L’incertezza di misura

L’incertezza di misura

1 - La norma internazionale

Introduzione

L’ISO (International Standard Organization) ha preparato una Guida per l’espressione delle incertezza di misura (GUM, Guide to the expression of Uncertainty in Measurement).

Tale documento è stato recepito in Italia come Norma UNI-CEI 9 (revisione UNI CEI ENV 13005). Lo scopo della Guida è essenzialmente quello di:

• Promuovere una completa informazione sul come vengono dichiarate le incertezze.

• Fornire una base per il confronto internazionale dei risultati delle misurazioni.

Obiettivi

Nelle applicazioni industriali e commerciali, della sanità come della sicurezza, è necessario fornire un intervallo intorno al risultato della misurazione entro il quale ci si possa aspettare che cada gran parte dei valori che sono ragionevolmente ascrivibili a quella grandezza.

Sarebbe opportuno riuscire ad assegnare tale intervallo con una probabilità di copertura, o livello di fiducia, che corrisponda realisticamente a quello richiesto.

Per avvicinarsi a tale obiettivo, la Guida stabilisce, piuttosto che istruzioni tecnologiche specifiche, delle regole generali per esprimere l’incertezza di misura.

In tal modo si è voluto indirizzare il documento a contesti anche molto diversi fra loro.

Fra i campi di applicazione della Guida vengono segnalati:

• Mantenere il controllo e la garanzia della qualità nella produzione.

• Garantire la conformità a leggi e regolamenti o imporne il rispetto.

• Condurre la ricerca di base, applicata o di sviluppo, nella scienza e nell’ingegneria.

• Tarare campioni e strumenti, ed effettuare prove nell’ambito di un Sistema Nazionale di Taratura, per conseguire la riferibilità ai campioni nazionali.

• Sviluppare, mantenere e confrontare campioni di riferimento internazionali e nazionali, compresi i materiali di riferimento.

L’incertezza del risultato di una misurazione costituisce, in fondo, la mancanza di una conoscenza esatta del misurando. Così il risultato di una misurazione, quand’anche riuscissimo a correggere effetti sistematici identificati, costituisce sempre una stima del valore del misurando. L’incertezza sperimentale è dovuta a numerosi fattori, fra i quali:

• Definizione incompleta del misurando.

• Imperfetta realizzazione del misurando.

• Non rappresentatività della campionatura.

• Inadeguata conoscenza delle condizioni ambientali, o dei loro effetti sulla misurazione.

• Distorsione personale dell’operatore nella lettura di strumenti analogici.

• Risoluzione finita degli strumenti.

• Valori non esatti delle costanti e dei parametri usati per gli algoritmi di valutazione.

• Approssimazioni o semplificazioni del metodo o del procedimento sperimentale.

• Variazioni del misurando in condizioni apparentemente identiche.

Tutti questi fattori, inoltre, non sempre sono indipendenti.

La Guida raggruppa le componenti di incertezza in due categorie, a seconda del metodo di valutazione:

Componenti valutate con metodi statistici (tipo A).

Componenti valutate con altri metodi (tipo B).

2 - Richiami di statistica e probabilità

Osservazioni ripetute

Supponiamo di voler conoscere una grandezza fisica X, raccogliendo allo scopo una serie di misure, ripetute nelle stesse condizioni sperimentali.

Siano N i valori misurati (x1, x2, ... xk ... xN), dove xk è il generico valore di una misurazione.

Questi valori non saranno tutti uguali, per numerosi motivi, come già detto.

Definiamo allora il valor medio per l’insieme dei valori misurati:

k N

= k

N x

x⁼

∑

1

1 (2.1)

È ragionevole ritenere che il valore medio di un insieme di N misure costituisca la stima migliore del vero valore della grandezza in esame.

Per ciascuna misura xk, potremo considerare la deviazione dal valor medio:

x x_k

k = −

δ (2.2)

Le deviazioni possono essere di valore sia positivo che negativo.

Appare interessante ricercare un indice complessivo dell’entità di tali scostamenti. Tale indice non può essere il valore medio degli scostamenti, in quanto questo valore è ovviamente nullo, come si evince facilmente facendo la media di entrambi i termini dell’espressione (2.2).

Risulta più idoneo un indice quadratico, come la varianza.

Definiamo varianza sperimentale dell’insieme di N misure, il valore medio del quadrato delle deviazioni:

( )

1 1 ( )2

1 2

1

2 x x

N x N

s k

N

= k k N

= k

k =

∑

δ =

∑

− ^(2.3)

Da questa varianza si deduce lo scarto tipo sperimentale:

( )

1 1 ( )2

1 2

1

x N x

x N

s _k

N

= k k

N

= k

k =

∑

δ =

∑

− ^(2.4)

Lo scarto tipo o deviazione standard rappresenta un indice appropriato della dispersione delle misure attorno al valore medio. La sua definizione sarà tuttavia affinata in seguito, considerando che le N misure non rappresentano l’insieme (popolazione) di tutte le misure ma solo un campione limitato dell’infinità di misure eseguibili.

