1 • Risolvere l’equazione sin x = sin 2. • Dimostrare che 0.831 =

• Risolvere l’equazione sin x = sin 2.

• Dimostrare che 0.831 = ⁸²³ ₉₉₀ .

2 Scrivere la funzione cos t − √

3 sin t nella forma a cos(t + φ), determinando esplicitamente a e φ, con a > 0. Disegnare poi il grafico di tale funzione. Quali sono gli zeri della funzione?

3

• Un cilindro circolare retto ha volume fissato V . Esprimere la sua superficie laterale in funzione del raggio di base.

• Determinare l’espressione per l’inversa della seguente funzione, specificando dominio e imma-

gine di tale inversa: √

x + 1 x − 1

4 Se f (x) = log(x + 1) e g(x) = x

x + 2 , trovare le funzioni f ◦ g, g ◦ f, f ◦ f, g ◦ g e i loro domini.

Trovare poi un’espressione per l’inversa di f ◦ g, specificando il dominio di tale inversa.

5 Sia f (x) = 2x

x − 1 . Disegnare accuratamente i grafici delle seguenti funzioni:

f (x), f (x + 2), f (|x|), −2 + f( x 2 )

6 Trovare il dominio della seguente funzione e disegnarne il grafico:

f (x) = 2x + |x − 1|

x − 1

7 Disegnare il grafico della seguente funzione:

f (x) =

{ −x ⁻² se x ≤ −1 (x + 1) ⁴ se x > −1

Dimostrare che f ` e invertibile e trovare il dominio e un’espressione dell’inversa.

Disegnare il grafico dell’inversa.

8 Sia P (x 1 , y 1 ) un punto del ramo di iperbole xy = 3 che si trova sul primo quadrante. Dopo aver fatto un disegno, dimostrare che il triangolo definito dalla retta y = 0, dalla tangente in P all’iperbole e dalla retta che passa per P e l’origine ` e isoscele. Dimostrare inoltre che P ` e punto medio del segmento intercettato dagli assi cartesiani sulla retta tangente in P .

9

• Determinare i seguenti limiti:

x →+∞ lim

2x − sin x + cos x sin x + 4 √

x ² + 6 lim

x →0

x ^{sin x}

• Determinare l’equazione della retta tangente all’iperbole x ² − 2y ² = 1 nel punto (3, −2).

Disegnare l’iperbole e tale retta.

10

• Determinare i seguenti limiti:

x lim →1

x ^x − 1

1 + cos πx lim

x →0

(1 + √ x)

• Determinare l’equazione della retta tangente alla cubica x ² = 2y ³ nel punto ( − √

2, 1). Dise- gnare la curva e la retta tangente.

11 Tracciare il grafico della curva y · (1 + x ² ) = 1. Trovare poi le ascisse dei punti del grafico nei quali la normale passa per l’origine.

12 Dopo aver disegnato il grafico della funzione f (x) = | sin x|, senza fare conti, disegnare l’anda- mento di f ^′ (x) e della primitiva F (x) tale che F (0) = −1. Determinare poi un’espressione esplicita di tale primitiva, mediante giustapposizione di funzioni, per −π ≤ x ≤ 3π.

13 Dopo aver disegnato il grafico della funzione f (x) = |4x − x ³ |, senza fare conti, disegnare l’andamento di f ^′ (x) e della primitiva F (x) tale che F (0) = −1. Determinare poi un’espressione esplicita di F (x), mediante giustapposizione di funzioni.

14

• Determinare i seguenti limiti:

x →+∞ lim x sin 2

x lim

x →0

e ⁻

tan x

• Determinare l’equazione della retta tangente alla curva (x − 1)y = x + 1 nel punto P (3, 2).

Disegnare il grafico di tale curva.

15 Su un arco della curva x ³ + y ³ = 1 in cui y ` e esplicitabile in funzione di x, determinare y ^′′ in funzione delle coordinate x, y dei punti della curva.

Trovare poi l’asintoto obliquo.

16 Dimostrare che la funzionef (x) = 2x + cos x ` e strettamente crescente e disegnarne il grafico.

Determinare quanto vale (f ⁻¹ ) ^′ (1).

