1
Analisi a più variabili:
Integrazione sulle curve e superfici, forme differenziali
2
Definizione (Parametrizzazione di T):
𝑇 ⊆ ℝ
𝑛, una sua parametrizzazione è una coppia 𝜑, ∆ con ∆= 𝑎, 𝑏 intervallo di ℝ e 𝜑: ∆→ ℝ
𝑛continua
| 𝜑 ∆ = 𝑇
Possiamo indicarla con la notazione 𝛾 𝜑, ∆, 𝑇
Definizione (Parametrizzazione di classe 𝑪
𝒌):
𝛾 ∈ 𝐶
𝑘↔ 𝜑 ∈ 𝐶
𝑘∆
Se ∆ è chiuso allora 𝛾 ∈ 𝐶
𝑘∆ ↔ esiste un intervallo aperto 𝐼 ⊇ ∆ |𝛾 𝜑 , 𝐼, 𝑇 ∈ 𝐶
𝑘Definizione (Parametrizzazione regolare):
𝛾 𝜑, ∆, 𝑇 ∈ 𝐶
1è detta regolare se 𝜑
′𝑡 ≠ 0 in ℝ
𝑛∀ 𝑡 ∈ ∆
Se 𝜑 è 𝐶
1a tratti (Ma globalmente 𝐶
0) deve essere regolare su ogni tratto di una partizione.
Definizione (Parametrizzazione semplice):
Una parametrizzazione 𝛾 𝜑, ∆, 𝑇 è semplice se 𝜑: ∆→ ℝ
𝑛è iniettiva.
Osservazione:
Se ∆ è chiusa dobbiamo dimostrare che valgono le proprietà per un 𝐼 ⊇ ∆ aperto e 𝜑 estensione.
Definizione (Parametrizzazioni equivalenti):
Date due parametrizzazioni:
𝛾
0𝜑
0, ∆
0, 𝑇 𝛾
1𝜑
1, ∆
1, 𝑇
Tali che Imm 𝜑
0= Imm 𝜑
1, allora:
𝜑 è equivalente a 𝜑
′↔ ∃𝑋: ∆
0→ ∆
1diffeomorfismo, di classe 𝐶
1e invertibile, con 𝑋
′𝑡 ≠ 0 ∀𝑡 ∈ ∆
0tale che 𝜑
0𝑡 = 𝜑
1𝑋 𝑡
Definizione (Curva orientata):
Fissata l'immagine 𝑇 di una parametrizzazione è la classe di equivalenza delle parametrizzazioni su quell'immagine.
La notazione per indicare una curva è mediante una qualsiasi delle sue parametrizzazioni 𝜑 equivalenti.
Definizione (Orientamento):
Se due parametrizzazioni sono equivalenti e 𝑋
′è positiva si dice che l'orientamento è coincidente.
Se due parametrizzazioni sono equivalenti e 𝑋
′è negativa si dice che l'orientamento è opposto.
Quindi abbiamo due classi di equivalenza distinte.
Curva regolare e curva semplice seguono dalla definizione di parametrizzazione regolare e
semplice.
3 Lemma di equivalenza (ND pagina 7):
Dati due intervalli chiusi ∆
0; ∆
1, se:
𝜑
0: ∆
0→ 𝑇 ⊆ ℝ
𝑛regolare e semplice e 𝜑
1: ∆
1→ 𝑇 ⊆ ℝ
𝑛funzione di classe 𝐶
1allora sono equivalenti:
𝜑
1′𝑠 ≠ 0 ∀ 𝑠 ∈ ∆
1𝛾
0𝜑
0, ∆
0, 𝑇 ~𝛾
1𝜑
1, ∆
1, 𝑇
Lemma (ND pagina 8):
𝜑, 𝑎, 𝑏 , 𝑇 ~ 𝜑
0, 0,1 , 𝑇
Inoltre le due parametrizzazioni della curva hanno la stessa orientazione.
Somma fra due cammini (Curve orientate):
Date due curve 𝐶
1; 𝐶
2con estremi coincidenti la somma è la curva riparametrizzata dal primo punto della prima al secondo della seconda. Si indica con 𝐶
1+ 𝐶
2Osservazione:
Data una curva 𝐶 si può trovare sempre un'altra curva che sommata alla prima dia una curva chiusa, si indica con −𝐶
Curve rettificabili:
Data una partizione dell'intervallo possiamo definire la lunghezza di un elemento della partizione e dunque la lunghezza della poligonale è:
𝜑 𝑡
𝑖, 𝜑 𝑡
𝑖−1𝑛𝑖=1
Definiamo perciò la lunghezza della curva come:
𝐿 𝜑 = sup
Partizioni 𝑛𝑖=1𝜑 𝑡
𝑖, 𝜑 𝑡
𝑖−1Se questo valore è finito diciamo che la curva è rettificabile.