Istogrammi delle osservazioni

I risultati di numerose misure ripetute sulla stessa grandezza possono essere graficamente rappresentati su opportuni diagrammi, detti istogrammi.

Questi si costruiscono con alcune semplici operazioni:

• si individuano i valori massimo (xmax) e minimo (xmin) tra le N misure della grandezza X;

• si divide l’intervallo (xmax - xmin) in un numero M di intervallini di uguale ampiezza, ciascuno dei quali può essere identificato col suo valore centrale xi (i = 1, ..., M);

• si conta il numero ni delle misure che ricadono in ciascun intervallino;

• si calcola la frequenza di osservazione dividendo questo numero per il numero totale delle osservazioni N:

1 )

2 1 (

1

=

⇒

=

=

∑

^{M i}

= i i

i i , , ... M f N

f n (2.5)

• si rappresenta su un grafico il valore del numero delle osservazioni relative a ciascun intervallo, oppure la corrispondente frequenza.

Per comprendere il modo di operare, si consideri, come esempio, la misura ripetuta di una tensione V, eseguita con uno strumento numerico che consente di rappresentare sul display solo una cifra dopo il punto decimale.

Operando su portate di volt, la minima differenza fra due letture distinte è perciò 0,1V.

La generica indicazione vk dello strumento di misura può aversi per qualsiasi valore di tensione compreso entro l’intervallo vk ± 0,05 V. In tal modo tutti i valori compresi in questo intervallo vengono automaticamente raggruppati dallo strumento in un unico valore vi, rappresentativo dell’intervallo stesso.

Supponiamo, per fissare le idee, che i valori misurati siano tutti compresi nell’intervallo 99,5V ÷ 100,5V: il numero M dei valori distinti delle misure risulta pari a 11.

Poiché molte misurazioni porteranno allo stesso valore, indichiamo con ni il numero di volte che si presenta il valore vi.

Il risultato delle prove può essere riassunto in un istogramma che, per ciascuno degli 11 valori possibili, riporta il numero di osservazioni ni che cadono nella i-esima classe vi. In alternativa (vedi Fig.2.1), se N è il numero totale di osservazioni, si può rappresentare direttamente la frequenza con cui si ripete il valore della classe vi.

Fig.2.1 - Istogramma del numero di osservazioni.

La somma di tutte le frequenze di occorrenza fi deve risultare evidentemente pari a uno.

Con riferimento alle frequenze fi, il valor medio e la varianza possono riscriversi nella forma:

i i M

= i i i M

= i k N

= k

f N x

x n N x

x⁼

∑

⁼

∑

⁼

∑

1 1

1

1 (2.6)

i i M

= i i i M

= i k N

= k

i f

N n x N

s ²

1 2

1 2 1

2 1 δ δ δ

)

( ⁼

∑

⁼

∑

⁼

∑

^(2.7)

essendo δ_i =x_i−x lo scostamento della i-esima classe rispetto al valore medio.

Il concetto di probabilità e i parametri statistici

Se fosse possibile effettuare sulla stessa grandezza fisica X un numero N di misure infinitamente grande, le frequenze di occorrenza dei diversi valori rappresenterebbero le probabilità della intera popolazione.

L’insieme delle misure può allora essere visto come una variabile aleatoria discreta X, dove ciascuno dei possibili valori xi è caratterizzato dalla sua probabilità di occorrenza:

N f n

P x P

x ⁱ

i N i N

i

i) ( ) lim lim

Prob(

∞

→

∞

→ =

=

=

= (2.8)

Se si infittisce il passo di osservazione (nell’esempio del voltmetro ciò equivarrebbe ad aumentare la risoluzione dello strumento impiegato per le misure) la distribuzione delle osservazioni mantiene lo stesso andamento e l’istogramma tende ad assumere un aspetto continuo.

Molti fenomeni fisici, interessati solo da errori casuali, se osservati un numero di volte molto grande, obbediscono a una legge di occorrenza degli eventi detta Gaussiana o Normale, il cui comportamento è stato rappresentato nella Fig.2.2.

Il diagramma della curva Normale o di Gauss per una variabile aleatoria continua X riporta in ascisse i possibili valori continui x della variabile aleatoria, mentre in ordinate si riporta la densità di probabilità p(x) con cui si osservano tali valori e la probabilità cumulativa P(x).

