prof. Francesco Ragusa Università di Milano

prof. Francesco Ragusa Università di Milano

Interazioni Elettrodeboli

anno accademico 2020-2021

Lezione n. 22

21.12.2020

Rottura spontanea della

simmetria. Modello di Higgs

Il modello di Higgs

y Ricordiamo l'equazione per un campo vettoriale di massa nulla y Ad esempio il potenziale elettromagnetico A

y L'equazione per A

è invariante per trasformazioni di gauge y Sappiamo inoltre che per un campo vettoriale con massa non nulla

y Abbiamo notato che l'equazione non è invariante per trasformazioni di gauge y Abbiamo anche visto che la consistenza dell'equazione impone che ∂

A

= 0 y Consideriamo un campo scalare complesso φ (per il momento classico, † = *)

y Si verifica facilmente che la Lagrangiana è invariante per trasformazioni globali di fase φ'(x) = e

φ(x) y L'Hamiltoniana corrispondente è

Si verifica che l'Hamiltoniana ha un minimo per φ

Il modello di Higgs

y L'Hamiltoniana precedente può essere vista come limite di un sistema discreto y Corrisponde a un oscillatore anarmonico (si può sostituire φ

φ → x*, x)

y Per λ = 0 abbiamo l'oscillatore armonico di una particella di massa μ y Oscillazioni intorno a x = 0

y Il caso λ ≠ 0 può essere trattato perturbativamente

y Si possono trovare le soluzioni espandendo intorno a x = 0 y Consideriamo adesso φ come un campo quantistico

y Limite continuo di oscillatori quantistici

y Per λ = 0 è un campo libero che descrive particelle di massa μ y Possiamo sviluppare il campo in operatori di creazione e distruzione

y Si ipotizza che esista uno stato |0> (il vuoto)

y L'espressione <0|φ|0> = 0 è la forma quantistica che corrisponde

all'affermazione classica che il potenziale ha un minimo per φ

φ = 0

Il modello di Higgs

y Consideriamo adesso il caso in cui il parametro μ

appaia con segno negativo

y Il potenziale ha adesso minimi locali per y Per φ = 0 il sistema adesso non ha un minimo

y Non si può più trattare il sistema "libero" (λ = 0) per poi trovare correzioni perturbative

y Il potenziale va trattato nel suo complesso fin dall'inizio y Il sistema è simmetrico nel piano φ

– φ

y Ci sono infiniti minimi per

y Per i valori indicati di φ l'Hamiltoniana ha un minimo y Si possono trovare soluzioni perturbative intorno

a questi minimi

y Naturalmente occorre scegliere un particolare minimo fra gli infiniti minimi possibili

y La scelta rompe la simmetria

Il modello di Higgs

y Consideriamo ancora il campo φ come un campo quantistico y Nel caso precedente avevamo assunto

y Che lo stato vuoto fosse unico

y Che il valore di aspettazione del campo nel vuoto fosse uguale al valore classico che minimizzava il potenziale

y Nel caso in esame le cose sono differenti

y Lo stato vuoto non è unico: esistono infiniti stati degeneri y Il valore di aspettazione del campo nel vuoto non è nullo y Assumiamo (definiamo v)

y Scriviamo il campo φ in un modo alternativo

y Utilizziamo una rappresentazione che utilizza le coordinate polari

y L'introduzione di v nell'esponenziale fa si che φ, ρ, θ abbiano tutti le stesse dimensioni

y La condizione di minimo adesso si esprime come: ρ = v, per θ arbitrario

Il modello di Higgs

y Utilizzando la nuova espressione di φ osserviamo che y Un particolare vuoto equivale a un particolare θ y Interpretato come oscillatore il sistema esibisce

oscillazioni in ρ intorno alla posizione di equilibrio ρ = v y Risulta pertanto conveniente riscrivere φ come

y I nuovi campi introdotti hanno valore di aspettazione nullo y Utilizzando i nuovi campi la Lagrangiana diventa

y I puntini rappresentano termini cubici e quartici in h e θ (interazioni) y Il termine μ