17 Dimostrare che la retta tangente all’ellisse ^x _a

+ ^y _b

= 1 in un punto (x ₁ , y ₁ ) della stessa ha equa- zione ^x _a

^x + ^y _b

^y = 1. Usare questa formula per determinare le rette tangenti all’ellisse x ² + 4y ² = 5 e passanti per il punto esterno ( −5, 0).

18 Trovare l’espressione delle prime cinque derivate di f (x) = x ² e ^x .

E possibile riconoscere una formula ricorsiva? Ipotizzare una formula per f ` ⁽ⁿ⁾ (x).

Dimostrare tale formula usando il principio di induzione.

19 Trovare l’espressione delle prime cinque derivate di f (x) = _a+bx ¹ . ` E possibile riconoscere una formula ricorsiva? Ipotizzare una formula per f ⁽ⁿ⁾ (x).

Dimostrare tale formula usando il principio di induzione.

20 Trovare due punti P , Q sulla parabola y = 1 − x ² in modo che il triangolo formato dall’asse x e dalle tangenti in P e Q sia equilatero.

21 Sia P (a, b) un punto del primo quadrante appartenente alla parabola y = x ² , con a > 0.

Tracciata la normale in P alla parabola, sia Q il punto di intersezione di questa normale con l’asse y.

Determinare le coordinate di P in modo che la lunghezza del segmento P Q sia uguale a 1.

delle potenze di x per x → +∞:

1 + x

1 + x − 2x log(1 + 1 x ) 23

• Derivare alla svelta la seguente funzione:

x ⁴ √

x ³ + x log x (sin x) ³ (x ² + 2x)

• Dopo aver disegnato il grafico della curva x ² − y ² = 3, trovare l’equazione della retta tangente nel punto P (2, 1).

24 Un blocco di ghiaccio di forma cubica sta fondendo alla velocit` a di 8 cm <sup>3</sup> /min. Con quale velocit` a diminuisce la sua superficie totale nel momento in cui lo spigolo ` e di 16 cm?

25 Un faro luminoso si trova a terra a 5 m da un muro alto quanto basta. Un ragazzo alto 1.6 m cammina dal faro perpendicolarmente verso il muro alla velocit` a di 1 m/sec. Trovare la velocit` a con cui la sua ombra sul muro decresce quando si trova a 2 m dal muro.

26 Un contenitore di forma conica, con il vertice rivolto verso il basso, ` e alto 6 dm e ha un diametro di base di 3 dm. Trovare la velocit` a con cui il livello dell’acqua diminuisce quando il contenitore ` e vuoto per ² ₃ del suo volume, se in quel momento l’acqua defluisce dal vertice con portata 1 dm ³ /min.

27 Un grande volume V di petrolio si riversa in mare da una petroliera in avaria. Dopo che la turbolenza iniziale ` e passata, la macchia si espande formando un disco omogeneo di raggio r e di spessore uniforme h, dove r cresce e h decresce. Se lo spessore h ` e inversamente proporzionale alla radice quadrata del tempo trascorso, cio` e h = <sup>√ c</sup> <sub>t</sub> , dimostrare che la velocit` a ^dr _dt con cui il petrolio si espande ` e inversamente proporzionale a t

.

28 Un uomo in una mongolfiera si solleva verticalmente alla velocit` a di 60 cm/sec. Qual ` e la velocit` a con cui si allontana l’orizzonte quando la mongolfiera si trova a 1600 m di quota? Supporre che la Terra sia una sfera di 6400 km di raggio.

29 Una rondine spicca il volo dalla cima di un albero alto 12 m e se ne allontana percorrendo una traiettoria rettilinea ascendente inclinata di 45 ^◦ rispetto alla verticale. Nell’istante in cui ha percorso 10 √

2 m, la rondine ha una velocit` a di 4 √

2 m/sec. Con quale velocit` a sta variando la sua distanza dal piede dell’albero in quell’istante?

30 Un pallone sferico ha una perdita dalla quale l’aria fuoriesce a velocit` a costante misurata in cm <sup>3</sup> /sec. Determinare tale velocit` a sapendo che, quando il raggio ` e di 60 cm, la superficie diminuisce con velocit` a di 60π cm ² /sec.