La densità di probabilità p(x) è, in generale, quella funzione continua che, moltiplicata per una variazione infinitesima dx dell’ascissa, fornisce la probabilità che la variabile aleatoria X cada entro l’intervallo di ampiezza dx, contiguo al valore corrente x:

dx x p dx x X

x ( )] ( )

Prob[ ≤ < + = (2.9)

Fig.2.2 - Densità di probabilità p(x) e probabilità cumulativa P(x).

La probabilità cumulativa P(x) è la probabilità che la variabile aleatoria X sia minore del valore corrente x:

(2.10) 1

) ( )

( )

( ]

Prob[X < x =P x =

∫

∞ p z dz ⇒

∫

⁺∞^∞p x dx=

- x

-

La probabilità che la variabile aleatoria X assuma un valore qualsiasi, compreso entro tutto il campo di definizione, è pari a uno.

Le funzioni introdotte con le relazioni precedenti rappresentano le distribuzioni di probabilità della variabile casuale X.

Nota la densità di probabilità p(x) di una variabile aleatoria continua X si definiscono il valore medio e la varianza, rispettivamente:

(2.11) dx

x p x

dx x p

x ⁺

- +

- ( ) σ ( μ) ( )

μ=

∫

² =

∫

∞^∞ − ²

∞

∞

Si noti la sostanziale analogia delle diverse relazioni, nel caso delle variabili aleatorie discrete (relazioni 2.6 e 2.7) e continue (relazioni 2.11).

La radice quadrata della varianza è ancora definita come scarto tipo o deviazione standard σ.

Talvolta la densità di probabilità p(x) è riferita, anziché ai valori x delle misure, alle loro deviazioni ^{δ= x}

(

^−μ

)

, tramite una semplice traslazione pari al valor medio (vedi Fig.2.3).

In tal modo, nota la densità di probabilità delle deviazioni p(δ), può essere valutata la probabilità che la variabile aleatoria Δ sia compresa entro un assegnato intervallo di valori.

Fig.2.3 - Densità di probabilità delle deviazioni.

Valori caratteristici

Gli intervalli usuali sono riferiti allo scarto tipo σ o a suoi multipli.

Per la curva Normale si ottiene:

% 99,73 ]

3 Prob[-3

% 95,45 ]

2 Prob[-2

% 68,27 ]

Prob[-

= σ +

<

Δ

≤ σ

= σ +

<

Δ

≤ σ

= σ +

<

Δ

≤ σ

(2.12)

Ciò significa che assumendo, per esempio, un intervallo di riferimento pari a 3σ, la probabilità che tutti gli scarti possibili cadano entro l’intervallo ± 3σ è del 99,73%.

3 - Valutazione delle incertezze

Stime di parametri da campioni

Parlando di variabili aleatorie si è detto che la valutazione delle probabilità presuppone un’indagine su un numero teoricamente infinito di elementi, costituenti l’intera popolazione.

In pratica sarà possibile raccogliere solo un numero limitato di dati, costituenti un campione dell’intera popolazione.

Con riferimento a un campione di N elementi, si dimostra che il valor medio sperimentale, definito nell’espressione (2.1), costituisce la stima migliore del valore atteso μ della popolazione e pertanto viene assunto come risultato della misura. Per quanto riguarda invece lo scarto tipo σ, una stima più corretta si ottiene dividendo per (N-1), anziché per N nell’espressione dello scarto tipo sperimentale:

( )

( )

1

1 2

1

x N x

x

s _k

N

= k

k −

= −

∑

^(3.1)

Questa precisazione assume scarso rilievo quando N sia abbastanza grande.

In ogni caso, la deviazione standard sperimentale s(xk) rappresenta il grado di attendibilità della generica misura xk fra le N del campione, o, in altri termini, quantifica la dispersione degli N valori misurati attorno al loro valore medio x.

Ma, dal momento che il valore assegnato alla grandezza è il valore medio sperimentalex, è importante valutare quale sia il grado di attendibilità di questo risultato.

A tale scopo, se considerassimo diverse serie di misure, ciascuna formata da N osservazioni, potremmo calcolare evidentemente, per ciascuna serie, il valore medio e la varianza.

Vista la dimensione finita N di ciascun campione, il valore medio e la varianza sperimentali saranno in generale diversi per ogni campione di N misure e costituiranno perciò delle variabili aleatorie a loro volta.

Si dimostra che la varianza del valor medio, fra i vari gruppi di N misure, è esprimibile nel seguente modo:

( ) ( ) ( ) ( )

N x x s N s

x x s

s² = ^{2 k} ⇒ = ^k (3.2)

dove s

( )

x_k è lo scarto tipo per il campione delle N misure considerate.

Tale scarto tipo costituisce una stima della deviazione standard σ di tutta la popolazione.

Valutazione dell’incertezza di tipo A

La varianza sperimentale della media s²

( )

x e lo scarto tipo sperimentale della media s

( )

x , quantificano quanto bene x stimi il valore medio μ della popolazione (valore atteso) e pertanto verranno adottati come valutazioni quantitative della incertezza di x.