Osservazione:
La lunghezza non dipende dalla parametrizzazione La lunghezza non dipende dall'orientazione 𝐿 𝐶
1+ 𝐶
2= 𝐿 𝐶
1+ 𝐿 𝐶
2Formula pratica per curve 𝐶
1∫ 𝜑
𝑎𝑏 ′𝑡 𝑑𝑡
4
Integrale curvilineo di 𝟏
𝒂specie (Integrale di linea):
𝛶 = 𝜑: 𝑎, 𝑏 = ∆→ ℝ
𝑛Curva ; 𝑓: ℝ
𝑛→ ℝ continua, 𝜑 ∈ 𝐶
1, l'integrale curvilineo di prima specie è definito come:
∫ 𝑓
𝛶≔ ∫ 𝑓 𝜑 𝑡 𝜑
𝑎𝑏 ′𝑡 𝑑𝑡
Proprietà:
𝛶
1, 𝛶
2∈ 𝐶
1con 𝜑
1𝑏
1= 𝜑
2𝑎
2→ ∫
𝛶𝑓
1+𝛶2
= ∫ 𝑓
𝛶1
+ ∫ 𝑓
𝛶2
𝛶 ∈ 𝐶
1→ ∫ 𝑓
−𝛶= ∫ 𝑓
𝛶Osservazione:
L'integrale di 1
𝑎specie non dipende dall'orientazione.
Integrale curvilineo di 𝟐
𝒂specie:
𝛶 = 𝜑: 𝑎, 𝑏 = ∆→ ℝ
𝑛; 𝐹: ℝ
𝑛→ ℝ continua, 𝜑 ∈ 𝐶
1, l'integrale curvilineo di seconda specie è definito come:
∫ 𝐹
𝛶≔ ∫ 𝐹 𝑡 ∙ 𝑑𝑡
𝛶= ∫ 𝐹 𝜑 𝑡 , 𝜑
𝑎𝑏 ′𝑡 𝑑𝑡 Proprietà:
𝛶
1, 𝛶
2∈ 𝐶
1con 𝜑
1𝑏
1= 𝜑
2𝑎
2→ ∫
𝛶𝐹
1+𝛶2
= ∫ 𝐹
𝛶1
+ ∫ 𝐹
𝛶2
𝛶 ∈ 𝐶
1→ ∫ 𝐹
−𝛶= − ∫ 𝐹
𝛶Osservazione:
Dipende dall'orientazione.
5 Forme differenziali:
Dato lo spazio ℝ
𝑛dotato della base canonica 𝑒
1, … , 𝑒
𝑛, definiamo il funzionale:
𝑑𝑥
𝑗≔ 𝑒
𝑗∗con 𝑑𝑥
𝑗𝑒
𝑖= 𝛿
𝑗𝑖Questi formano una base dello spazio duale, generano dunque tutti i funzionali.
Definizione (Forma differenziali di grado 1):
E' una applicazione 𝑥 → 𝜔 𝑥 definita su di un aperto 𝑈 ⊆ ℝ
𝑛a valori nel duale ℝ
𝑛 ∗𝜔: ℝ
𝑛→ ℝ lineare, 𝜔 è una forma differenziali di grado 1 in ℝ
𝑛ha una rappresentazione locale:
𝜔 =
𝑛𝑗 =1𝜔
𝑗𝑥 𝑑𝑥
𝑗con 𝜔
𝑗𝑥 ∈ 𝐶 𝑢
𝑎𝑝𝑒𝑟𝑡𝑜Integrale di una forma differenziale:
𝛶 = 𝜑: 𝑎, 𝑏 = ∆→ ℝ
𝑛; 𝜑 ∈ 𝐶
1, l'integrale curvilineo è definito come:
∫ 𝜔
𝛶≔
𝑛𝑗 =1∫ 𝜔
𝛶 𝑗𝑑𝑥
𝑗=
𝑛𝑗 =1∫ 𝜔
𝑎𝑏 𝑗𝜑 𝑡 𝜑
𝑗′𝑡 𝑑𝑡 Proprietà:
𝛶
1, 𝛶
2∈ 𝐶
1con 𝜑
1𝑏
1= 𝜑
2𝑎
2→ ∫
𝛶𝜔
1+𝛶2
= ∫ 𝜔
𝛶1
+ ∫ 𝜔
𝛶2
𝛶 ∈ 𝐶
1→ ∫ 𝜔
−𝛶= − ∫ 𝜔
𝛶Osservazione:
Dipende dall'orientazione.
