Contributi al legame fra campi finiti e gruppi di Frobenius.

Contributi al legame fra campi finiti e gruppi di Frobenius.

K. COm~ADI - ^F. KXI~TESZI ( B u d a p e s t ) ( * )

Dedicato al Professore B ~ I X ~ I ~ O S n ~ in occasione del suo 70 o compleanno

S u n t o . - Gli autori avevano dapprima ce~'cato una dimostrazione di carattere puramente geome.

trico deI teorema di Wedderburn ( al rigurado cir. altres~ [7]), volevano eio~ trovare una dimo- strazione da potersi dire (( naturale ~); to scopo per~ non @ stato ~aggiunto. Tuttavia qui si arreeano aleuni eontributi al tema suddetto, di earattere prevalentemente algeb~'ico, di eui detto particolareggiatamente ~ell' Introduzione.

I1 c o n t e n u t o in q u e s t a N o t ~ ~ pifl espositivo che n o n nuovo. I simboli u s a t i sono i m e d e s i m i di quelli che si t r o v a n o net lavoro di H I n , I, EI¢~ [3]. M~ in seguito userelno u n simbolo n u o v o : Har(q ). Se H < G * , d o v e con G* i n d i c h i a m o il g r u p p o m o l t i p t i c a t i v o di GF(q), il s o t t o c o r p o g e n e r a t o dagli e l e m e n t i di H viene indic~to con simbolo HGF(~ ) (**).

Ci sono diverse d i m o s t r ~ z i o n i dell~ c o m m u t ~ t i v i t ~ di GF(q) ~ dulla dimostr~- zione di VV~IT% sino allz d i m o s t r a z i o n e di BlCA~DIS [1] - - che h a p i ~ che a l t r o c a r a t - t e r e gruppMe, l~el]a p r i m a p a r t e della p r e s e n t e n o t ~ a g g i u n g e r e m o u n a osserva- zione al m e t o d o di BICANDIS. A t a l e seopo p r e m e t t i a m o lo s c h e m a dell~ d i m o s t r a z i o n e e le idee di ]31¢AI~DIS.

L~ seconda p a r t e contiene u n t e o r e m a , che a b b i a m o ¢ r o v a t o r e c e n t e m e n t e .

1. - OSSE~VAZt0~E 1. - Ogni sottogruppo di S y l o w det g r u p p o moltiplieativo G*

di GF(q) ~ eiclioo.

B~A~DIS h a consider~to t r a i GF(q)~ con G* n o n abeliano, quello u v e n t e m i n i m a cardin~lit~. Secondo ZASSE~AVS [6], consider~ndo la s t r u t t u r ~ dei s o t t o g r u p p i di SYLow del g r u p p o G*, r i s u l t a che ess~ h a le seguenti proprietY:

G*---- (a, b},

b - l a b = a~ , Ia*l = r a n ,

a . . . . b" ~ e , (e: e l e m e n t o n e u t r o ) ,

(m, ~ ( r - 1)) = 1, r~o-= 1 (m),

G*'---- (ce} , Z ( G * ) = (b~} , ]bst < [b] .

(*) E n t r a t a in Redazion~ il 17 aprile 1973.

(**) D~pprim~ con G/~(g) indichiamo corpo di GALOlS di ordine q.

122 ]~. CORRADI ^- F, K ~ T E S Z I : C o n t r i b u t i a l legame, e t c .