31 In un campo di calcio ABCD un giocatore passa il pallone P raso terra verso la porta posta sul lato AB. La traiettoria del pallone ` e parallela al lato AD e dista da esso 40 m. Un telemetro T , posto in cima a un palo alto 10 m sopra il vertice A del campo, rileva in un certo istante che la distanza T P ` e di 50 m e sta diminuendo con velocit` a di 9 m/sec. Qual ` e la velocit` a del pallone in quell’istante?

32 Un quadro di altezza h cm ` e appeso a una parete con il lato inferiore posto b cm sopra il livello

degli occhi di un osservatore che si trova di fronte al quadro. A quale distanza dalla parete si deve

mettere l’osservatore per massimizzare l’angolo ϑ che l’altezza del quadro sottende al suo occhio?

33 Una scala lunga 5 m addossata a una parete inizia a scivolare mantenendo la sommit` a ap- poggiata alla parete. Quando la sua base dista 4 m dal muro, la velocit` a con cui se ne allontana

` e di 1 m/sec. Esprimere l’angolo tra la scala e la parete in quel momento. Determinare con quale velocit` a tale angolo sta aumentando in quel momento.

34 Un filo di lunghezza L viene tagliato in due parti, una per essere piegata a formare un quadrato e l’altra per formare un cerchio. In che punto deve essere fatto il taglio perch´ e l’area complessiva racchiusa dalle due curve sia minima? Cosa si pu` o dire se viene richiesto che l’area sia massima?

35 In un poster 96 cm ² sono occupati dal messaggio stampato e vi devono essere 3 cm di bordo in alto e in basso e 2 cm ai lati. Trovare le dimensioni complessive del poster per cui la quantit` a di carta impiegata risulta minima.

36 Una grondaia deve essere costruita saldando tre strisce rettangolari metalliche uguali di lar- ghezza 12 cm. Posto che la sezione della grondaia sia un trapezio isoscele, trovare la distanza fra i bordi in modo che la portata risulti massima.

37 Un filo di lunghezza L deve essere tagliato in due pezzi per formare un quadrato e un triangolo equilatero. In che punto deve essere fatto il taglio perch´ e l’area totale racchiusa dalle due curve sia minima? Cosa si pu` o dire se viene richiesto che l’area sia massima?

38 Una recinzione alta a m corre parallela a un alto edificio, a una distanza di b m dall’edificio stesso. Qual ` e la lunghezza minima di una scala a pioli che raggiunge il muro dell’edificio dal terreno esterno alla recinzione?

39 Un cilindro retto ` e inscritto in un cono di altezza h e raggio di base r. Trovare il volume massimo di tale cilindro.

40 Determinare dominio e asintoti obliqui della funzione:

f (x) = √

x ⁴ − x ³

Trovare poi f ^′ (x), studiarne il segno e disegnare il grafico di f (x).

41 Determinare dominio e asintoti obliqui della funzione:

f (x) = √

x ⁶ + 2x ⁵

Trovare poi f ^′ (x), studiarne il segno e disegnare il grafico di f (x).

42 Una finestra normanna ha la forma di un rettangolo sormontato da un semicerchio (con diametro del cerchio uguale alla base del rettangolo). Se il bordo esterno della finestra ` e di 12 m, calcolare le misure della finestra in modo che l’area sia massima.

43 Data la funzione

f (x) =

 



 

−x se x < 0 cos ^π ₂ x se 0 ≤ x ≤ 2 0 se x > 2, sia g(x) = ∫ _x

1 f (t) dt. Tracciare il grafico di f (x). Dopo aver trovato l’espressione a tratti di g(x), tracciare il grafico di g(x). Discutere la derivabilit` a di f (x) e di g(x).

44 Disegnare il grafico e calcolare l’area racchiusa dall’asteroide di equazione:

|x|

+ |y|

= a

intervallo un’espressione per la funzione integrale g(x) = ₀ | sin t| dt e disegnarne il grafico.

46 Mediante la sostituzione x = 3 tan ϑ calcolare

∫ _{+ ∞}

1

dx x ² √

9 + x ² .

47 Sia: f (x) =

 



 

1 se x < −3 x + 1 se −3 ≤ x ≤ 1 2 − x se 1 < x

e sia g(x) = ∫ _x

−2 f (t) dt.

