Complementi di Matematica primo modulo
13 febbraio 2008 - tema A
1. Determinare la soluzione generale della equazione differenziale 4y” − 12y0 + 9y = 0
2. Risolvere il seguente problema di Cauchy y0 = cos x
sin x y + 5 sin x cos x , y(π 2) = 4 3.(A(∗)) Data la funzione
f (x, y) = 18 log(x + y) − 5 arctan(x − y) − 2x − 4y
a) determinarne il dominio, i punti stazionari e gli estremi;
b) calcolare la derivata direzionale di f nel punto (1, 1) nella direzione del vettore (−2, 2).
4.(B(∗)) Calcolare l’integrale Z Z
E
(x + 2y) dxdy
dove E `e la regione di piano limitata dalle rette y = 2x − 3, y = x, y = −x.
——————————————————
(C(∗)) Determinare gli estremi della funzione
f (x, y) = x4+ 5y4− 2x2y2− 2
(D(∗)) Sia D l’insieme di definizione della funzione f (x, y) =p
1 − x2− 4y2; calcolare l’integrale
Z Z
D
f (x, y) dxdy
(∗) RECUPERO DEL SECONDO COMPITINO 1
Complementi di Matematica primo modulo
13 febbraio 2008 - tema B
1. Determinare la soluzione generale della equazione differenziale 9y” − 12y0 + 4y = 0
2. Risolvere il seguente problema di Cauchy y0 = − sin x
cos x y − 3 sin x cos x , y(π) = 2 3.(A(∗)) Data la funzione
f (x, y) = 8 log(x + y) − 5 arctan(x − y) − x − 3y
a) determinarne il dominio, i punti stazionari e gli estremi;
b) calcolare la derivata direzionale di f nel punto (1, 0) nella direzione del vettore (2, −2).
4.(B(∗)) Calcolare l’integrale Z Z
E
(x + 2y) dxdy
dove E `e la regione di piano limitata dalle rette y = −2x − 3, y = x, y = −x.
——————————————————
(C(∗)) Determinare gli estremi della funzione
f (x, y) = 3x4+ y4− 2x2y2− 1
(D(∗)) Sia D l’insieme di definizione della funzione f (x, y) =p
1 − 4x2− y2; calcolare l’integrale
Z Z
D
f (x, y) dxdy
(∗) RECUPERO DEL SECONDO COMPITINO 2