G* 6 non-~beliano, quindi m =/= 1. Considerando i s o t t o g r u p p i <abe>, <b> - - come osserva BI~A}TDIS - - essi sono m~ssimi nel senso t h e i d e t t i s o t t o g r u p p i n o n pos- sono essere s o t t o g r u p p i di u n s o t t o g r u p p o eiclico di G*. <abS>av(q) e <b}ar(q) sono abe- li~ni. Ne segue che i gruppi moltiplie~tivi di questi corpi sono sottocorpi eiclici di G*:

quelli che eontengono i gruppi <abe> e <b}. Riguardo ~lla massimalit~ dei gruppi:

(1.1) <ab'>~(~)

(1.2) <b>Fma ) = <b>. *

L ' o r d i n e di Z(GF(q)) siu indicato con qo. GF(q) 6 uno spazio v e t t o r i a l e di dimen- sione u sopra Z(GF(q)). Quindi q = I G F ( q ) l = q ~ . Essendo Z(GF(q))<<ab~>F~(q)n

?-~ <b>GF(q) , SJ h a ehe <ab~>aF(~) e <b}aF(~) sono sp~zi v e t t o r i a l i di dimensione v o rispet- t i v a m e n t e w sopr~ Z(GF(q)). Dalle (1.1), (1.2) segue:

I n tal modo (1.3)

8 *

I< ab }Gr(q)I = I<abS>[ : qo--" 1 , ]<b}*Gv(q)l = [(b>] = q~ ~ 1 .

IG*I = q ; - 1 = ]<a> I. ]<b>l = qg--1

qo--l" ( q ~ - 1).

I n virtfi della (1.3) e considerando l'unicitg della q0-esim~ potenza, risulta che u = v = w e cosi GF(q) = Z(GF(q)).

Questa contr~ddizione d i m o s t r a l'~sserto originale. P e r dimostrazioni vedi [3], p. 421.

2. - Sia dato u n corpo di Gatois, GF(q) con gruppo moltiplicativo G*. I n d i c h i a m o con G l'insieme definito da

= {(a,

GF(q)}.

6 u a sottoinsieme di G* ×GF(q). :Nell'insieme ~ i n t r o d a c i a m o un'operazione. Se (a, b) e G e (c, d) e (~, allora sia

(a, b). (c, d) ~ (ca, cb 4- d) .

L'insieme ~ r i s p e t t o a, quest'oper~zione - - come si vede f~Jcilmente - - 6 u n gruppo.

Siano /~ e _~ sottogruppi del gruppo ~ tall ehe

_ ~ {(a,

o * } ,

_~ ~ {(e, b)lb e G F ( q ) } ,

]~. CORRADI - F. K/[RTESZI: Contributi al legame~ etc. 123 d o v e 0 indica lo zero ed e indica l ' u n i t ~ di GF(q). Siano i n d i t a t i con _--~ e con GF(q)+ l~antiisomorfismo e r i s p e t t i v a m e n t e il gruppo a d d i t i v o di GF(q), allora /~

e P sono s o t t o g r u p p i di ~, i n o l t r e / ~ ~ G* e _P ---- GF(q)+. ~ ~ u n gruppo di F~O- BEfIT:S, m e n t r e / ~ ~ c o m p l e m e n t o di FROBE~IVS in esso, -P ~ il nucleo di Fgo~]~-

~ICS di ~. Seeondo a n t e o r e m a generale dei gruppi di F n o ] ~ E ~ v s : i g r u p p i di SY-

~ o w di J~ sono ciclici, e v e n t u a l m e n t e i 2-sylowiani di _F sono gruppi generalizzati dei quaternioni. Q u e s t ' u l t i m a a l t e r n a t i v a sara semplicemente da estludere.

Ora, seguendo il r a g i o n a m e n t o a b b o z z a t o della d i m o s t r a z i o n e di BlC~D~S, dal f a t t o t h e / ~ _~ G* segue che G* ~ u n g r u p p o abeliano e con questo 1~ c o n t r a d d i z i o n e

gi~ d i m o s t r a t a . Ma n o n ci si d e v e f e r m a r e a questo p u n t o !

Se G* b u n g r u p p o abeliano, ~llora G*__~/~, quindi i so%ogruppi di S~mow di G*

sono ciclici, e cosl G* ~ gruppo ciclico. Inoltre, dalle J~__~ GF(q)+ e /~ ~ G* segue t h e IF[ _~ 1K] + 1 ; quindi il gruppo _P dev'essere u n p - g r u p p o abeliano elementare.

