1 Prodotto scalare

Federica Gregorio e Cristian Tacelli

1 Prodotto scalare

Definizione 1.1. Sia V uno spazio vettoriale reale. Un’applicazione

· : V × V → R (u, v) → u · v

si dice prodotto scalare se per ogni u, v, w ∈ V e λ ∈ R, valgono le seguenti propriet`a

(i) u · u ≥ 0 e u · u = 0 ⇔ u = 0;

(ii) u · v = v · u;

(iii) (λu) · v = λ(u · v);

(iv) (u + v) · w = u · w + v · w.

Osservazione 1.2. 0 · u = 0 per ogni u ∈ V . Infatti, 0 · u = (u − u) · u = u · u − u · u = 0.

Esempi 1.3. 1. V = Rⁿ. Si definisce prodotto scalare euclideo canonico per u, v ∈ Rⁿ

u · v = u₁v₁+ u₂v₂+ · · · u_nv_n=

n

X

i=1

u_iv_i.

2. Sia V = C([a, b], R), allora f · g =

Z b a

f (x)g(x) dx definisce un prodotto scalare.

3. V = R², allora

u · v = 3u₁v₁+ u₂v₂

`

e un prodotto scalare.

Definizione 1.4. Uno spazio vettoriale reale V `e detto spazio euclideo reale se dotato di un prodotto scalare.

Proposizione 1.5 (Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz). Sia V uno spazio euclideo reale. Allora per ogni u, v ∈ V

(u · v)² ≤ (u · u)(v · v). (1)

Proof. Se v = 0 allora la disuguaglianza `e ovvia. Sia v 6= 0, definiamo w = (v · v)u − (u · v)v. Per le propriet`a del prodotto scalare avremo

0 ≤ w · w = [(v · v)u − (u · v)v][(v · v)u − (u · v)v]

= (v · v)²(u · u) − (v · v)(u · v)²− (v · v)(u · v)²+ (u · v)²(v · v)

= (v · v)[(u · u)(v · v) − (u · v)²].

Poich`e (v · v) > 0 allora (u · u)(v · v) ≥ (u · v)². Dimostrazione alternativa.

Considiamo il vettore λu + v ∈ V , λ ∈ R. Abbiamo

0 ≤ (λu + v) · (λu + v) = λ²(u · u) + 2λ(u · v) + v · v che `e un polinomio di secondo grado in λ che `e sempre positivo se

∆ = (u · v)²− (u · u)(v · v) ≤ 0.

Definizione 1.6. Dato V uno spazio euclideo reale. Si definisce norma di u ∈ V il numero positivo |u| = √

u · u.

Propriet`a della norma. Per ogni u, v ∈ V e λ ∈ R vale (i) |u| ≥ 0;

(ii) |u| = 0 ⇔ u = 0;

(iii) |λu| = |λ||u|;

(iv) |u + v| ≤ |u| + |v| (disuguaglianza triangolare).

Osservazione 1.7. 1. Sia V uno spazio euclideo su R. Siano u, v ∈ V non nulli. Da (1)

(u · v)² ≤ |u|²|v|² ⇔ u · v

|u||v|

2

≤ 1 ⇔

−1 ≤ u · v

|u||v| ≤ 1 ⇔ ∃!θ ∈ [0, π]| cos θ = u · v

|u||v|.

Tale angolo viene definito l’angolo tra i vettori u e v. Si indica con θ = u, v.d

2. In Rⁿ il prodotto euclideo induce la norma euclidea. Per ogni x ∈ Rⁿ

|x| =√

x · x = v u u t

n

X

i=1

x²_i.

Definizione 1.8. Due vettori u, v ∈ V si dicono ortogonali se u · v = 0. Un vettore si dice normale se |u| = 1.

Dato un vettore u indichiamo con ˆu = _|u|^u il versore ad esso associato.

Osserviamo che |ˆu| = 1.

Proposizione 1.9. Sia S = {u₁, · · · , u_p} un sistema di vettori di V non nulli ortogonali. Allora S `e l.i.

Proof. Consideriamo una c.l. nulla λ₁u₁ + · · · + λ_pu_p = 0. Moltiplichiamo scalarmente per u_j, j = 1, · · · , p. Avremo

(λ₁u₁+ · · · + λ_ju_j+ · · · + λ_pu_p) · u_j = 0

da cui, per l’ortogonalit`a, λj(uj· uj) = 0 da cui λj = 0, j = 1, · · · , p.