Dopo aver tracciato il grafico di f , trovare l’espressione a tratti di g(x). Tracciare il grafico di g.

Discutere continuit` a e derivabilit` a di f (x) e g(x).

48 Siano λ e ω parametri reali fissati.

Dopo aver calcolato ∫

e ^λx cos(ωx)dx, determinare ∫ _{+ ∞}

0 e ^−2x cos(πx)dx.

49 Sia c > 0. Calcolare: ∫ _c

0

√ y

c − y dy mediante la sostituzione

√ y

c − y = x e anche mediante la sostituzione

√ y

c − y = tan ϑ.

50 Trovare lo sviluppo in serie di Maclaurin della funzione f (x) = x ² log(2 + x), specificando qual ` e l’intervallo di convergenza.

Determinare poi f ⁽¹¹⁾ (0).

51 Scrivere il polinomio di Maclaurin di terzo grado della funzione f (x) = 1

√ 3 + 2x , scrivendo i coefficienti come frazioni. Trovare poi lo sviluppo asintotico a + ∞ di f(x) nella scala delle potenze di x, con almeno i primi due termini consecutivi non nulli.

52 Scrivere i primi tre termini non nulli dello sviluppo di Maclaurin della funzione f (x) = √

8 + 2x ³ , scrivendo i coefficienti come frazioni. Trovare poi lo sviluppo asintotico a + ∞ di f(x) nella scala delle potenze di x, con almeno i primi due termini consecutivi non nulli.

53 Sia a > 0 un numero fissato; usando gli sviluppi binomiali determinare il primo termine non nullo dello sviluppo di Maclaurin di:

f (x) = 2a

x − 3 5

[

(a + x)

− (a − x)

] Quanto fa f ⁽⁴⁾ (0) ?

54 Determinare la somma della serie, motivando la risposta:

2 ²

10 ² · 2! − 2 ⁴

10 ⁴ · 4! + · · · + (−1) ⁿ⁺¹ 2 ²ⁿ

10 ²ⁿ · (2n)! + · · ·

Dare una stima dell’errore possibile approssimando la somma totale con quella dei primi cinque termini.

55 Determinare lo sviluppo in serie di Maclaurin della funzione:

f (x) = 1

(4 − x ² ) ⁵

Determinare poi f ⁽¹⁰⁾ (0).

56 Determinare lo sviluppo in serie di Maclaurin della funzione:

f (x) = x

√ 4 + x

Determinare poi f ⁽⁵⁾ (0).

57 Scrivere la formula di Maclaurin della seguente funzione:

f (x) = (1 − sin x) cos x con il resto di Peano R ₆ (x) = f (x) − T 6 (x). Quanto vale f ⁽⁷⁾ (0)?

58 Scrivere la formula di Maclaurin della seguente funzione:

f (x) = (e ^x − 1) log(1 + 2x) con il resto di Peano R 3 (x) = f (x) − T 3 (x). Quanto vale f ⁽⁴⁾ (0)?

59 Scrivere lo sviluppo asintotico a + ∞ con almeno quattro termini non nulli della seguente funzione, nella scala delle potenze di x:

f (x) = 2x − 1 4 + x

Trovare poi lo sviluppo in serie di Maclaurin di f (x), specificando l’intervallo di convergenza.

60 Calcolare e scrivere i primi tre termini non nulli dello sviluppo in serie numerica del seguente integrale, dopo aver sviluppato la funzione integranda tramite la serie binomiale:

∫

2

0

√ dϑ

1 − ¹ ₄ sin ² ϑ

61 Dopo aver determinato l’intervallo di convergenza della seguente serie di potenze, calcolarne la somma:

∑ ∞

n=1

x ²ⁿ 2n

62 Dopo aver determinato l’insieme di convergenza della seguente serie di funzioni, calcolarne la somma:

∑ ∞

n=1

n(sin x) ⁿ

63 Dopo aver determinato l’insieme di convergenza della seguente serie di funzioni, calcolarne la somma:

∑ ∞

n=1

(cos x) ^{n −1} n!

64 Dopo aver determinato l’intervallo di convergenza della seguente serie di potenze, calcolarne la somma:

∑ ∞

n=1

x ³ⁿ

n + 1