Osserviamo che la e o m m u t a t i v i t ~ di _P segue dalla P ~ = G F ( q ) + ; e dal f a t t o che /~

n o n l~scia f e r m o a l c u n elemento di /~, segue che /0 dev'essere c a r a t t e r i s t i c a m e n t e semplice. D u n q u e m e d i a ~ e m e t o d o gruppale a b b i a m o o t t e n u t o il r i s u l t a t o : GF(q) h a c a r a t t e r i s t i c a p. I n u l t i m o luogo, essendo G* u n gruppo ticlico, si v e d e f a c i l m e n t e che GF(q) ~ d e t e r m i n a t o u n i v o c u m e n t e m e d i a n t e suo ordine (a meno di isomorfismi).

3 . - Ora parleremo b r e v e m e n t e di a n t e o r e m a di SITAl~A~ - - [ 4 ] , 1968 - - . Siano

G a n gruppo di FRO]3E~IVS, K e F c o m p l e t a m e n t e e r i s p e t t i v a m e n t e nucleo di esso.

<( Se G ~ finito, allora ta condizione necessaria e sufficiente affinch~ K sia abeliano:

1) F possieda u n s o t t o g r u p p o Fo tale che K sia t r a n s i t i v o su di esso, 2) se c (=/= e), d sono e l e m e n t i di ~o e r, s, t e K , allora da c ~ - e ~ c t segue

Questo risultato ~ estensibile ~1 cuso del gruppo infinito di FROBENIUS~ come pub- blicavano BuR~ e MADURAM [2].

Sarebbe interessante t r o v a r e e costruire u n a dimostrazione della c o m m u t a t i v i t ~ di GF(q) s f r u t t a n d o il risultato di S I T ~ R . ~ e la relazione G * ' n Z ( G ) = <e> che si pub o%enere dal t e o r e m a sopra citato di ZASSE:NHAUS.

4. - Aggiungiamo ancora u n t e o r e m a .

Sia G u n gruppo finito, E----<e). Si~ Z(G) il centro di G. Se A < G , sia A' il s o t t o g r u p p o dei c o m m u t a t o r i di A. Si consideri

,

I n o l t r e sia ~: 9/--~ ~ un'appticazione a v e n t e le seguenti proprietY:

1) se A e g l , allora A~<~(A);

2) se A~ B E ~ e B<~q~(A)~ allora A < ~ ( B ) .

124 K. COtCRADI ^- F. K~TESZI: Contributi al legame, eee.

TEOREMA. - Se A ~ , allora Ca(A)<9(A), dove Ca(A ) ~ centralizzatore di A in G.

DI~OS~I~AZlO~. - Si noti ora che, dalle 1) e 2) segue per ogIli A eg/:

(~.1) 9(A) = <DIDe91 , A < 9 ( D ) } .

I sottogruppi D sono quei gruppi abeliani che stanno in ~(A). Inoltre ogni gruppo generato da t u t t i i sottogruppi abeliani di esso. Considerando (4.1) si vede che nel caso ehe A , B e 9 1 e B < A , si ha ~(A)<q~(B).

I1 seguito della dimostrazione si divide in qua~tro parti.

a) Se G 6 gruppo abeliano, allora il teorema 6 valido. I n questo easo G eg/.

Quindi da eib e dalla propriet~ 1) segue che G<?(G), cio6 G----~(G). Alloru, seeondo l'ultima affermazione del precedente capoverso, per ogni A e ? / si ha ~(A)----G.

Cosi Ca(A ) = G = ~(A), dunque la tesi del ~eorema 6 vera.

Sia G controesempio minore relativo al teorema. In base ad a) G ' ¢ E. Sin H un sottogruppo prefissato di G.

b) CH(A)<~(A ) per ogni A < H , se A ' = E . Siano

x =

° ° '

{BIB

~ H = < •

L'applieazione ~H: 9~H->~n sia la seguente:

fief

~ H = ~c~ Ca.

