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Trovare le soluzioni di un sistema lineare di due equazioni in due incognite equivale a determinare l’insieme dei punti di coordinate (x,y) che soddisfano entrambe le equazioni

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(1)

L’L’aallggoorriittmmoo ddii rriidduuzziioonnee ddii GGaauussss SiSisstteemmi i aa ssccaalliinnii

RiRissoolluuzziioonnee ddeei i ssiisstteemmii lliinneeararii totottaallmmeentntee rriiddoottttii

Rosalba Barattero

ESERCITAZIONE N.1 26 febbraio 2009

SISTEMI LINEARI : ESEMPI due equazioni e due incognite Esempio 1

=

=

1 y x

0 y x

Esempio 2

= +

= 2 y x

0 y - x

Esempio 3

=

= 2 2y 2x

1 y - x

y

x

Nessuna soluzione

Disegni nel piano reale affine

Una (ed una sola) soluzione

2

P(1,1) 1

O

2 1

infinite soluzioni

y

x

-1 1 O

(x, x-1) al variare di x in R

y

x O

1

1

(2)

Nella pagina precedente sono illustrati tre esempi di si- stemi lineari di due equazioni e due incognite, a coefficien- te reali e la relativa interpretazione geometrica nel piano reale.

Nel piano reale l’insieme delle soluzioni di un’ equazione di primo grado corrisponde all’insieme dei punti di una retta.

Trovare le soluzioni di un sistema lineare di due equazioni in due incognite equivale a determinare l’insieme dei punti di coordinate (x,y) che soddisfano entrambe le equazioni.

Dunque il problema algebrico di risolvere un sistema di due equazioni in due incognite si traduce nello studiare l’intersezione di due rette nel piano.

Nel piano reale due rette o sono coincidenti o sono distinte e in questo ultimo caso sono parallele o incidenti in un punto.

Questo ci dice che per i sistemi a due equazioni e due in- cognite si presentano tre casi : nessuna soluzione, un’unica soluzione, infinite soluzioni.

Vedremo che questa casistica vale per tutti i sistemi lineari.

ESERCIZIO1.

Sistema lineare – riduzione di Gauss

Dato il seguente sistema lineare a coefficienti reali

= +

=

+

= + +

0 z y x

2 z y x

3 z y x

Stabilire, usando l’algoritmo di riduzione di Gauss, se ha soluzioni reali e, in caso affermativo determinarle tutte.

Notiamo che il sistema si può scrivere in forma matriciale, te- nendo conto della definizione del prodotto righe per colonne di matrici:

=

0 2 3 z

y x 1 1 - 1

1 - 1 1

1 1 1

Il sistema è esprimibile così : A X = b e A|b indica la matrice completa

A

matrice dei coefficienti

X

matrice delle indeterminate b

matrice dei termini noti

(3)

LALGORITMO DI GAUSS

OBIETTIVO : A)Individuare criteri per stabilire se un sistema lineare ha soluzioni e quante sono.

B) Usare un algoritmo per determinare le solu- zioni.

LE TRE OPERAZIONI ELEMENTARI SULLE EQUAZIONI DI UN SISTEMA:

1. Scambio di due equazioni

2. Moltiplicazione di un’equazione per un numero non nullo

3. Somma di un’equazione con un multiplo di un’altra equazione

Le 3 operazioni trasformano il sistema in un sistema equivalente ( avente le stesse soluzioni). Le operazioni agiscono sulle equazioni (righe) del sistema ( equivalen- temente sulle righe della matrice completa A|b ).

Infatti la 1. è ovvia poiché lo scambio di due equazioni non altera le soluzioni del sistema, lo stesso vale per 2., poiché la moltiplicazione di un’equazione per un numero non nullo non altera le soluzioni dell’equazione stessa.

Meno banale la 3.

¾ Se α è soluzione del sistema che ha tra le sue righe Ri e Rj allora α soddisfa sia Ri che Rj e di conseguenza soddisfa la riga Ri +kRj , con k ∈ R, k ≠ 0.

¾ Per il viceversa chiamiamo S′ il sistema ottenuto dal sistema S, sostituendo al posto della Ri la riga Ri +kRj ( i ≠ J , k ≠ 0 ). Se α è soluzione di S′, α soddisfa tutte le

righe di S′ e in particolare soddisfa le righe Ri e Ri +kRj , allora per differenza soddisfa anche Rj e quindi α è sol- zione di S.