/λ è il valore minimo del potenziale

y La lagrangiana descrive

y Un campo reale h(x) che ha massa modo di Higgs

y Un campo reale θ(x) con massa nulla modo di Goldstone

Il modello di Higgs

y Consideriamo il modello precedente per il quale richiediamo adesso l'invarianza di gauge locale per il gruppo U(1): φ'(x) = exp[−iα(x)]φ(x)

y Introduciamo la derivata covariante: ∂

→ ∂

+ iqA

y In corrispondenza alla trasformazione di fase

y Aggiungiamo la Lagrangiana del campo elettromagnetico (senza massa)

y Notiamo che questo sistema contiene 4 gradi di libertà y Due gradi libertà del campo complesso φ

y Due gradi di libertà del campo senza massa A

y Anche in questo caso è conveniente utilizzare la rappresentazione per φ

y Notiamo che l'introduzione di A

rende il campo θ completamente arbitrario y Qualsiasi trasformazione di fase di φ può essere compensata da una

trasformazione di gauge per A

che lascia la Lagrangiana invariante

Il modello di Higgs

y Tramite le equazioni di Eulero-Lagrange si ottiene l'equazione per A

y Si può dimostrare che l'inserimento della rappresentazione di φ in coordinate polari porta alla seguente espressione

y I puntini sono termini quadratici e cubici nei campi y Ulteriori contributi alla corrente

y Inseriamo nell'equazione per A

y In termine fra parentesi ha esattamente la forma di una trasformazione di gauge per il campo elettromagnetico

y L'espressione a sinistra dell'equazione resta invariata dalla trasformazione y L'equazione diventa

y È l'equazione di un campo vettoriale di massa m = vq !

Il modello di Higgs

y La trasformazione di gauge applicata al campo A

è

y A questa deve corrispondere una trasformazione di fase per il campo scalare

y Ricordando la rappresentazione

y Il campo θ è sparito: è stato assorbito dal campo A'

y Il campo vettoriale ha massa m = vq e ha tre stati di polarizzazione y Il numero totale di gradi di libertà è sempre 4

y Nel gauge che stiamo considerando

y Il campo φ' è reale e pertanto ha un solo grado di libertà

y Il campo vettoriale A'

ha massa m = vq e ha tre gradi di libertà y Nel gauge originale

y Il campo φ è complesso e ha due gradi di libertà

y Il campo vettoriale A

ha massa nulla e ha due gradi di libertà y Il sistema è sempre lo stesso

y L'interpretazione in termini di particelle dipende dal gauge

gauged away

Masse dei Bosoni: rottura della simmetria

y Abbiamo osservato (senza dimostrarlo) che la rinormalizzabilità della teoria richiede che i bosoni vettoriali siano senza massa

y In contrasto con la natura a corto range dell’interazione debole y Il problema viene risolto

y Con l’introduzione di un termine gauge-invariante nella lagrangiana che rappresenta una particella scalare con auto-interazione

y Con la rottura spontanea della simmetria y Il campo di Higgs (la particella scalare) è un

doppietto di isospin debole T = 1/2 con ipercarica Y = 1

y La sua Lagrangiana è

y L’interazione del campo di Higgs con i bosoni vettoriali viene introdotta con la sostituzione dell’operatore derivazione ∂

con quello covariante D

y Sostituendo otteniamo, per la parte cinetica, quella importante per le masse

Masse dei Bosoni: rottura della simmetria

y La parte che da origine alle masse è

y La rottura spontanea della simmetria si ottiene assumendo che il campo φ abbia un valore di aspettazione nel vuoto diverso da zero

y Il campo con valore di aspettazione diverso da zero è θ

y Gli altri hanno valore di aspettazione nullo: <θ

>=<θ

>=<θ

>=<h>=0

y In termini di campi con valori di aspettazione nulli il campo di Higgs si esprime

y I termini che generano la massa dei bosoni sono quelli che dipendono da φ

Masse dei Bosoni: rottura della simmetria

y Isolando il termine che contiene il valore di aspettazione nel vuoto φ

otteniamo

y Il primo termine ha la forma di un termine di massa per un bosone vettoriale carico di massa M

= ½ vg

y Il secondo termine, una forma quadratica non diagonale rispetto ai campi W

e B

y Può essere messa in forma diagonale

diagonalizzando la matrice

Masse dei Bosoni: rottura della simmetria

y Troviamo gli autovalori della matrice

y L’equazione agli autovalori Mu = λu per λ = 0

y una soluzione è

y Normalizziamo la soluzione

y Definiamo

y Le soluzioni (ortogonali, M è simmetrica) sono pertanto

Masse dei Bosoni: rottura della simmetria

y Diagonalizzare la matrice si ottiene passando ad una nuova base ruotando i vettori con R(θ