Definizione (Forma esatta):
Se ∃ 𝐹 | 𝜔 = ∇𝐹 (Equivalente 𝜔
𝑗= 𝜕
𝑗𝐹) la forma si dice esatta.
Proprietà (𝐃𝟏 𝟑 → 𝟏 Lemma di Poincarè ; 𝟏 → 𝟐 ; 4.22):
Se 𝜔 è una 1-forma di classe 𝐶
𝑛sono equivalenti:
1) 𝜔 è esatta.
2) ∀ curva chiusa 𝛶 di classe 𝐶
1(o 𝐶
1a tratti) vale 𝜔
𝛶3) ∀ 𝛶
1, 𝛶
2con 𝜑
1𝑎 = 𝜑
2𝑎 ; 𝜑
1𝑏 = 𝜑
2𝑏 risulta:
∫ 𝜔
𝛶1
= ∫ 𝜔
𝛶2
(Il cammino dipende solo dagli estremi)
Definizione (Forma chiusa):
Sia 𝜔 =
𝑛𝑗 =1𝜔
𝑗𝑥 𝑑𝑥
𝑗∈ 𝐶
1in un aperto 𝑈 ⊆ ℝ
𝑛𝜔 è una forma chiusa se 𝜕𝑥
𝑘𝜔
𝑗𝑥 = 𝜕𝑥
𝑗𝜔
𝑘𝑥
Osservazioni:
Forma esatta → Forma chiusa
Una forma chiusa su di un semplicemente connesso è esatta.
6
Integrale di funzioni complesse:
Data una funzione 𝑓: 𝑈 → ℂ si dice olomorfa se è differenziabile in senso complesso in ogni punto 𝑧
0di un aperto 𝑈 di ℂ.
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑖𝑣 𝑥, 𝑦 olomorfa allora (Equazioni di Cauchy Riemann):
∃ le derivate parziali.
Vale
𝜕𝑢𝜕𝑥
=
𝜕𝑣𝜕𝑦
;
𝜕𝑢𝜕𝑦
= −
𝜕𝑣𝜕𝑥
Esempi:
𝑓 𝑧 = cos 𝑧 𝑓 𝑧 = sin 𝑧 𝑓 𝑧 = pol 𝑧 𝑓 𝑧 = 𝑒
𝑧Composizione di olomorfe è olomorfa.
7 Integrale di superficie:
Definizione (Superficie):
E' uno spazio T2 tale che ∀𝑥
0∈ esiste 𝑉 ⊆ aperto tale che 𝑥
0∈ 𝑉 ed esiste un omeomorfismo 𝜑: 𝑈 ⊆ ℝ
2→ 𝑉 ; 𝜑
−1: 𝑉 → 𝑈
Definizione (Carta locale o parametrizzazione di ):
E' una coppia 𝜑, 𝑈 con 𝜑: 𝑈 → continua.
La notazione con cui si indica è 𝜎 𝜑, 𝑈
Definizione (Parametrizzazione di classe 𝑪
𝒌):
Se 𝜑 ∈ 𝐶
𝑘𝑈
Definizione (Parametrizzazione regolare di ⊆ ℝ
𝟑):
Se è di classe 𝐶
1e 𝜑
′𝑢 ha rango 2 per ogni 𝑢 ∈ 𝑈
Definizione (Parametrizzazioni equivalenti):
𝜎
0𝜑
0, 𝑈
0e 𝜎
1𝜑
1, 𝑈
1sono equivalenti 𝜎
0~𝜎
1se esiste un diffeomorfismo:
𝑋: 𝜑
0−1𝑉
01→ 𝜑
1−1𝑉
01Con 𝑉
01= 𝜑
0𝑈
0∩ 𝜑
1𝑈
1≠ ∅ Se rispettano:
𝜑
0𝑢 = 𝜑
1𝑋 𝑢 ; ∀ 𝑢 ∈ 𝜑
0−1𝑉
01det 𝑋
′𝑢 ≠ 0 ; ∀ 𝑢 ∈ 𝜑
0−1𝑉
01Definizione (Orientazione):
Se il Jacobiano è positivo hanno la stessa orientazione.
Se il Jacobiano è negativo hanno orientazione opposta.