Abbiamo così visto nel dettaglio, che anche l’operazione 3. trasforma sistemi in sistemi equivalenti.

Usiamo l’algoritmo di Gauss per trasformare un sistema in uno equivalente e più semplice da risolvere.

(4)

Lavoriamo sulla matrice completa

A/b =

0 2 3 1 1 1

1 1 1

1 1 1

1. Passo: ricerca nella 1a colonna di un termine non nullo (coefficiente della ′prima′ incognita), se esiste questo termine scelto si chiama pivot ( della prima incognita).

Se non esiste, si passa a considerare la seconda incognita …etc

Scelto il pivot, scambiare R1 con la riga che contiene il pivot per portarla ad occupare R1

Qui a11=1 ≠0 ⇒ non è necessario scambiare righe

2. PASSO : creare una colonna di zeri sotto il pivot

0 2 3 1 1 1

1 1 1

1 1 1

3 -

1 -

3 0 2 0

2 0 0

1 1 1

N.B. nel passo 1. possono esserci più scelte,in generale conviene scegliere il pivot più semplice per effettuare ′a mano′ facilmente i calcoli (1 è il più indicato). Per un calcolatore il pivot migliore sareb- be il numero di valore assoluto maggiore, per minimizzare gli errori (a seguito della divisione).

R2→ R2- R1

R3→ R3- R1

Operiamo su R2 , R3 facendo sempre riferimento ad R1

Osservazione Fare R2→ R2- R1 equivale a sostituire la x nella R2 .

Infatti : R1 → x+y+z -3=0 R2 → x+y-z-2=0

R2- R1 → x+y-z-2 –( x+y+z-3)=0

⇒ L’algoritmo di Gauss nasce dalla tecnica di sostituzione

3. Passo : controllare se

• qualche riga sotto R1 è diventata nulla e in tal caso eliminarla

• qualche riga sotto R1 è diventata del tipo 0 0 0 … 0 | k con k ≠0,

cioè se il sistema contiene l’equazione incompatibile 0 = k , con k≠0.

In tal caso ci si ferma : il sistema dato è incompatibile ( non ha soluzioni ).

In caso contrario si prosegue con il passo 4.

Espressione della x ricavata da R1

(5)

4. Passo : spostarsi, a partire dal pivot, in diagonale di un elemento

Ossia trascurare la riga R1 e ripartire con l’algoritmo appli- cato al sistema formato dalle righe restanti ( R2 , R3 ,… ), quindi cercare nella colonna contenente P2 ( C2) se c’è un elemento non nullo…

Attenzione ! Se la colonna contenente P2 è tutta nulla, allora spostarsi all’incognita successiva ( nella riga R2 )!

Altrimenti non si ottiene una matrice a scalini ! P1

P2

no P1

P2

3 -

1 -

3 0 2 0

2 0 0

1 1 1

R2↔ R3

1 -

3 -

3 2 - 0 0

0 2 - 0

1 1 1

1 -

3 -

3 2 - 0 0

0 2 - 0

1 1 1

1 -

3 -

3 2 - 0 0

0 2 - 0

1 1 1

Cerchiamo un elemento non nullo nella C2 ( R1 esclusa )

Nuovo pivot • Sotto c’è già lo zero !

• L’algoritmo termina passando alla R3

• Siamo arrivati alla forma ″a scalini″

( o ridotta) : il primo elemento non nullo di ogni riga è più a sinistra del primo elemento non nullo della riga successiva.

In questo caso tutte e tre le incognite sono pivotali ( con pivot risp. : 1, -2, -2).

(6)

Il sistema associato ridotto è

=

=

= + +

1 - 2z -

3 - 2y

3 z y x

Passiamo alla risoluzione : è ora facile procedere dal basso verso l’alto per sostituzione , ottenendo la solu- zione 1,23,12, che è unica

( x =1,y = 23,z= 21 : unica terna ) .

Conclusione :

In questo caso il numero (non nullo) delle righe della matrice ridotta a scalini è uguale al numero delle inco- gnite pivotali e allora il sistema ha UNA SOLA SOLU- ZIONE .