)

y Otteniamo pertanto le combinazioni lineari

y Con queste combinazioni lineari il termine della lagrangiana diventa

y A

corrisponde all’autovalore λ = 0

y È il fotone, il mediatore delle correnti elettromagnetiche y Z

corrisponde all’autovalore

È il bosone Z , il mediatore delle correnti neutre

Le costanti di accoppiamento

y Le relazioni fra le masse e le costanti di accoppiamento si ottengono con il meccanismo della rottura spontanea della simmetria

y Il valore di aspettazione nel vuoto del campo di Higgs è v = <φ>

y Qual è la relazione di g

con G (Fermi) ?

y Ricordiamo la definizione della correnti J

= J

y Differisce dalle correnti utilizzate per il decadimento β per il fattore ½ y L’ampiezza per la interazione di Fermi

con la corrente qui definita è

y I bosoni W

hanno massa M

e un propagatore (vedi diapositiva ) y Il propagatore è proporzionale a

ovviamente

da cui

609

Le costanti di accoppiamento

y Possiamo calcolare il valore di aspettazione del campo di Higgs nel vuoto

y Utilizzando il valore di G = 1.16×10

GeV

si trova v ≈ 246 GeV y Ricordiamo inoltre

y Otteniamo la previsione della massa del bosone W

y Utilizzando la misura sperimentale sin

θ

≈ 0.23

• Differiscono molto dai valori sperimentali

• Calcolo al primo ordine

• Correzioni radiative importanti

otteniamo

Le costanti di accoppiamento

y La unificazione delle forze deboli ed elettromagnetica non è completa:

y Si introducono due costanti di accoppiamento indipendenti g

e g

y Una completa unificazione richiederebbe una unica costante di accoppiamento y La rottura spontanea e la forma della corrente elettromagnetica fissano il

rapporto fra le due costanti

y Per definire il modello occorre misurare 3 quantità: ad esempio g

_, g

_, v

y Sono possibili altre scelte:

y La carica elettrica ( α ) e le masse dei bosoni W e Z

y Le grandezze misurate con gli errori più piccoli: α _, G , M _Z

y Ricordiamo le più importanti relazioni al “tree level”

y Senza correzioni di ordine superiore

Le costanti di accoppiamento

y Infine riepiloghiamo le relazioni fra le costanti di accoppiamento

y Sono valide solo a livello d’albero

Interazioni nel modello standard

q

q

W

A

Q

W

f f

Z

f f

γ

Corrente Carica quark

Corrente Carica leptoni

Corrente neutra

Corrente

elettromagnetica

Interazioni nel modello standard

y La corrente neutra viene anche rappresentata nei seguenti modi equivalenti f

f

Z

Interazioni nel modello standard

y Abbiamo detto che la corrente neutra per i fermioni carichi contiene una parte Left-Handed e una parte Right-Handed

y Mettiamo in evidenza questo aspetto y Partiamo da

y Vogliamo trovare i coefficienti g

e g

tali che

y Deve essere

y Da cui

Interazioni nel modello standard

y Ricordiamo che per un fermione f

y Esempi

y Per i leptoni

y Per i quark

La lagrangiana completa !!

y https://www.symmetrymagazine.org/article/the-deconstructed-standard-model-equation

Correzioni radiative. Rinormalizzazione

y Abbiamo studiato la diffusione di una carica da un potenziale statico y Calcolo al primo ordine con un diagramma di Feynman

y Agli elementi del diagramma corrispondono y L’ampiezza invariante è

y Nel caso statico (q

→ 0)

y Si può calcolare la sezione d'urto

y La sezione d’urto calcolata può essere utilizzata per misurare il valore sperimentale della carica elettrica

y La misura della sezione d’urto per q

→ 0 permette di ricavare il valore di e

y All'ordine successivo l’ampiezza diventa

Correzioni radiative. Rinormalizzazione

y Il calcolo di I

è molto laborioso e può essere trovato in testi di Teoria dei Campi Quantistici

y Diamo solo i risultati principali

y I puntini … rappresentano contributi proporzionali a q

q

che danno contributi nulli quando accoppiati a correnti esterne conservate

y La funzione I(q

) è data da

y Il primo termine diverge logaritmicamente

y Per poter manipolare l’espressione si introduce un cut-off Λ sul primo integrale e si fa tendere alla fine Λ → ∞