Definizione (Superficie regolare):
Sia ⊆ ℝ
𝒏; 𝑛 ≥ 3 ed 𝐹 = 𝜎
𝑘𝜑
𝑘, 𝑈
𝑘, ∩ 𝑊
𝑘, 𝑘 = 1, … , ∞ una famiglia di parametrizzazioni (Atlante) tali che:
1) 𝑈
𝑘, 𝑊
𝑘sono aperti 𝜑
𝑘: 𝑈
𝑘→ 𝑊
𝑘∩ è una funzione 𝐶
1𝑈
𝑘tale che 𝜑
𝑘′𝑢 ha rango 2 per ogni 𝑢 ∈ 𝑈
𝑘2) 𝑊
𝑘⊇ 𝐵 𝑥
𝑘, 𝑟
𝑘dove 𝐵 𝑥
𝑘, 𝑟
𝑘= 𝑥 ∈ ℝ
𝑛; 𝑥 − 𝑥
𝑘< 𝑟
𝑘e ⊆ 𝐵 𝑥
𝑘 𝑘, 𝑟
𝑘cioè sono un ricoprimento di
3) 𝑈
𝑘sono intervalli aperti in ℝ
24) ∀ 𝑖 ≠ 𝑗 tale che ∩ 𝑊
𝑘∩ 𝑊
𝑗≠ ∅ esiste un diffeomorfismo:
𝑋
𝑗𝑘: 𝜑
𝑗−1∩ 𝑊
𝑘∩ 𝑊
𝑗→ 𝜑
𝑘−1∩ 𝑊
𝑘∩ 𝑊
𝑗tale che:
𝜑
𝑗𝑢
𝑗= 𝜑
𝑘𝑋
𝑗𝑘𝑢
𝑗; ∀ 𝑢
𝑗∈ 𝜑
𝑗−1𝑊
𝑗∩ 𝑊
𝑘Allora , 𝐹 si chiama superficie regolare.
Osservazione:
Se è compatto allora l'atlante può essere scelto finito.
8
Aggiungere due parole pagina 64, partizione dell'unità e superfici orientabili, superfici con bordo,
superfici con bordo orientabili
9 Integrale di superficie di 𝟏
𝒂specie:
Date:
Una superficie con parametrizzazione 𝜑: 𝑈 ⊆ ℝ
2→ ℝ
𝑛Una funzione 𝑓: ℝ
𝑛→ ℝ
∫ 𝑓𝑑𝑠 = ∬ 𝑓 𝜑 𝑢, 𝑣 𝜕
𝑈 𝑢𝜑 𝑢, 𝑣 × 𝜕
𝑣𝜑 𝑢, 𝑣 𝑑𝑢𝑑𝑣
Osservazioni:
La seconda parte è l'area, infatti:
Area 𝑈 = ∬ 𝑑𝑆
𝑈= ∬ 𝜕
𝑈 𝑢𝜑 𝑢, 𝑣 × 𝜕
𝑣𝜑 𝑢, 𝑣 𝑑𝑢𝑑𝑣
Non dipende dall'orientazione.
Osservazione (Prodotto vettore):
𝑎 × 𝑏 = det
𝑖 𝑗 𝑘
𝑎
1𝑎
2𝑎
3𝑏
1𝑏
2𝑏
3=
𝑎
2𝑏
3− 𝑎
3𝑏
2𝑎
3𝑏
1− 𝑎
1𝑏
3𝑎
1𝑏
2− 𝑎
2𝑏
1Lemma (ND ; 3.76):
Date due parametrizzazioni 𝜑, 𝑈
1e 𝜗, 𝑉
2equivalenti e tali che 𝜑 𝑈 = 𝜗 𝑉 allora esiste un diffeomorfismo 𝑋: 𝑈 → 𝑉 con det 𝑋
′𝑢 ≠ 0 , 𝑢 ∈ 𝑈 ; 𝜑 𝑢 = 𝜗 𝑋 𝑢
Inoltre se 𝑓 è una funzione continua allora ∫
𝑓𝑑𝑆
1
= ∫
𝑓𝑑𝑆
2
Osservazione:
L'integrale di superficie di 1
𝑎specie non dipende dalla parametrizzazione e dall'orientazione.
10
Forme differenziali di grado 2 nello spazio euclideo:
Definizione (Forme bilineari):
E' una mappa 𝜙: ℝ
𝑛× ℝ
𝑛→ ℝ che sia lineare su entrambe le componenti.