Diremo quindi che una grandezza fisica X determinata con N osservazioni ripetute, avrà una incertezza (uncertainty) sulla sua stima x pari a:

( )

²

( )

interminidivarianza ;

( ) ( )

interminidiscarto tipo

2 x s x u x s x

u = =

Valutazione dell’incertezza di tipo B

Quando una grandezza X non viene determinata da osservazioni ripetute, bensì con una

misura singola, la varianza stimata ^u2

( )

^x o l’incertezza u(x) sono valutate per mezzo di un giudizio scientifico basato su tutte le altre informazioni disponibili:

• dati di misurazioni precedenti,

• esperienza o conoscenza del comportamento e delle proprietà dei materiali e degli strumenti,

• specifiche tecniche del costruttore,

• dati forniti in certificati di taratura,

• incertezze assegnate a valori di riferimento presi da manuali.

L’uso di tali informazioni per una valutazione di incertezza di tipo B richiede conoscenza, esperienza e perizia che possono acquisirsi solo con la pratica e quindi col tempo.

L’analisi statistica sulle misure è un’indagine che viene fatta usualmente durante le procedure di taratura di uno strumento, quando ne vengono determinate le caratteristiche metrologiche.

Il certificato di taratura accompagna il singolo strumento nel suo impiego e chi lo utilizza sa che le indicazioni fornite possono avere un’incertezza compresa entro l’intervallo dichiarato sul certificato di taratura, con un assegnato livello di confidenza.

Più spesso, i costruttori di strumentazione assegnano le specifiche di accuratezza con valori numerici validi per tutti gli esemplari di un dato modello e per essi dichiarano semplicemente un intervallo di ampiezza (-a, +a), centrato sul valore letto, entro il quale si ritiene che cada il valore del misurando. In tal caso, per poter calcolare il valore dell’incertezza in termini di varianza o di deviazione standard, in modo da avere a disposizione un’informazione confrontabile con quella ottenuta con la valutazione di tipo A, è necessario ipotizzare la distribuzione di probabilità da considerare all’interno dell’intervallo (-a, +a).

Nella maggior parte dei casi è prassi comune assumere all’interno di questo intervallo una probabilità uniforme. Pertanto, detto z il generico scostamento in tale intervallo, si ha p(z) = 1/2a e la varianza della misura x è:

( )

^{2 2 2}

2

3 1 2

) 1

( dz a

z a dz

z p z x

u ^a

a a

a

∫

∫

− = − =

= (3.3)

L’incertezza associata alla quantità x risulta quindi:

( )

3 x a

u = .

L’ipotesi di distribuzione uniforme è piuttosto pessimistica, ma è anche quella suggerita dalla GUM in mancanza di ulteriori informazioni.

Se invece fosse possibile ipotizzare che non tutti i valori dell’intervallo (-a, +a) sono ugualmente probabili, ma al contrario quelli più centrali hanno maggiori probabilità di verificarsi, si potrebbe assumere una distribuzione di tipo gaussiano.

In questo caso di dovrebbe considerare il valore a come quello per il quale l’intervallo (-a, +a) contiene la quasi totalità dei valori possibili e quindi, sulla base delle relazioni (2.12), l’indicazione a sarebbe pari a tre volte la deviazione standard della distribuzione ipotizzata.

Conseguentemente, l’incertezza associata alla quantità x risulterebbe:

( )

3 x a u = .

Un caso intermedio tra i due esaminati è quello di assumere una distribuzione di probabilità triangolare, con valore massimo pari a 1/a in corrispondenza del valore centrale dell’intervallo. Ciò porterebbe ad un’incertezza, espressa ancora in termini di deviazione standard, pari a

( )

6 x a

u = .

Combinazione delle incertezze

La definizione dello scarto tipo o della varianza si rivela particolarmente utile nell’analisi della combinazione delle incertezze di più fenomeni aleatori, cioè nella valutazione della incertezza di quantità determinate in modo indiretto: ^y= ^f

(

^x₁,^x₂,..,^x_m

)

.

In tal caso ciascuna delle grandezze indipendenti xi (i=1, .., m) viene considerata una variabile aleatoria, pertanto caratterizzata con la sua densità di probabilità (calcolata oppure ipotizzata a priori) ed i suoi parametri statistici. Le varianze delle variabili aleatorie rappresentano, come detto, le loro incertezze , che possono essere valutate indifferentemente con metodi di tipo A o B. Si dimostra che, se le variabili aleatorie sono tutte fra loro statisticamente indipendenti, l’incertezza stimata sulla determinazione indiretta della quantità y, risulta:

( )

^x_i

u²

( ) ∑ ( )

= ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

= ^m ∂

i

i i

c u x

x y f

u

1

2 2

(3.4)

Il valore uc(y) viene detto incertezza tipo composta associata alla grandezza y.

La legge di propagazione (3.4) è di grande utilità nella valutazione di incertezze su grandezze misurate per via indiretta. Tuttavia la sua applicazione pratica risulta in molti casi difficoltosa a causa della difficile valutazione delle derivate parziali della funzione f (i cosiddetti coefficienti di sensibilità

xi

f

∂

∂ ). Questo si verifica quando la funzione non è definita in forma chiusa o quando è costituita da un algoritmo di elaborazione del segnale complesso.

In questi casi occorre utilizzare metodi alternativi, come quelli sperimentali o simulazioni.

Inoltre, in presenza di correlazione fra le variabili di ingresso, la relazione (3.4) deve essere modificata con la presenza di opportuni termini aggiuntivi:

( ) ∑ ( ) ∑ ∑

⁻

( )

= =+

= ∂

∂

∂ + ∂

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

= ∂ ¹

1 1

1

2 2

, 2

m

i m

i j

j i j i m

i

i i

c u x x

x f x x f

x u y f

u (3.5)

In (3.5) il termine u(xi, xj) rappresenta la covarianza tra le variabili aleatorie xi e xj, ed è un’indicazione della loro mutua dipendenza. Se le due grandezze sono state ottenute sulla base di N misure, la covarianza tra le loro medie può essere stimata come:

( ) _{( )} (

ik i

) (

jk j

N

= k j

i x x x x

N x N

x

u − −

= −

∑

1 1

, 1

)

^(3.6)

Spesso, le dipendenza tra due variabili aleatorie è espressa in termini di coefficiente di correlazione:

( ) ( )

( )

i

( )

j j i j

i u x u x

x x x u

x

r = ⋅,

, (3.7)

Questo coefficiente è sempre compreso tra -1 e 1, ed è nullo se le due grandezze non sono tra loro correlate, mentre è unitario se sono totalmente correlate, cioè se ad ogni variazione di una di esse corrisponde una determinata variazione dell’altra.

E’ importante osservare che, mentre nella sommatoria della relazione (3.4) tutti i termini sono quadratici e quindi positivi, nella seconda sommatoria della (3.5) possono esistere termini sia positivi che negativi. Quindi la presenza di eventuali correlazioni tra le variabili di ingresso può comportare sia incrementi che riduzioni dell’incertezza composta.

La correlazione tra due grandezze può essere insita nel modello matematico utilizzato oppure

può essere causata dalle condizioni ambientali. Spesso la sua determinazione quantitativa risulta difficile, soprattutto per misure non ripetute, per le quali non si può applicare la (3.6).

Talvolta queste difficoltà inducono a trascurare questi contributi, introducendo però nella valutazione dell’incertezza approssimazioni non sempre accettabili.

Incertezza estesa

L’incertezza composta uc(y) viene universalmente accettata per esprimere l’incertezza di una misurazione. Normalmente, tuttavia, si richiede che la valutazione quantitativa dell’incertezza venga data come un intervallo U intorno al risultato della misurazione che comprenda

"ragionevoli" valori del misurando. Tale intervallo è denominato incertezza estesa, e si ottiene moltiplicando l’incertezza composta uc(y) per un fattore di copertura k:

) (3.6) ( y

u k U = ⋅ _c

Perciò diremo che il misurando Y sarà stimato nel modo migliore dal risultato y della misurazione, scrivendo: . Il fattore di copertura k viene scelto in base al livello di fiducia p che viene richiesto all’intervallo

U y Y = ±

)]

( )

[(y−U ÷ y+U , vedi Fig.3.1.

Il livello di fiducia p rappresenta la probabilità di copertura di questo intervallo, cioè la probabilità che il risultato dichiarato cada entro l’intervallo [(y−U)÷(y+U)].

Fig.3.1 - Incertezza composta u_c(y) ed estesa U; k=2.

Il legame fra k e p può essere stabilito se sono note le distribuzioni di probabilità che caratterizzano i risultati della misurazione. In pratica quindi non è facile determinare un legame rigoroso. Un metodo semplice, adeguato a molte situazioni sperimentali, ipotizza la distribuzione delle probabilità di tipo normale o gaussiano e considera un numero di gradi di libertà sufficientemente elevato. Il numero di gradi di libertà è costituito dal numero di termini di una somma (per esempio medie o varianze) meno il numero di vincoli su tali termini. Con queste ipotesi, frequenti nella pratica, si può ritenere che:

k = 2 corrisponda a un livello di fiducia di circa il 95%

k = 3 corrisponda a un livello di fiducia di circa il 99%

Dichiarazione dell’incertezza

Si consideri infine il modo formale di dichiarare l’incertezza.

