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Analisi a più variabili: Integrazione sulle curve e superfici, forme differenziali

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Academic year: 2021

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(1)

1

Analisi a più variabili:

Integrazione sulle curve e superfici, forme differenziali

(2)

2

Definizione (Parametrizzazione di T):

𝑇 ⊆ ℝ

𝑛

, una sua parametrizzazione è una coppia 𝜑, ∆ con ∆= 𝑎, 𝑏 intervallo di ℝ e 𝜑: ∆→ ℝ

𝑛

continua

| 𝜑 ∆ = 𝑇

Possiamo indicarla con la notazione 𝛾 𝜑, ∆, 𝑇

Definizione (Parametrizzazione di classe 𝑪

𝒌

):

𝛾 ∈ 𝐶

𝑘

↔ 𝜑 ∈ 𝐶

𝑘

Se ∆ è chiuso allora 𝛾 ∈ 𝐶

𝑘

∆ ↔ esiste un intervallo aperto 𝐼 ⊇ ∆ |𝛾 𝜑 , 𝐼, 𝑇 ∈ 𝐶

𝑘

Definizione (Parametrizzazione regolare):

𝛾 𝜑, ∆, 𝑇 ∈ 𝐶

1

è detta regolare se 𝜑

𝑡 ≠ 0 in ℝ

𝑛

∀ 𝑡 ∈ ∆

Se 𝜑 è 𝐶

1

a tratti (Ma globalmente 𝐶

0

) deve essere regolare su ogni tratto di una partizione.

Definizione (Parametrizzazione semplice):

Una parametrizzazione 𝛾 𝜑, ∆, 𝑇 è semplice se 𝜑: ∆→ ℝ

𝑛

è iniettiva.

Osservazione:

Se ∆ è chiusa dobbiamo dimostrare che valgono le proprietà per un 𝐼 ⊇ ∆ aperto e 𝜑 estensione.

Definizione (Parametrizzazioni equivalenti):

Date due parametrizzazioni:

𝛾

0

𝜑

0

, ∆

0

, 𝑇 𝛾

1

𝜑

1

, ∆

1

, 𝑇

Tali che Imm 𝜑

0

= Imm 𝜑

1

, allora:

𝜑 è equivalente a 𝜑

↔ ∃𝑋: ∆

0

→ ∆

1

diffeomorfismo, di classe 𝐶

1

e invertibile, con 𝑋

𝑡 ≠ 0 ∀𝑡 ∈ ∆

0

tale che 𝜑

0

𝑡 = 𝜑

1

𝑋 𝑡

Definizione (Curva orientata):

Fissata l'immagine 𝑇 di una parametrizzazione è la classe di equivalenza delle parametrizzazioni su quell'immagine.

La notazione per indicare una curva è mediante una qualsiasi delle sue parametrizzazioni 𝜑 equivalenti.

Definizione (Orientamento):

Se due parametrizzazioni sono equivalenti e 𝑋

è positiva si dice che l'orientamento è coincidente.

Se due parametrizzazioni sono equivalenti e 𝑋

è negativa si dice che l'orientamento è opposto.

Quindi abbiamo due classi di equivalenza distinte.

Curva regolare e curva semplice seguono dalla definizione di parametrizzazione regolare e

semplice.

(3)

3 Lemma di equivalenza (ND pagina 7):

Dati due intervalli chiusi ∆

0

; ∆

1

, se:

𝜑

0

: ∆

0

→ 𝑇 ⊆ ℝ

𝑛

regolare e semplice e 𝜑

1

: ∆

1

→ 𝑇 ⊆ ℝ

𝑛

funzione di classe 𝐶

1

allora sono equivalenti:

𝜑

1

𝑠 ≠ 0 ∀ 𝑠 ∈ ∆

1

𝛾

0

𝜑

0

, ∆

0

, 𝑇 ~𝛾

1

𝜑

1

, ∆

1

, 𝑇

Lemma (ND pagina 8):

𝜑, 𝑎, 𝑏 , 𝑇 ~ 𝜑

0

, 0,1 , 𝑇

Inoltre le due parametrizzazioni della curva hanno la stessa orientazione.