L’ALGORITMO DI RIDUZIONE TOTALE DI GAUSS

Serve per portare il sistema in una forma in cui le soluzioni sono immediate.

Come passare dalla forma ridotta (a scalini) a quella total- mente ridotta (ogni pivot è uguale a 1 e ogni altro termine nella colonna del pivot è zero) ?

Partiamo dalla matrice ridotta

1 -

3 -

3 2 - 0 0

0 2 - 0

1 1 1

1. Passo . Rendere uguale a 1 ogni pivot con l’operazione elementare 2. di moltiplicazione della riga per un numero non nullo.

R212R2

R312R3

2. Passo. Partendo dall’ultima riga contenente un’inco- gnita pivotale annullare tutti i coefficienti al di sopra dei pivot mediante le operazioni elemen- tari 3. di combinazione lineare di righe.

1/2 2 / 3

3 1 0 0

0 1 0

1 1 1

(7)

1/2 2 / 3

3 1 0 0

0 1 0

1 1 1

R1 → R1 – R3

1/2 2 / 3

5/2 1 0 0

0 1 0

0 1 1

R1 → R1 – R2

1/2 2 / 3

1 1 0 0

0 1 0

0 0 1

Siamo arrivati alla forma totalmente ridotta ( i pivot tutti uguali ad 1 e ogni elemento nella colonna di un pivot è nullo) , il cui sistema associato ( equivalente al sistema originario) è di immediata risoluzione !

=

=

= 2 / 1 z

2 / 3 y

1 x

stesso risultato già ottenuto sopra !

CONCLUSIONE : ogni sistema lineare è equivalente ad un (unico) sistema lineare totalmente ridotto.

Mentre abbiamo visto che ci sono più sistemi ridotti equivalen- ti al sistema dato, in corrispondenza alle scelte dei pivot.

ESERCIZIO2.

Sistema lineare

Dato il seguente sistema lineare a coefficienti reali

= + + +

= + + +

= + + +

2 2t z 2 y x

2 t z y 2 2x

1 t z y x

Stabilire, usando l’algoritmo di riduzione di Gauss, se ha soluzioni reali.

A/b=

2 2 1 2 2 1 1

1 1 2 2

1 1 1 1

1 0 1 1 1 0 0

1 1 0 0

1 1 1 1

1 0 1 0 0 0 0

1 1 0 0

1 1 1 1

Passo 3. L’ultima riga è del tipo 0 =1 ( 0⋅ x = 1 ) : assurdo. Quindi il sistema è incompatibile ( non ha soluzioni ).

N.B. da non confondere con il caso ″1=0″ , ad esempio 0 0 0 1 | 0, da cui si ricava t=0 !!

R2→ R2-2R1

R3→ R3-R1

R3→ R3+R2

(8)

ESERCIZIO3.

Sistema lineare – riduzione di Gauss – numero delle soluzioni

Dato il seguente sistema lineare a coefficienti reali

= +

+

=

+

=

+

4 4t - z y 2 2x

0 z y 3 3x

1 t y x

Stabilire, usando l’algoritmo di riduzione di Gauss, se ha soluzioni reali e, in caso affermativo, dire quante sono e determinarle tutte.

A/b=

4 0 1 4 1 2 2

0 1 3 3

1 0 1 1

2

3 1 2 1 0 0

3 1 0 0

1 0 1 1

1 3 1 1 0 0 0

3 1 0 0

1 0 1 1 R2→ R2-3R1

R3→ R3-2R1

R3→ R3+R2

L’algoritmo di riduzione è terminato ! Ci sono 3 incognite pivotali : x, z, t . Portiamo a secondo membro l’incognita non pivotale, la y, e otteniamo :

=

= +

=

1 t

3 3t z

y 1 t x

Attribuiamo ora all’incognita a secondo membro valori arbitrari e risolviamo procedendo dal basso verso l’alto, ricavando le incognite pivotali in funzione di y.

=

=

= 1 t

0 z

y x

⇒ Il sistema ha le infinite soluzioni (-y,y,0,-1) al variare di y in R

Esercizio: Provare a risolvere il sistema con la riduzione totale di Gauss.

→ Homepage: http://www.dima.unige.it/~baratter

Forum&Wiki: http://informatica.aulaweb.unige.it/ (Geometria) ( in corso di attivazione)

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