Definizione (Forme antisimmetriche):
𝜙 𝑣, 𝑤 = −𝜙 𝑤, 𝑣
Indichiamo con 𝐴
2ℝ
𝑛lo spazio vettoriale delle forme bilineari antisimmetriche di ℝ
𝑛Ogni forma bilineare antisimmetrica può essere rappresentata come:
𝜙 𝑢, 𝑣 = 𝑢, 𝐴𝑣 ; 𝐴
𝑡= −𝐴 Lemma (ND ; 4.79):
Una forma è antisimmetrica se e solo se 𝜙 𝑣, 𝑣 = 0 ∀𝑣 ∈ ℝ
𝑛Lemma (ND):
Se 𝜙 è una forma bilineare antisimmetrica, 𝑣
1, 𝑣
2due vettori in ℝ
𝑛allora abbiamo la relazione:
𝑏
𝑘1,𝑘2𝜙 𝑣
𝑘1, 𝑣
𝑘22𝑘1,𝑘2=1
= det 𝐵 𝜙 𝑣
1, 𝑣
2Per ogni matrice 𝐵 = 𝑏
11𝑏
12𝑏
21𝑏
22Osservazione (Scomposizione):
Ogni matrice antisimmetrica si scrive come:
𝐴 =
0 𝑎
12𝑎
13−𝑎
120 𝑎
23−𝑎
13−𝑎
230
Dunque ammette una scomposizione della forma:
𝐴 = 𝑎
12𝐽
12+ 𝑎
13𝐽
13+ 𝑎
23𝐽
23Con:
𝐽
23=
0 0 0
0 0 1
0 −1 0
; 𝐽
13=
0 0 1
0 0 0
−1 0 0
; 𝐽
12=
0 1 0
−1 0 0
0 0 0
11 Definizione (𝒅𝒙
𝟏⋀𝒅𝒙
𝟐):
Sia 𝑑𝑥
1⋀𝑑𝑥
2∈ 𝐴
2ℝ
3la forma bilineare antisimmetrica che corrisponde a 𝐽
12.
Se 𝑒
1, 𝑒
2, 𝑒
3è una base canonica di ℝ
3e 𝑣 = 𝑣
1𝑒
1+ 𝑣
2𝑒
2+ 𝑣
3𝑒
3; 𝑤 = 𝑤
1𝑒
1+ 𝑤
2𝑒
2+ 𝑤
3𝑒
3sono due vettori allora:
𝑑𝑥
1⋀𝑑𝑥
2𝑣, 𝑤 = 𝑣, 𝐽
12𝑤
Definizione (𝒅𝒙
𝒌𝟏⋀𝒅𝒙
𝒌𝟐):
Questa base delle forme bilineari antisimmetriche in ℝ
𝑛è definita come:
𝑑𝑥
𝑘1⋀𝑑𝑥
𝑘2∈ 𝐴
2ℝ
𝑛; 𝑛 ≥ 3 con:
𝑑𝑥
𝑘1⋀𝑑𝑥
𝑘2𝑒
𝑗1, 𝑒
𝑗2=
0 𝑠𝑒 𝑗
1, 𝑗
2≠ 𝑘
1, 𝑘
21 𝑠𝑒 𝑗
1= 𝑘
1; 𝑗
2= 𝑘
2−1 𝑠𝑒 𝑗
1= 𝑘
2; 𝑗
2= 𝑘
1Osservazioni:
𝑑𝑥
𝑘1⋀𝑑𝑥
𝑘2= −𝑑𝑥
𝑘2⋀𝑑𝑥
𝑘1𝑑𝑥
𝑘⋀𝑑𝑥
𝑘= 0
Ogni forma bilineare si può scrivere come:
𝜙 = 𝑑𝑥
𝑘⋀𝑑𝑥
𝑗Definizione (2-forma):
Una 2-forma è un'applicazione 𝑥 → 𝑎 𝑥 definita su di un aperto 𝑈 ⊆ ℝ
𝑛che ad ogni 𝑥 ∈ 𝑈 associa una forma bilineare antisimmetrica 𝑎 𝑥 = 𝑎
𝑗𝑘𝑑𝑥
𝑗⋀𝑑𝑥
𝑘Osservazione (Differenziale di una 1-forma):
Data la 1-forma 𝜔 = 𝜔
𝑗𝑥 𝑑𝑥
𝑗Siccome 𝑑𝜔 ≔ 𝑑𝜔
𝑗𝑥 ⋀𝑑𝑥
𝑗e 𝑑𝜔
𝑗= 𝜕
𝑥𝑘𝜔
𝑗𝑥 𝑑𝑥
𝑘otteniamo:
𝑑𝜔 = 𝜕
𝑥𝑘𝜔
𝑗𝑥 − 𝜕
𝑥𝑗𝜔
𝑘𝑥 𝑑𝑥
𝑘⋀𝑑𝑥
𝑗Osservazione (Forma esatta):
La 2-forma 𝑎 si dice esatta se esiste una 1-forma 𝜔 tale che 𝑎 = 𝑑𝜔
Pull Back delle forme differenziali: