto per lo scattering profondamente anelastico mostra un comportamento di tipo asintotico

y Scoperto nel deep inelastic scattering e−p a SLAC (Bjorken Scaling) y Bjorken interpretò tutti i comportamenti asintotici osservati

y Biorken fece le seguenti assunzioni y Nel limite di grande Q

y Nel limite di grande ν

y Per valori finiti del loro rapporto

y Sotto queste condizioni le funzioni di struttura W tendono a funzioni (universali) di x

y La sezione d'urto dipende da una sola variabile cinematica come lo scattering elastico

y Per il deep inelastic scattering di neutrini si ha

(

)

1

,

m W Q

ν → F x

2

1

2

x Q

m ν ω

= =

(

)

2

,

W Q F x

ν ν →

(

)

3

,

W Q F x

ν ν →

2m

W

νW

dati e-p

2 2

1

( ) (1 ) ( )

1

( ) 2

N

G m E

d y

xy F x y F x xy F x

dxdy

ν ν

σ

π

⎡ ⎛ ⎜ ⎞ ⎟ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎣ + − + ⎜ ⎜ ⎝ − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎥ ⎦

Il modello a partoni

y Interpretiamo lo scattering profondamente anelastico con il modello a partoni y Il nucleone è composto da partoni ciascuno dei quali

trasporta una frazione α del momento del nucleone y La probabilità che il partone i-esimo abbia una

frazione α del momento totale del nucleone è data da

y Nella ipotesi che i partoni siano quarks utilizziamo le sezioni d'urto per lo scattering di neutrini o antineutrini

y Ci limitiamo per adesso alle interazioni di correnti cariche, quelle cioè che

vedono la variazione di carica r1 per il fermione e che sono mediate dai bosoni vettoriali W

,ad esempio:

y Nello studio delle interazioni leptoniche avevamo visto che la sezione d'urto era

p α p

i

(

,

p

= α α E p

( )

i

dP f

d α

α =

k k'

μ

ν

p p'

d u

W^

1 0 1

f i

Q

Q Q

Δ = − = − − = −

( )

2 1

3 3 1

d u f i

Q

Q Q

Δ = − = − − =

2 2

d G s σ d

= _{y Dove d} erano le matrici di rotazione per J = 1

Interazione neutrino quark (CC)

k k'

μ

ν

p p'

d u

W^

k ν

μ

k'

p p'

u d

W^

k

μ

ν

k'

p p'

u d

W^

μ

ν

k k'

p p'

d u

W^

d G s

dy σ

= π

( )

2

1

d G s dy y

σ

= π −

d G s

dy σ

= π

( )

2

1

d G s dy y

σ

= π −

ν

θ d

μ

u

J

= 0 Isotropa

J

= 1 o J



M ad

a1+cosθ σ = 0 per θ = π

ν

θ u

μ^

d d

ν

θ

μ

u

u

ν

θ

μ^

d

J

= 1 o J



M ad

a1+cos θ σ = 0 per θ = π

J

= 0 Isotropa

( )

1 1 1 cos

y 2 θ

− = +

Modello a partoni

y Utilizziamo il modello a partoni per interpretare i risultati dello scattering profondamente anelastico neutrino nucleone

y La sezione d'urto è la somma incoerente delle sezioni d'urto dei singoli partoni pesate con le distribuzioni f

(x)

y La probabilità per il partone i-esimo di avere di avere una frazione x del momento è f

(x)dx (si può dimostrare che x coincide con la variabile

definita in )

y Se un partone trasporta una frazione x del momento totale abbiamo che la variabile per questo processo è (trascuriamo le masse)

y La sezione d’urto del partone i-esimo viene calcolata a questa energia xp

ˆ = xs s

k k'

d

dy σ

ν

ν

 μ

μ

( )

f x

N p

q

( )

ˆ = k + xp ≈ 2 xk p ⋅ = xs s

s ˆ

( )

i i

d d

f x dx

dy dy

σ σ

= ∑

( ) i i i

d d

dxdy f x dy σ σ

= ∑

552

Modello a partoni

y Scriviamo l’espressione per la sezione d'urto ν – protone

y Il protone è composto da 2 quark u e un quark d più eventuali quarks/anti-quarks del mare ( g → q q → g )

y Il neutrino interagisce solo con i quark di valenza d oppure con antiquark u del mare

y La sezione d'urto ν - p pertanto è ( f

(x) → q(x) )

y Analogamente la sezione d'urto ν – p

y L’antineutrino interagisce solo con i quark di valenza u oppure con antiquark d del mare

( ) ( )

p d u

p p

d d

d d x u x

dxdy dy dy

ν

σ

σ

σ = +

( ) ( )

( )

2

1

p

p p

d G s

x d x u x y

dxdy σ

π ⎡ ⎤

= ⎣ + − ⎦

( ) ( )

p u d

p p

d d

d u x d x

dxdy dy dy

ν

σ

σ

σ = +

( )

( )

2

1

p

p p

d G s

x u x y d x

σ

π ⎡ ⎤

= ⎣ − + ⎦

Modello a partoni

y Scriviamo l’analoga espressione per la sezione d'urto ν – neutrone y Il neutrone è composto da 2 quark d e un quark u più eventuali

quarks/anti-quarks del mare ( g → q q → g )

y Il neutrino interagisce solo con i quark di valenza d oppure con antiquark u del mare

y La sezione d'urto ν - n pertanto è

y Analogamente la sezione d'urto ν – n

y L’antineutrino interagisce solo con i quark di valenza u oppure con antiquark d del mare

( ) ( )

( )

2

1

n

n n

d G s

x d x u x y

dxdy σ

π ⎡ ⎤

= ⎣ + − ⎦

( )

( )

2

1

n

n n

d G s

x u x y d x

dxdy σ

π ⎡ ⎤

= ⎣ − + ⎦

Il modello a partoni

y Possiamo assumere che n e p siano un doppietto di isospin y Sono sistemi speculari rispetto a scambio u ↔ d

y Otteniamo per le 4 sezioni d'urto

y Pertanto misurando le 4 sezioni d'urto in funzione di x e y si possono ricavare le 4 funzioni di distribuzione

( ) ( )

( )

2

1

d

G s

x d x u x y dxdy

σ

π ⎡ ⎤

= ⎣ + − ⎦

^{( )}

2

1

d

G s

x u x y d x dxdy

σ

π ⎡ ⎤

= ⎣ − + ⎦

( ) ( )

( )

2

1

d

G s

x u x d x y dxdy

σ

π ⎡ ⎤

= ⎣ + − ⎦

^{( )}

2

1

d

G s

x d x y u x dxdy

σ

π ⎡ ⎤

= ⎣ − + ⎦

( ) ( ) ( )

p n

d x = u x = d x

( ) ( ) ( )

p n

u x = d x = u x

u u

u d d

p d

n

La misura delle funzioni di distribuzione

y Da un punto di vista sperimentale occorre tenere conto che le sezioni d'urto di neutrini e antineutrini sono molto basse

y Per aumentare la statistica occorre utilizzare materiali densi invece di idrogeno e deuterio

y Si utilizzano come bersagli i cosiddetti materiali isoscalari i cui nuclei contengono lo stesso numero di neutroni e protoni

y Le sezioni d'urto misurate sono in questo caso la media delle due sezioni d'urto trovate

y Dove

y Analogamente per le sezioni d'urto di antineutrini

( ) ( )( )

2

1

2 d

G s

x q x q x y dxdy

σ

π ⎡ ⎤

= ⎣ + − ⎦

( )

( )

2

1

2 d

G s

x q x y q x dxdy

σ

π ⎡ ⎤

= ⎣ − + ⎦

1 2

N p n

d d d

dxdy dxdy dxdy

ν ν ν

σ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎝ σ + σ ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎠

( ) ( ) ( )

q x = d x + u x

1 2

N p n

d d d

dxdy dxdy dxdy

ν ν ν

σ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎝ σ + σ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠

Il modello a partoni

y Confrontiamo la formula generale dello scattering "deep" inelastico di neutrini con la formula appena ricavata

y Uguagliamo i coefficienti delle diverse potenze di y

( ) ( )

2 2

1

1

1

2

N

G m E

d y

xy F y F xy F

dxdy

ν ν

σ

π ⎡ ⎤

= ⎢ ⎣ + − + − ⎥ ⎦

( ) ( )( )

2

1

2 d

G s

x q x q x y dxdy

σ

π ⎡ ⎤

= ⎣ + − ⎦

( ) ( )

2 2 3

2

2

F − F − xF y + x F − F y ^{x q x ⎡} _⎣ ( ) ^{+ q x} ( ) ^⎤ _⎦ ^{− 2 xq x y} ( ) ^{+ xq x y} ( )

( ) ( ) ( )

F x

= xq x + xq x

( ) ( ) ( )

F x

= xq x + xq x

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2 3

2

F x xq x xq x F x xF x xq x

= +

− =

⎧⎪⎪ ⎪⎪

⎨⎪ ⎪⎪

⎪⎩

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

2 3

1 3

2

2 2

F x xq x xq x F x xF x xq x

F x F x q x

= +

− =

− =

Il modello a partoni

y Sostituendo la prima espressione nella seconda equazione

y Sostituendo nella terza equazione

y Dal confronto delle soluzioni per F

e F

si ritrova la relazione di Callan Gross

( ) ( ) ( )

F x

= xq x + xq x

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

2 3

1 3

2

2 2

F x xq x xq x F x xF x xq x

F x F x q x

⎧⎪ = +

⎪⎪ ⎪ − =

⎨⎪ ⎪ − =

⎪⎪⎩

( ) ( ) ( ) ( )

3

2

xq x + xq x − xF x = xq x

( ) ( ) ( )

F x

= q x − q x

( ) ( ) ( )

F x

= q x − q x

( ) ( ) ( ) ( )

2 F x

= 2 q x + q x − q x

( ) ( ) ( )

2F x

= q x + q x

( ) ( ) ( )

2F x

= q x + q x

( ) ( )

1 2

2xF x = F x

2m

W

νW

dati e-p

Sezione d'urto differenziale

y Adesso integriamo rispetto x le sezioni d'urto trovate con il modello a partoni

y Per la sezione d’urto di neutrini abbiamo

y Posto

y Troviamo

y Analogamente per gli antineutrini

( ) ( )( )

2

1

2 d

G s

x q x q x y dxdy

σ

π ⎡ ⎤

= ⎣ + − ⎦

^{( )}

2

1

2 d

G s

x q x y q x dxdy

σ

π ⎡ ⎤

= ⎣ − + ⎦

( ) ( )( )

2 1 2

0

1

2 d

G s

x q x q x y dx dy

σ

π ⎡ ⎤

= ∫ ⎣ + − ⎦

( )

1

Q = ∫

xq x dx ^{Q =} ∫

^{xq x dx}

( )

2

1

2 d

G s

Q Q y

dy σ

π ⎡ ⎤

= ⎣ + − ⎦

( )

2

1

2 d

G s

Q y Q

dy σ

π ⎡ ⎤

= ⎣ − + ⎦

d dy

σ

y

Le distribuzioni confermano

Q Q

ν

ν

Sezione d'urto totale

y Possiamo infine calcolare le sezioni d'urto totali

y Ricordiamo che y Otteniamo

y Analogamente

y Escluso una piccola discrepanza a basse energie, l'andamento lineare della sezione d'urto previsto dal modello a partoni è confermato fino a energie ~ 300 GeV

( )

2 1 2

0

1

2

N

G s

Q Q y dy

σ

π ⎡ ⎤

= ∫ ⎣ + − ⎦

2

3

N

G m E

Q

ν

Q σ

π

⎛ ⎞⎟

= ⎜ ⎜ ⎜⎝ + ⎟ ⎟⎟ ⎠

( )

2

3

N

G m E

Q

ν

Q σ

= π +

2

s = m E

Sezione d'urto totale

y Studiamo il coefficiente della dipendenza lineare delle due sezioni d'urto

y Preliminarmente, definiamo e calcoliamo il coefficiente k

y Sperimentalmente si trova

( )

2 2

2 2

2

G m E G m

G s

c E

kE

π = π → π ≡

( ^{1.17 10}

)

^{0.938 0.389 10}

k π

− −

× × × ×

= = 1.59 10 ×

( ^{0.31 0.02} ) ¹⁰

^{cm GeV}

N Tot

E

ν

ν

σ

⎛ ⎞⎟

⎜ ⎟ = ± ×

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜⎝ ⎠

( ^{0.64 0.03} ) ¹⁰

^{cm GeV}

N Tot

E

ν

ν

σ

⎛ ⎞⎟

⎜ ⎟ = ± ×

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜⎝ ⎠

2

3

N

G m E

Q

ν

Q σ

π

⎛ ⎞⎟

= ⎜ ⎜ ⎜⎝ + ⎟ ⎟⎟ ⎠ ^σ

^{= G m E Q}

_π

( ₃ ^{+ Q} )

Sezione d'urto totale

(

)

N Tot

E

ν ν

σ _{− −}

⎛ ⎞⎟

⎜ ⎟ = ± ×

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜⎝ ⎠

(

)

N Tot

E

ν ν

σ _{− −}

⎛ ⎞⎟

⎜ ⎟ = ± ×

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜⎝ ⎠

Sezione d'urto totale

Sezione d'urto totale

y Si ottiene

y La presenza di antiquark (del mare) è dovuta ai gluoni che si trasformano in coppie q q

y I quark trasportano circa il 44% del momento del nucleone di cui

y I quark di valenza circa il 31%

y I quark del mare circa il 13%

( )

1 4

0.59 0.04 3

N N

Q Q

k E

ν ν

ν

σ + σ

= + = ±

( )

1 2

0.207 0.014 3

N N

Q Q

k E

ν ν

ν

σ − σ

= − = ±

0.44 0.03 Q + Q = ±

0.311 0.021 Q − Q = ±

v s s

Q − Q = Q + Q − Q = Q

= 0.311 ± 0.021 0.311 0.021 Q =

±

( )

Q = ∫

xq x dx

2

3

N

G m E

Q

ν

Q σ

π

⎛ ⎞⎟

= ⎜ ⎜ ⎜⎝ + ⎟ ⎟⎟ ⎠ ^σ

^{= G m E Q}

_π

( ₃ ^{+ Q} )

u_v u_v d_v u_s u_s

W

s s

Q = Q