5~ostreremo che ~H gode delle due propriet~ di F.

1) Se A ~9/H, allora A < C a ( A ). D'altra parte 9~a_c~. Cosl da A eg~ segue A <~(A). Dunque

A < ~ ( A ) (~ Ca(A ) = ~H(A) .

Cio6 ~n gode della proriet~ 1).

2) Se A , B EgA H e B < ~ ( A ) , aItora B < C ~ ( A ) e B < ~ ( A ) . Siceome A ' =

= B ' = E, in caso B < C n ( A ) risu]ta A < C ~ ( B ) . Inoltre B e ~ n e ~ _ c ~ , perb B < ~ ( A ) (in base a 2)) eib porta a: A < ~ ( B ) . I n tal modo si vede ehe

A < ~ ( B ) (~ Ca(B ) = q~H(B) . Dunque 7H gode della propriet~ 2).

K. C0]~lCADI - F. K~lCTESZI: Contributi al legame, eee. 125

Siccome q~ gode delte d u e p r o p r i e t ~ di ~ e, dalla scelt~ di G segue G ~ ( A ) < q ~ ( A ) = C~(A) (~ q~(A) ,

quindi C ~ ( A ) < ~ ( A ) p e r ogni A e g / ~ . L ' a f f e r m ~ z i o n e b) 6 cosl d i m o s t r ~ t a .

e) Se A egl e C a ( A ) ¢ G , allor~ Ca(A)<q~(A). Sia M u n s o t t o g r u p p o m~ssi- m a l e di G, t a l e che C a ( A ) < M . I n segui~o ~ b) con la scelta di H----M, ~vviene che:

C~(A)<q~(A). ~¢Ia dalla scelta di M segue: C ~ ( A ) = M ~ C ~ ( A ) = Ca(A), d u n q u e C ~ ( A ) < 9 ( A ). Cosi e) 6 dimostr~to.

d) Se A e g / e se p e r t~le A Ca(A ) = G, allora Ca(A ) = G = q:(A). P e r dimo- strarlo sia

M ~ <SI~ < V, A<S>.

D i s t i n g u e r e m o due casi. Se M~ = G, allor~ dalle rel~zioni S =/= G e Ca(A ) ---- G segue Cs(A)-~ S (~ Ca(A) ---- S ( ~ G .... S, cosl - - in seguito a b) - - , con la scelta H = S~

si h a S ' < ~ ( A ) . Ne segue

G:= <SIS< G, A <S}<q~(A) , d u n q u e Ca(A ) = G = q~(A).

F i n a l m e n t e r i m a n e il caso in cui M~ 6 u n s o t t o g r u p p o m a s s i m a l e di G. Nello stesso t e m p o M~ 6 l'unico di tipo d e t t o , che contiene A. Sia b e G - - M ~ a n e]emento piacere, ~llora G = <A, b}. lqel caso c o n t r a r i o <A, b} < M 2 , d o v e M~ 6 s o t t o g r u p p o m a s s i m ~ l e di G, M~ =/= M~ perch6 b ~ M~, m~ b e M~. Questo risultato c o n t r a d d i c e all'ipotesi r e l a t i v ~ a d M~. L e relazioni G = A<, b} e Ca(A ) = G dicono che G 6 abe- llano. :Ne segue - - c o m e a b b i a m o visto in a) ~ Ca(A ) = G = ~(A), per ogni A eg/.

D u n q u e d) 6 v e t o .

Come si v e d e c) insieme a d) contr~ddicono all~ scelt~ di G. Cosl it t e o r e m a 6 d i m o s t r a t o .

OSSElCVAZIO~E. -- A1 p o s t o della diseguaglianz~ n o n si p u b scrivere Ca(A ) ^{- ~} : ~(A), n e a n c h e nel caso se ~ ( A ) ~ G p e r ogni A e ~ . P e r p r o v a r e questo fat.to, sia G u n g r u p p o di FI~OBE~IUS con c o m p l e m e n t o H e nucleo E. S u p p o n i a m o che H 6 ciclico e E n o n 6 abeliano. Allora, se A ~9£ si h a A < E o A < K f, d o v e / ~ / ~ 6 u n elemengo o p p o r t u n o . Se A eg/, si~

/ / ' '

~(A)

/

]~ chiaro che nel caso A e91, se A < K ~, allora CG(A ) = K t = ~(A), m a dev'esistere u n t a l e A e g l , per cui A < E e C a ( E ) H E . I n easo eontrario P s a r e b b e abeliano.

126 K . CO~RAD~ - F. KIR~rESZ~: Contributi al legame, eve.

Gi~cch5 se A ~9~ e A<~F, si h~ C a ( A ) < F , segue che per ogni A di t~l tipo, Ca(A )

< F = ~(A).

COROL~A~O. - Siano 9~, ~, ~ gi~ definiti nel tcorem~. Si~ l~applic~zione y~: 9~ -->

t~le ehe du A eg~ segue F ( A ) ~ Ca(A). Se ~ ( 9 ~ ) ~ ~(~), ~ltora gli elementi fissi del- l~un~ e dell'~ltr~ sono gli stessi.

Secondo 1~ definizione di ~ e di % e c o m e conseguenz~ del t e o r e m % p e r ogni A ~ 9~ ~ v~lido

( , ) A < ~(A) < 9 ( A ) .

Considera.ndo ( , ) b a s t ~ v e d e r e che ogni e l e m e n t o fisso di ~ ~ e l e m e n t o fisso ~nche di ~. M~ A ~ e l e m e n t o fisso di F se e s o l t a n t o se A ~ u n s o t t o g r u p p o m a s s i m a ] e di G.

S u p p o n e n d o che A ~ u n tul e l e m e n t o che n o n ~ nello stesso t e m p o e l e m e n t o fisso di ~. Allor~ s~rebbe

A = v(A) < ~(A).

Ora, d~ ~ ( 9 ~ ) = ~(~) segue che esiste un A ~ E ~ per cui ~ ( A ~ ) = A. Allor~, consi- d e r a n d o l~ ]) p r o p r i e t ~ di ~, segue A~<~(A~)-~ A ~ ? ( A ) . D ' ~ l t r ~ p a r t e conside- r~ndo 1~ m o n o t o n i ~ - - secondo (1) - - , si v e d e che ? ( A ) < ~ ( A t ) . ]~ n o t o che A~ ~<A.

Cosi du un~ p u r t e ~ ( A t ) < ~(A) e d'altra, p~rte ~(A)<~f(A~). Questu contraddizione p r o w ]'~sserto origin~le.

B I B L I O G R A F I A

[1] A,. BRXNDIS, Ein gruppentheortischer Beweis ]i~r die Kommutativit~t endlicher Divisionringe, Abhandl. Math. Seminar Hamburg. Univ., 26 (1964), pp. 234-236.

[2] R. P. BURN - D. M. MXDV~XM, The ~robeni/~s-groups o] Sitaram, Le Mathematiehe, Sere. Mat. di Catania, 26 (1971), pp. 215-217.

[3] B. HvPe]~:, Endliche Gruppen, Springer Verlag, (1967).

[4] K. SITArS.M, On some special .Frobenius-groups, J. London Math. Soe., 43 (1968), pp. 577-582.

[5] E. ~VITT, Ube~ die Kommutativit~t endlieher Sehie]kSrper, AbhandL Math. Seminar Ham- burg. Univ., 8 (1931), p. 413.

[6] H. ZASS]~NHXVS, Uber endtiche ~astk6rper, Abhandl. Math. Seminar Hamburg. Univ., 11 (1936), pp. 187-220.

[7] B. SEGRE, Elemenli di gevmetria non tineare sopra un eo~'po sghembo, Rend. Circ. Mat.

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