Supponiamo di avere, per esempio, una massa per la quale si abbia un valore di 100,021 47 grammi e ipotizziamo una deviazione standard di 0,35 milligrammi.

Potremo scrivere il risultato della sua misurazione in uno dei modi seguenti:

• Utilizzando l’incertezza composta uc(y), scriveremo:

m = 100,021 47 (0,000 35) g.

• Utilizzando l’incertezza estesa U con fattore di copertura k = 2, scriveremo:

4 - L’incertezza nelle valutazioni di conformità

Le misurazioni vengono spesso effettuate per verificare che il risultato ricada entro un intervallo di valori considerato accettabile. È questo il caso della metrologia industriale, quando sia necessario verificare la conformità a specifiche di prodotti, sia nella fase di produzione che in quella di accettazione, e della metrologia legale, quando si debba verificare il rispetto di limiti imposti dalla normativa (p. es. il livello di inquinamento elettromagnetico).

Se fosse possibile effettuare misure prive di incertezze le regole decisionali per l’accettazione o il rifiuto di un prodotto o per la verifica del rispetto di limiti sarebbero molto semplici: se la misura ricade entro l’intervallo considerato accettabile, l’esito è positivo, se cade al di fuori di tale intervallo l’esito è negativo.

L’inevitabile presenza di incertezza associata al risultato della misura introduce però una situazione di indeterminazione in alcuni casi critici.

Se infatti il risultato della misurazione y si trova vicino a uno dei limiti imposti, è possibile che l’intervallo individuato dall’incertezza estesa (y±U) sia contenuto in parte in zona di accettazione e in parte in zona di reiezione.

Dal momento che, per la definizione stessa di incertezza, tutti i valori contenuti in questo intervallo rappresentano possibili valori veri della misura, non è possibile stabilire con certezza la conformità o meno del risultato.

Si definiscono pertanto tre fasce di valori, illustrate in Fig.4.1 con riferimento alla verifica di conformità dimensionale di un prodotto.

Fig.4.1 - Definizione delle zone di conformità, non conformità e incertezza.

La grandezza sotto verifica deve essere nominalmente compresa nella Zona di Specifica, individuata tra il Limite Inferiore LI e il Limite Superiore LS. Di fatto si hanno:

• Zona di conformità: è la zona di specifica ridotta dell’incertezza estesa (se la misura ricade in questa zona, l’esito del confronto è da considerarsi positivo);

• Zona di non conformità: è la zona al di fuori delle specifiche, comprensiva dell’incertezza estesa di misura (se la misura ricade in questa zona, l’esito del confronto è da considerarsi negativo);

• Zona di incertezza: è la zona attorno ai limiti delle specifiche, con ampiezza pari al doppio dell’incertezza estesa (se la misura ricade in questa zona, non è possibile stabilire con certezza la conformità o la non conformità).

Soltanto opportune indicazioni normative (come quelle previste nella ISO 14253, che riguarda le specifiche dimensionali dei prodotti) oppure accordi preventivi tra le parti possono definire le azione da intraprendere quando il risultato di una misura cada all’interno della zona di incertezza.

Il “punto di vista”

Consideriamo la valutazione di conformità su una particolare proprietà di un prodotto o di servizio. Supponiamo, per esempio, che si tratti di un prodotto o di un servizio in commercio e che la proprietà in oggetto sia disciplinata per legge. Supponiamo inoltre che la legge preveda, per la proprietà in oggetto, un valore limite massimo (VL) che non deve essere superato. Normalmente i limiti di legge vengono stabiliti senza incertezza, mentre l’incertezza deve essere considerata in sede di verifica di conformità.

Poiché il prodotto o servizio viene venduto, la verifica di conformità deve essere fatta innanzitutto dal produttore, in sede di fabbricazione del bene o servizio che viene posto in vendita. Inoltre, la verifica di conformità può anche essere richiesta dai consumatori, che si rivolgono alla magistratura per la tutela dei loro diritti.

1) Nel caso in cui dalla verifica di conformità scaturisce una sanzione o un’azione restrittiva (ritiro del prodotto dal mercato), chi compie tale verifica, tipicamente il magistrato tramite i suoi consulenti, ha necessità che il rischio di emettere un giudizio sbagliato sia particolarmente limitato. Pertanto, prima di procedere con le sanzioni o le azioni restrittive, il magistrato vorrà che la misura di quel parametro abbia un’elevata probabilità di essere oltre il limite VL ammesso dalla legge. Le conclusioni saranno prese in base alle misure e a ragionevoli ipotesi sul loro uso.

Supponiamo che le misure fatte abbiano una distribuzione di tipo normale con scarto tipo σ.

Supponiamo inoltre di stabilire un’incertezza U = 2σ: ciò significa avere una probabilità di oltre il 95% che il paramento misurato sia entro questo intervallo. Le code della gaussiana racchiudono dunque una probabilità di 2,5% ciascuna.

Un modo di procedere potrebbe essere quello di accettare tutti i risultati di misura che arrivano fino al valore (VL + U), prima di applicare sanzioni o azioni restrittive (vedi la Fig.4.2B). Con questo criterio, la probabilità di sanzionare avendo valori della vriabile sotto il limite VL è minore del 2,5%:

(4.1)

% 5 , 2 ) ( ]

Prob[X <VL =

∫

^VL−∞p x dx<

Fig.4.2 - Il punto di vista nella verifica di conformità:

A) per immettere nel mercato, B) per sanzionre.

2) L’altro punto di vista (Fig.4.2A) è quello del produttore del bene o servizio. Il produttore deve immettere nel mercato beni o servizi che abbiamo una elevata probabilità di rispettare i limiti di legge. Se assumiamo le stesse ipotesi di prima (distribuzione normale delle misure e

di misura che arrivano fino al valore (VL - U), prima di prendere provvedimenti sul controllo di produzione. In tal modo avremo una probabilità non più grande del 2,5% di superare i limiti di legge (Fig.4.2A):

(4.2)

% 5 , 2 ) ( ]

Prob[^X >^VL =

∫

^∞VL^{p x dx}<

5 - Esempi di valutazione delle incertezze

Propagazione dell’incertezza

Valutare, secondo la Guida GUM, l’incertezza assoluta della grandezza y, definita per via indiretta attraverso la funzione y = xa(xb - xc), conoscendo:

• i valori delle grandezze direttamente misurate (xa = 3,49 ; xb = 2,00 ; xc = 0,75) e

• le rispettive incertezze assolute (ua = 0,05; ub = 0,02; uc = 0,01).

Si supponga che le tre grandezze xa, xb e xc siano indipendenti tra loro.

Soluzione

I pesi delle incertezze parziali sono:

49 , 3 49

, 3 25

, 1 75 , 0 00 ,

2 =− =−

∂

= ∂

∂ =

= ∂

−

=

−

∂ =

∂

a c a

b c

b a

x x x y

x x y

x x y

L’incertezza composta risulta:

( ) ( ) ( )

10 , 0 010 , 0 010

, 0 00122 , 0 00487 , 0 00390 , 0

01 , 0 49 , 3 02

, 0 49 , 3 05 , 0 25 ,

1 ^{2 2 2}

2 2 2

2 2

2 2

=

=

⇒

= +

+

=

=

⋅

− +

⋅ +

⋅

=

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

= ∂

y c

c b

b a

a y

u x u

u y x u y

x u y

Incertezze di prodotti e rapporti

Si consideri un carico resistivo R alimentato da una tensione continua V e attraversato da una corrente continua I.

Si supponga di misurare separatamente le due grandezze V e I, ottenendo i seguenti risultati, con le incertezze (espresse in termini di deviazione standard) ad essi associate:

Tensione V = 220,6 V; deviazione standard: 0,6 V Corrente I = 13,5 A; deviazione standard: 0,1 A Determinare:

1) i valori della potenza P e della resistenza R;

2) la loro incertezza composta (deviazione standard) ed incertezza estesa (utilizzando un fattore di copertura k = 3);

3) i valori relativi delle incertezze estese rispetto ai valori di potenza e di resistenza misurati.

Commentare il risultato.

Soluzione

1) La potenza e la resistenza sono:

Ω

=

=

=

⋅

=

⋅

=

⋅

= 16,34

5 , 13

6 , W 220

10 978 , 2 5 , 13 6 ,

220 ³

I R V I

V P

2) L’incertezza sulla potenza P è:

W 5 , 70 3

W 5 , 23 64 , 486 61 , 65 1

, 6 0 , 6 220 , 0 5 , 13

3 ,

2 2 2

2

2 2 2 2 2 2 2

2

=

⋅

=

= +

=

⋅ +

⋅

=

=

⋅ +

⋅

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

= ∂

P P

I V

I V

P

u u

u V u I I u

u P V u P

L’incertezza sulla resistenza R è:

( )

Ω

=

⋅

=

Ω

=

⋅ +

⋅

=

⎟⎟ ⋅

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ +⎛

⎟ ⋅

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

= ∂

−

−

387 , 0 3

129 , 0 10 66 , 14 10 98 , 1 ,1) 0 5 (

, 13

6 , 6 220

, 5 0 , 13

1

1

3 ,

3 3

2 2

2 2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

R R

I V

I V

R

u u

I u u V

u I I u R V u R

3) Le incertezze relative sono invece:

% 37 , 34 2 , 16

387 , 1000

% 37 , 10 2 978 , 2

5 , 100 70

,%

3 ,

,% 3 3 ,

=

=

⋅ =

=

R P

u u

Si osserva che l’incertezza relativa sulla potenza e sulla resistenza è la stessa.