y Il secondo termine è finito. Le approssimazioni per alto q

e basso q

sono

y Evidentemente I(q

) è privo di significato fisico, a meno di non riuscire a

“eliminare” o "ridefinire" la parte divergente

Correzioni radiative. Rinormalizzazione

y Nelle ampiezze di 1

e 2

ordine le correnti sono le stesse y Il calcolo modifica il propagatore

y Possiamo rappresentare graficamente come y Otteniamo

y Utilizzando l’approssimazione per basso q

, l’ampiezza diventa

y Trascurando termini di ordine α

possiamo riscriverla come

Correzioni radiative. Rinormalizzazione

y Possiamo associare il termine divergente alla carica elettrica

y Si definisce la carica rinormalizzata

y Allo stesso ordine di approssimazione, vale anche y L’ampiezza diventa

y La carica elettrica utilizzata nell'ampiezza deve essere misurata dall’esperimento

y Ad esempio, misurando la sezione d’urto

y Sottolineiamo che la carica dell'ampiezza è diversa da quella usata nella Lagrangiana (carica "nuda")

y Sottolineiamo infine che le formule della sezione d’urto a livello d’albero

e a livello 1-loop sono differenti

Correzioni radiative. Rinormalizzazione

y Si può utilizzare la formula 1-loop

y Si utilizza la misura della sezione d’urto (ad esempio per q

→ 0 ) per definire e

y La divergenza viene assorbita nella definizione della carica y Il processo si chiama rinormalizzazione

y Che la carica elettrica di una particella possa essere diversa nel vuoto e all’interno di un materiale è una circostanza nota in fisica dello stato solido y Carica nel vuoto e carica nella materia sono differenti

y Nella teoria dei campi ci sono differenze

y L’elettrone non può essere isolato dalla sorgente della rinormalizzazione y La carica è modificata dal campo elettromagnetico che lei stessa genera y Fluttuazioni del vuoto (vacuum fluctuations)

y La correzione è infinita

y Vale comunque la pena notare che la scala Λ a cui la divergenza comincia a contribuire è estremamente elevata

y Corrisponde ad una lunghezza l = ˜/Λc = 10

fm

Correzioni radiative. Rinormalizzazione

y A questa scala di energia (o di lunghezza) probabilmente sono presenti altri fenomeni

y Che la rinormalizzazione permetta di disaccoppiare la teoria in esame dai fenomeni a scale così distanti è una circostanza molto rassicurante

y È dovuto alla dipendenza logaritmica da Λ

y La carica elettrica è rinormalizzabile a tutti gli ordini

y Nel limite di basso q

il grafico studiato è il potenziale di Coulomb y Permette di calcolare i livelli energetici dell’atomo

y La correzione introdotta dai loop

y Il potenziale diventa pertanto

Lamb Shift

y Le correzioni apportate al potenziale di Coulomb hanno un effetto misurabile

y Il potenziale proporzionale a δ(r) può essere trattato come una perturbazione

y In meccanica non relativistica gli stati 2s

e 2p

sono degeneri

y La teoria di Dirac rimuove la degenerazione y La separazione hν fra gli stati corrisponde

ad una frequenza ν = 1057 MHz

y La polarizzazione del vuoto corregge questa separazione per Δν = −27 MHz

y L’effetto della polarizzazione del vuoto è stato verificato sperimentalmente

y Considerato un grande successo della teoria quantistica dei campi

y Dimostra che la rinormalizzazione è una procedura che produce risultati fisicamente significativi

1s

2s

2p

Shelter Island Conference (1947)

y Hans Bethe (1967) y David Bohm

y Gregory Breit y Karl K. Darrow y Herman Feshbach

y Richard Feynman (1965) y Hendrik Kramers

y Willis Lamb (1955) y Duncan MacInnes

y Robert Eugene Marshak y John von Neumann

y Arnold Nordsieck

y J. Robert Oppenheimer y Abraham Pais

y Linus Pauling (1954)

y Isidor Isaac Rabi (1944) y Bruno Rossi

y Julian Schwinger (1965) y Robert Serber

y Edward Teller y George Uhlenbeck

y John Hasbrouck van Vleck (1977) y Victor Frederick Weisskopf

y John Archibald Wheeler

Richard Feyman (seated, with pen in hand) illustrates

a point at the conference. From left to right, standing,

are: W. Lamb, K.K. Darrow, Victor Weiskopf, George

E. Uhlenbeck, Robert E. Marshak, Julian Schwinger,

David Bohm, From left to right, seated are: J. Robert

Oppenheimer (holding pipe), Abraham Pais, Richard

P. Feynman, Herman Feshbach.