Somma fra due cammini (Curve orientate):

Date due curve 𝐶

1

; 𝐶

2

con estremi coincidenti la somma è la curva riparametrizzata dal primo punto della prima al secondo della seconda. Si indica con 𝐶

1

+ 𝐶

2

Osservazione:

Data una curva 𝐶 si può trovare sempre un'altra curva che sommata alla prima dia una curva chiusa, si indica con −𝐶

Curve rettificabili:

Data una partizione dell'intervallo possiamo definire la lunghezza di un elemento della partizione e dunque la lunghezza della poligonale è:

𝜑 𝑡

𝑖

, 𝜑 𝑡

𝑖−1

𝑛𝑖=1

Definiamo perciò la lunghezza della curva come:

𝐿 𝜑 = sup

Partizioni 𝑛𝑖=1

𝜑 𝑡

𝑖

, 𝜑 𝑡

𝑖−1

Se questo valore è finito diciamo che la curva è rettificabile.

Osservazione:

La lunghezza non dipende dalla parametrizzazione La lunghezza non dipende dall'orientazione 𝐿 𝐶

1

+ 𝐶

2

= 𝐿 𝐶

1

+ 𝐿 𝐶

2

Formula pratica per curve 𝐶

1

∫ 𝜑

𝑎𝑏

𝑡 𝑑𝑡

(4)

4

Integrale curvilineo di 𝟏

𝒂

specie (Integrale di linea):

𝛶 = 𝜑: 𝑎, 𝑏 = ∆→ ℝ

𝑛

Curva ; 𝑓: ℝ

𝑛

→ ℝ continua, 𝜑 ∈ 𝐶

1

, l'integrale curvilineo di prima specie è definito come:

∫ 𝑓

𝛶

≔ ∫ 𝑓 𝜑 𝑡 𝜑

𝑎𝑏

𝑡 𝑑𝑡

Proprietà:

𝛶

1

, 𝛶

2

∈ 𝐶

1

con 𝜑

1

𝑏

1

= 𝜑

2

𝑎

2

→ ∫

𝛶

𝑓

1+𝛶2

= ∫ 𝑓

𝛶

1

+ ∫ 𝑓

𝛶

2

𝛶 ∈ 𝐶

1

→ ∫ 𝑓

−𝛶

= ∫ 𝑓

𝛶

Osservazione:

L'integrale di 1

𝑎

specie non dipende dall'orientazione.

Integrale curvilineo di 𝟐

𝒂

specie:

𝛶 = 𝜑: 𝑎, 𝑏 = ∆→ ℝ

𝑛

; 𝐹: ℝ

𝑛

→ ℝ continua, 𝜑 ∈ 𝐶

1

, l'integrale curvilineo di seconda specie è definito come:

∫ 𝐹

𝛶

≔ ∫ 𝐹 𝑡 ∙ 𝑑𝑡

𝛶

= ∫ 𝐹 𝜑 𝑡 , 𝜑

𝑎𝑏

𝑡 𝑑𝑡 Proprietà:

𝛶

1

, 𝛶

2

∈ 𝐶

1

con 𝜑

1

𝑏

1

= 𝜑

2

𝑎

2

→ ∫

𝛶

𝐹

1+𝛶2

= ∫ 𝐹

𝛶

1

+ ∫ 𝐹

𝛶

2

𝛶 ∈ 𝐶

1

→ ∫ 𝐹

−𝛶

= − ∫ 𝐹

𝛶

Osservazione:

Dipende dall'orientazione.

(5)

5 Forme differenziali:

Dato lo spazio ℝ

𝑛

dotato della base canonica 𝑒

1

, … , 𝑒

𝑛

, definiamo il funzionale:

𝑑𝑥

𝑗

≔ 𝑒

𝑗

con 𝑑𝑥

𝑗

𝑒

𝑖

= 𝛿

𝑗𝑖

Questi formano una base dello spazio duale, generano dunque tutti i funzionali.

Definizione (Forma differenziali di grado 1):

E' una applicazione 𝑥 → 𝜔 𝑥 definita su di un aperto 𝑈 ⊆ ℝ

𝑛

a valori nel duale ℝ

𝑛

𝜔: ℝ

𝑛

→ ℝ lineare, 𝜔 è una forma differenziali di grado 1 in ℝ

𝑛

ha una rappresentazione locale:

𝜔 =

𝑛𝑗 =1

𝜔

𝑗

𝑥 𝑑𝑥

𝑗

con 𝜔

𝑗

𝑥 ∈ 𝐶 𝑢

𝑎𝑝𝑒𝑟𝑡𝑜

Integrale di una forma differenziale:

𝛶 = 𝜑: 𝑎, 𝑏 = ∆→ ℝ

𝑛

; 𝜑 ∈ 𝐶

1

, l'integrale curvilineo è definito come:

∫ 𝜔

𝛶

𝑛𝑗 =1

∫ 𝜔

𝛶 𝑗

𝑑𝑥

𝑗

=

𝑛𝑗 =1

∫ 𝜔

𝑎𝑏 𝑗

𝜑 𝑡 𝜑

𝑗

𝑡 𝑑𝑡 Proprietà:

𝛶

1

, 𝛶

2

∈ 𝐶

1

con 𝜑

1

𝑏

1

= 𝜑

2

𝑎

2

→ ∫

𝛶

𝜔

1+𝛶2

= ∫ 𝜔

𝛶

1

+ ∫ 𝜔

𝛶

2

𝛶 ∈ 𝐶

1

→ ∫ 𝜔

−𝛶

= − ∫ 𝜔

𝛶

Osservazione:

Dipende dall'orientazione.

Definizione (Forma esatta):

Se ∃ 𝐹 | 𝜔 = ∇𝐹 (Equivalente 𝜔

𝑗

= 𝜕

𝑗

𝐹) la forma si dice esatta.

Proprietà (𝐃𝟏 𝟑 → 𝟏 Lemma di Poincarè ; 𝟏 → 𝟐 ; 4.22):

Se 𝜔 è una 1-forma di classe 𝐶

𝑛

sono equivalenti:

1) 𝜔 è esatta.

2) ∀ curva chiusa 𝛶 di classe 𝐶

1

(o 𝐶

1

a tratti) vale 𝜔

𝛶

3) ∀ 𝛶

1

, 𝛶

2

con 𝜑

1

𝑎 = 𝜑

2

𝑎 ; 𝜑

1

𝑏 = 𝜑

2

𝑏 risulta:

∫ 𝜔

𝛶

1

= ∫ 𝜔

𝛶

2

(Il cammino dipende solo dagli estremi)

Definizione (Forma chiusa):

Sia 𝜔 =

𝑛𝑗 =1

𝜔

𝑗

𝑥 𝑑𝑥

𝑗

∈ 𝐶

1

in un aperto 𝑈 ⊆ ℝ

𝑛

𝜔 è una forma chiusa se 𝜕𝑥

𝑘

𝜔

𝑗

𝑥 = 𝜕𝑥

𝑗

𝜔

𝑘

𝑥

Osservazioni:

Forma esatta → Forma chiusa

Una forma chiusa su di un semplicemente connesso è esatta.

(6)

6

Integrale di funzioni complesse:

Data una funzione 𝑓: 𝑈 → ℂ si dice olomorfa se è differenziabile in senso complesso in ogni punto 𝑧

0

di un aperto 𝑈 di ℂ.

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑖𝑣 𝑥, 𝑦 olomorfa allora (Equazioni di Cauchy Riemann):

∃ le derivate parziali.

Vale

𝜕𝑢

𝜕𝑥

=

𝜕𝑣

𝜕𝑦

;

𝜕𝑢

𝜕𝑦

= −

𝜕𝑣

𝜕𝑥

Esempi:

𝑓 𝑧 = cos 𝑧 𝑓 𝑧 = sin 𝑧 𝑓 𝑧 = pol 𝑧 𝑓 𝑧 = 𝑒

𝑧

Composizione di olomorfe è olomorfa.

(7)

7 Integrale di superficie:

Definizione (Superficie):

E' uno spazio T2 tale che ∀𝑥

0

∈ esiste 𝑉 ⊆ aperto tale che 𝑥

0

∈ 𝑉 ed esiste un omeomorfismo 𝜑: 𝑈 ⊆ ℝ

2

→ 𝑉 ; 𝜑

−1

: 𝑉 → 𝑈

Definizione (Carta locale o parametrizzazione di ):

E' una coppia 𝜑, 𝑈 con 𝜑: 𝑈 → continua.

La notazione con cui si indica è 𝜎 𝜑, 𝑈

Definizione (Parametrizzazione di classe 𝑪

𝒌

):

Se 𝜑 ∈ 𝐶

𝑘

𝑈

Definizione (Parametrizzazione regolare di ⊆ ℝ

𝟑

):

Se è di classe 𝐶

1

e 𝜑

𝑢 ha rango 2 per ogni 𝑢 ∈ 𝑈

Definizione (Parametrizzazioni equivalenti):

𝜎

0

𝜑

0

, 𝑈

0

e 𝜎

1

𝜑

1

, 𝑈

1

sono equivalenti 𝜎

0

~𝜎

1

se esiste un diffeomorfismo:

𝑋: 𝜑

0−1

𝑉

01

→ 𝜑

1−1

𝑉

01

Con 𝑉

01

= 𝜑

0

𝑈

0

∩ 𝜑

1

𝑈

1

≠ ∅ Se rispettano:

𝜑

0

𝑢 = 𝜑

1

𝑋 𝑢 ; ∀ 𝑢 ∈ 𝜑

0−1

𝑉

01

det 𝑋

𝑢 ≠ 0 ; ∀ 𝑢 ∈ 𝜑

0−1

𝑉

01

Definizione (Orientazione):

Se il Jacobiano è positivo hanno la stessa orientazione.

Se il Jacobiano è negativo hanno orientazione opposta.

Definizione (Superficie regolare):

Sia ⊆ ℝ

𝒏

; 𝑛 ≥ 3 ed 𝐹 = 𝜎

𝑘

𝜑

𝑘

, 𝑈

𝑘

, ∩ 𝑊

𝑘

, 𝑘 = 1, … , ∞ una famiglia di parametrizzazioni (Atlante) tali che:

1) 𝑈

𝑘

, 𝑊

𝑘

sono aperti 𝜑

𝑘

: 𝑈

𝑘

→ 𝑊

𝑘

∩ è una funzione 𝐶

1

𝑈

𝑘

tale che 𝜑

𝑘

𝑢 ha rango 2 per ogni 𝑢 ∈ 𝑈

𝑘

2) 𝑊

𝑘

⊇ 𝐵 𝑥

𝑘

, 𝑟

𝑘

dove 𝐵 𝑥

𝑘

, 𝑟

𝑘

= 𝑥 ∈ ℝ

𝑛

; 𝑥 − 𝑥

𝑘

< 𝑟

𝑘

e ⊆ 𝐵 𝑥

𝑘 𝑘

, 𝑟

𝑘

cioè sono un ricoprimento di

3) 𝑈

𝑘

sono intervalli aperti in ℝ

2

4) ∀ 𝑖 ≠ 𝑗 tale che ∩ 𝑊

𝑘

∩ 𝑊

𝑗

≠ ∅ esiste un diffeomorfismo:

𝑋

𝑗𝑘

: 𝜑

𝑗−1

∩ 𝑊

𝑘

∩ 𝑊

𝑗

→ 𝜑

𝑘−1

∩ 𝑊

𝑘

∩ 𝑊

𝑗

tale che:

𝜑

𝑗

𝑢

𝑗

= 𝜑

𝑘

𝑋

𝑗𝑘

𝑢

𝑗

; ∀ 𝑢

𝑗

∈ 𝜑

𝑗−1

𝑊

𝑗

∩ 𝑊

𝑘

Allora , 𝐹 si chiama superficie regolare.

Osservazione:

Se è compatto allora l'atlante può essere scelto finito.

(8)

8

Aggiungere due parole pagina 64, partizione dell'unità e superfici orientabili, superfici con bordo,

superfici con bordo orientabili

(9)

9 Integrale di superficie di 𝟏

𝒂

specie:

Date:

Una superficie con parametrizzazione 𝜑: 𝑈 ⊆ ℝ

2

→ ℝ

𝑛

Una funzione 𝑓: ℝ

𝑛

→ ℝ

∫ 𝑓𝑑𝑠 = ∬ 𝑓 𝜑 𝑢, 𝑣 𝜕

𝑈 𝑢

𝜑 𝑢, 𝑣 × 𝜕

𝑣

𝜑 𝑢, 𝑣 𝑑𝑢𝑑𝑣

Osservazioni:

La seconda parte è l'area, infatti:

Area 𝑈 = ∬ 𝑑𝑆

𝑈

= ∬ 𝜕

𝑈 𝑢

𝜑 𝑢, 𝑣 × 𝜕

𝑣

𝜑 𝑢, 𝑣 𝑑𝑢𝑑𝑣

Non dipende dall'orientazione.

Osservazione (Prodotto vettore):

𝑎 × 𝑏 = det

𝑖 𝑗 𝑘

𝑎

1

𝑎

2

𝑎

3

𝑏

1

𝑏

2

𝑏

3

=

𝑎

2

𝑏

3

− 𝑎

3

𝑏

2

𝑎

3

𝑏

1

− 𝑎

1

𝑏

3

𝑎

1

𝑏

2

− 𝑎

2

𝑏

1

Lemma (ND ; 3.76):

Date due parametrizzazioni 𝜑, 𝑈

1

e 𝜗, 𝑉

2

equivalenti e tali che 𝜑 𝑈 = 𝜗 𝑉 allora esiste un diffeomorfismo 𝑋: 𝑈 → 𝑉 con det 𝑋

𝑢 ≠ 0 , 𝑢 ∈ 𝑈 ; 𝜑 𝑢 = 𝜗 𝑋 𝑢

Inoltre se 𝑓 è una funzione continua allora ∫

𝑓𝑑𝑆

1

= ∫

𝑓𝑑𝑆

2

Osservazione:

L'integrale di superficie di 1

𝑎

specie non dipende dalla parametrizzazione e dall'orientazione.

(10)

10

Forme differenziali di grado 2 nello spazio euclideo:

Definizione (Forme bilineari):

E' una mappa 𝜙: ℝ

𝑛

× ℝ

𝑛

→ ℝ che sia lineare su entrambe le componenti.

Definizione (Forme antisimmetriche):

𝜙 𝑣, 𝑤 = −𝜙 𝑤, 𝑣

Indichiamo con 𝐴

2

𝑛

lo spazio vettoriale delle forme bilineari antisimmetriche di ℝ

𝑛

Ogni forma bilineare antisimmetrica può essere rappresentata come:

𝜙 𝑢, 𝑣 = 𝑢, 𝐴𝑣 ; 𝐴

𝑡

= −𝐴 Lemma (ND ; 4.79):

Una forma è antisimmetrica se e solo se 𝜙 𝑣, 𝑣 = 0 ∀𝑣 ∈ ℝ

𝑛

Lemma (ND):

Se 𝜙 è una forma bilineare antisimmetrica, 𝑣

1

, 𝑣

2

due vettori in ℝ

𝑛

allora abbiamo la relazione:

𝑏

𝑘1,𝑘2

𝜙 𝑣

𝑘1

, 𝑣

𝑘2

2𝑘1,𝑘2=1

= det 𝐵 𝜙 𝑣

1

, 𝑣

2

Per ogni matrice 𝐵 = 𝑏

11

𝑏

12

𝑏

21

𝑏

22

Osservazione (Scomposizione):

Ogni matrice antisimmetrica si scrive come:

𝐴 =

0 𝑎

12

𝑎

13

−𝑎

12

0 𝑎

23

−𝑎

13

−𝑎

23

0

Dunque ammette una scomposizione della forma:

𝐴 = 𝑎

12

𝐽

12

+ 𝑎

13

𝐽

13

+ 𝑎

23

𝐽

23

Con:

𝐽

23

=

0 0 0

0 0 1

0 −1 0

; 𝐽

13

=

0 0 1

0 0 0

−1 0 0

; 𝐽

12

=

0 1 0

−1 0 0

0 0 0

(11)

11 Definizione (𝒅𝒙

𝟏

⋀𝒅𝒙

𝟐

):

Sia 𝑑𝑥

1

⋀𝑑𝑥

2

∈ 𝐴

2

3

la forma bilineare antisimmetrica che corrisponde a 𝐽

12

.

Se 𝑒

1

, 𝑒

2

, 𝑒

3

è una base canonica di ℝ

3

e 𝑣 = 𝑣

1

𝑒

1

+ 𝑣

2

𝑒

2

+ 𝑣

3

𝑒

3

; 𝑤 = 𝑤

1

𝑒

1

+ 𝑤

2

𝑒

2

+ 𝑤

3

𝑒

3

sono due vettori allora:

𝑑𝑥

1

⋀𝑑𝑥

2

𝑣, 𝑤 = 𝑣, 𝐽

12

𝑤

Definizione (𝒅𝒙

𝒌𝟏

⋀𝒅𝒙

𝒌𝟐

):

Questa base delle forme bilineari antisimmetriche in ℝ

𝑛

è definita come:

𝑑𝑥

𝑘1

⋀𝑑𝑥

𝑘2

∈ 𝐴

2

𝑛

; 𝑛 ≥ 3 con:

𝑑𝑥

𝑘1

⋀𝑑𝑥

𝑘2

𝑒

𝑗1

, 𝑒

𝑗2

=

0 𝑠𝑒 𝑗

1

, 𝑗

2

≠ 𝑘

1

, 𝑘

2

1 𝑠𝑒 𝑗

1

= 𝑘

1

; 𝑗

2

= 𝑘

2

−1 𝑠𝑒 𝑗

1

= 𝑘

2

; 𝑗

2

= 𝑘

1

Osservazioni:

𝑑𝑥

𝑘1

⋀𝑑𝑥

𝑘2

= −𝑑𝑥

𝑘2

⋀𝑑𝑥

𝑘1

𝑑𝑥

𝑘

⋀𝑑𝑥

𝑘

= 0

Ogni forma bilineare si può scrivere come:

𝜙 = 𝑑𝑥

𝑘

⋀𝑑𝑥

𝑗

Definizione (2-forma):

Una 2-forma è un'applicazione 𝑥 → 𝑎 𝑥 definita su di un aperto 𝑈 ⊆ ℝ

𝑛

che ad ogni 𝑥 ∈ 𝑈 associa una forma bilineare antisimmetrica 𝑎 𝑥 = 𝑎

𝑗𝑘

𝑑𝑥

𝑗

⋀𝑑𝑥

𝑘

Osservazione (Differenziale di una 1-forma):

Data la 1-forma 𝜔 = 𝜔

𝑗

𝑥 𝑑𝑥

𝑗

Siccome 𝑑𝜔 ≔ 𝑑𝜔

𝑗

𝑥 ⋀𝑑𝑥

𝑗

e 𝑑𝜔

𝑗

= 𝜕

𝑥𝑘

𝜔

𝑗

𝑥 𝑑𝑥

𝑘

otteniamo:

𝑑𝜔 = 𝜕

𝑥𝑘

𝜔

𝑗

𝑥 − 𝜕

𝑥𝑗

𝜔

𝑘

𝑥 𝑑𝑥

𝑘

⋀𝑑𝑥

𝑗

Osservazione (Forma esatta):

La 2-forma 𝑎 si dice esatta se esiste una 1-forma 𝜔 tale che 𝑎 = 𝑑𝜔

Pull Back delle forme differenziali:

ROBA ROVA ROBA Lemma (ND ; 4.84):

Lemma (ND ; 4.85):

Lemma (ND ; 4.86):

(12)

12

Integrali delle forme differenziali di grado 2 sulle superfici:

ROBA

Definizione (Integrale di superficie di 𝜔):

Osservazione:

ROBA

Dipende dall'orientazione.

MANCA UN MUCCHIO DI ROBA

(13)

13 Formula di Stokes - Green:

Lemma (D ; 4.93):

Se il punto 𝑥 ∈ ° , 𝑊 intorno di 𝑥 con parametrizzazione 𝜑: 𝑈 ⊆ ℝ

2

→ 𝑊 ∩ ed 𝑎 una forma con coefficienti con supporto in 𝑊 allora:

∩𝑊

𝑑𝑎 = 0

Lemma (D ; 4.94):

Se il punto 𝑥 ∈ 𝜕 , 𝑊 intorno di 𝑥 con parametrizzazione 𝜑: 𝑈 ⊆ ℝ

2

→ 𝑊 ∩ ed 𝑎 una forma con coefficienti con supporto in 𝑊 allora:

∩𝑊

𝑑𝑎 = ∫

𝜕𝑊

𝑎

Formula di Stokes - Green (D ; 4.96):

Se = ° ∪ 𝜕 ⊆ ℝ

𝑛

; 𝑛 ≥ 3 è una superficie regolare orientabile con bordo 𝜕 e 𝑎 𝑥 è una 1-forma allora:

∫ 𝑑𝑎 = ∫ 𝑎

𝜕

(14)

14

Formula di Stokes - Gauss in ℝ

𝟑

:

Sia 𝑈 ⊆ ℝ

3

un aperto connesso e limitato con frontiera regolare di classe 𝐶

1

tale che 𝜕𝑈 =

1

∪ … ∪

𝑛

unione disgiunta di superfici regolari e connesse.

Data una 2-forma 𝜔 = 𝜔

1

𝑥 𝑑𝑥

2

⋀𝑑𝑥

3

− 𝜔

2

𝑥 𝑑𝑥

1

⋀𝑑𝑥

3

+ 𝜔

3

𝑥 𝑑𝑥

1

⋀𝑑𝑥

2

sappiamo che il differenziale di 𝜔 è:

𝑑𝜔 =

2𝑗 =1

𝜕

𝑥𝑗

𝜔

𝑗

𝑥 𝑑𝑥

1

⋀𝑑𝑥

2

⋀𝑑𝑥

3

Formula di Stokes nello spazio (D?????):

Se 𝑈 ⊆

𝑎𝑝𝑒𝑟𝑡𝑜

3

e 𝜕𝑈 =

𝑁𝑗 =1

𝑗

superfici regolari, compatte e connesse allora:

∫ 𝑑𝜔

𝑈

= ∫ 𝜔

𝜕𝑈

(15)

15 Formula di Gauss - Green:

Sia 𝑈 ⊆ ℝ

3

un aperto connesso e limitato con frontiera regolare di classe 𝐶

1

tale che 𝜕𝑈 =

1

∪ … ∪

𝑛

unione disgiunta di superfici regolari e connesse.

Dato un campo vettoriale:

𝐴 𝑥 : 𝑈 → ℝ

3

; 𝐴 𝑥 = 𝐴

1

𝑥 , 𝐴

2

𝑥 , 𝐴

3

𝑥 Siccome Digitare l'equazione qui.

ROBA ROBA ROBA Lemma (D ; 4.114):

Formula di Gauss- Green (D ; 4.115):

Se 𝑈 ⊆

𝑎𝑝𝑒𝑟𝑡𝑜

3

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