Ciò è dovuto al fatto che la potenza P e la resistenza R sono ottenute dalle stesse grandezze V ed I, in un caso a prodotto e nell’altro a rapporto: questo fatto comporta l’uguaglianza degli errori relativi.

Medie statistiche

Per misurare una corrente continua I si applica la legge di Ohm, misurando la tensione V ai terminali di una resistenza di shunt R di valore noto, in cui la corrente I viene fatta passare.

Il valore della resistenza è R = 100 mΩ, con incertezza uR = 250 μΩ, assegnata dal costruttore in termini di scarto tipo.

Per misurare la tensione V si effettuano cinque osservazioni, ottenendo i seguenti valori vk: 2,026 V; 2,034 V; 2,030 V; 2,022 V; 2,035 V.

Si determini:

1) La media delle misure di tensione e l’incertezza uV ad essa associata.

2) Il valore della stima della corrente, e l’incertezza tipo composta u_I di tale risultato.

Soluzione

1) Il valore medio della tensione:

V 029 , 5 2

1 ⁵

1

=

=

∑

^k

= k

u v

La deviazione standard:

V 10 459 , ) 5 1 (

5 ) 1

( ^{2 3}

5

1

⋅ −

=

− −

=

∑

^{v v}

v

s _k

= k k

Lo scarto tipo sperimentale della media:

V 10 441 , 2 ) ( V

10 441 , 5 2

) ) (

( = s v = ⋅ ⁻³ ⇒ u =s v = ⋅ ⁻³

v

s ^k _V

2) La stima della corrente:

A 29 , 10 20

100 029 , 2

3 =

= ⋅

= ₋

R I V

L’incertezza sulla corrente:

( )

A 10 63 , 5 10 573 , 2 10 958 , 5

) 10 10 (250

100 029 , ) 2

10 ,441 2 10 (

100 1

1

2 3

4

2 6 3 2

2 2

3 2

3

2 2

2 2

2 2

2 2

2

−

−

−

−

−

−

−

⋅

=

⋅ +

⋅

=

=

⋅

⎟ ⋅

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ + ⋅

⋅

⎟ ⋅

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

= ⋅

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

= ∂ _{V R V R}

I u

R u V

u R R u I

V u I

Misure per differenza

Si vuole misurare la potenza perduta in un dispositivo di conversione dell’energia eseguendo la differenza tra la potenza in ingresso P1 e quella in uscita P2: Pp = P1 - P2.

Per misurare le due potenze si impiegano due wattmetri digitali dello stesso tipo, aventi le seguenti specifiche di accuratezza:

• incertezza percentuale riferita al fondo scala FS: i1% = 0,1 %;

• incertezza percentuale riferita al valore letto: i2% = 0,2 %.

I wattmetri sono predisposti sulla portata FS = 2 kW e le letture risultano:

P1 = 1540 W e P2 = 1512 W.

Determinare:

1) l’incertezza assoluta e relativa nelle misure di P1 e P2;

2) la stima della potenza perduta, e l’incertezza composta di tale risultato (considerate le misure delle potenze P1 e P2 tra loro indipendenti);

3) la quota di potenza persa sulla potenza in transito;

4) l’incertezza relativa di Pp

Soluzione

1) L’incertezza assoluta sulle potenze P1 e P2:

( ) ( )

( ) (

0,1 2000 0,2 1512

)

5,02W 100

% 1 100 %

1

W 08 , 5 1540 2 , 0 2000 1 , 100 0

% 1 100 %

1

2 2 1

2

1 2 1

1

=

⋅ +

⋅

=

⋅ +

⋅

=

=

⋅ +

⋅

=

⋅ +

⋅

=

P i P i u

P i P i u

FS P

FS P

L’incertezza relativa sulle potenze P1 e P2:

% 33 , 1512 0

02 , 1005 100

%

% 33 , 1540 0

08 , 100 5 100

%

2 2 2

1 1 1

=

=

=

=

=

=

P u u

P u u

P P

P P

2) La potenza persa:

W 28 1512

2 1540

1− = − =

= P P P_p

3) La quota di potenza persa sulla potenza in transito:

% 8 , 1512 1

28 1540

28

2 1

=

=

≅

= P

P P

P_{p p}

4) L’incertezza sulla potenza persa:

( ) ( )

% 5 , 28 25

14 , 1007 100

W 14 , 7 2 , 25 8 , 25

1 1

%

2 2 2 2

1 2 2

2 2

2 2

1 1

2

=

=

=

= +

=

=

− +

⋅

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

= ∂

p Pp Pp

P P

P p P

p Pp

P u u

u u

P u u P

P u P