2 Basi ortonormali

Definizione 2.1. Sia V uno spazio euclideo con dim V = n. Una base B = {u₁, · · · , u_n} si dice ortonormale se

ui· uj = δij =

(1 se i = j, 0 se i 6= j.

Teorema 2.2. Se B = {u1, · · · , un} `e una base ortonormale di V , allora preso v ∈ V si ha v = (v · u₁)u₁+ · · · (v · u_n)u_n.

Definizione 2.3. Si definisce proiezione ortogonale di v ∈ V sul vettore u ∈ V , il vettore proporzionale a u cos`ı ottenuto

proj_uv = v · u

|u|² u = (v · ˆu)ˆu

Proposizione 2.4. Il vettore v−proj_uv `e ortogonale alla retta U = span{u}.

Proof. Possiamo supporre |u| = 1. Sia λ ∈ R e λu ∈ span{u}. Allora (v − proj_uv) · (λu) = λ ((v − (v · u)u) · u)

= λ(v · u) − λ ((v · u)u · u) = λ(v · u) − λ(v · u) (u · u) = 0 poich´e u · u = 1.

Teorema 2.5 (Gram-Schmidt). Ogni spazio euclideo V di dimensione finita possiede una base ortonormale.

Proof. Sia B = {v₁, · · · , v_n} una base di V . Poniamo u₁ = _|v^v1

1|. Allora

|u₁| = 1. Sia

u⁰₂ = v₂− proj_u1v₂ = v₂− (v₂· u₁)u₁. Allora u⁰₂ · u₁ = v₂ · u₁ − v₂ · u₁ = 0. Pongo u₂ = _|u^u020

2|. Allora |u₂| = 1 e u₁· u₂ = 0. Sia

u⁰₃ = v3− proj_u1v3 − proj_u2v3 = v3− (v3· u1)u1− (v3· u2)u2. Allora u⁰₃· u₁ = v₃· u₁− v₃· u₁ = 0 e u⁰₃· u₂ = v₃· u₂− v₃· u₂ = 0. Pongo u3 = _|u^u030

3|. Allora |u3| = 1 e u1 · u2 = u1· u3 = u2· u3 = 0.

Al j−simo passo si ha

u⁰_j = v_j − proj_u1v_j − proj_u2v_j − · · · − proj_uj−1v_j e u_j = ^u

0 j

|u⁰_j|. Si ottiene cos`ı un sistema di n vettori ortonormale quindi l.i. e quindi una base per V .

Definizione 2.6. Sia W un sottospazio vettoriale di uno spazio euclideo V . Allora

W^⊥= {v ∈ V : v · w = 0, ∀ w ∈ W } si dice sottospazio ortogonale a W .

Osservazione 2.7. 1. W^⊥`e un sottospazio vettoriale di V . Infatti, siano u, v ∈ W^⊥. Allora per ogni w ∈ W

(u + v) · w = u · w + v · w = 0.

Quindi u + v ∈ W^⊥. Per ogni u ∈ W^⊥, λ ∈ R, λu · w = λ(u · w) = 0.

Quindi λu ∈ W^⊥.

2. Sia W un sottospazio di V e B = {u₁, · · · , u_p} una base di W . Un vettore v appartiene a W^⊥ se e solo se v · u_j = 0 per ogni j = 1, · · · , p.

3. Ogni spazio euclideo V di dimensione finita si pu`o rappresentare come somma diretta di un suo sottospazio vettoriale W e di W<sup>⊥</sup>, cio`e

V = W ⊕ W^⊥.

3 Esempio

Siano dati i sottospazi di R⁴

V :

(x + 2y + t = 0

−x + 3y + 3z + t = 0 , W = h(3, 1, −3, 1), (1, −1, 1, 1), (4, 0, −2, 2)i.

a) Determinare una base ortonormale di V^⊥+ W . b) Dire se V^⊥+ W `e somma diretta.

c) Calcolare una base di V^⊥∩ W .

Proof. a) Una sistema di generatori di V^⊥`e dato dai vettori riga della matrice associata al sistema che determina V . Quindi V^⊥= h(1, 2, 0, 1), (−1, 3, 3, 1)i.

Essendo tali vettori l.i. costituiscono anche una base per V^⊥, B_V^⊥ = {(1, 2, 0, 1), (−1, 3, 3, 1)}.

Calcoliamo ora la dimensione ed una base di W . Il sistema di generatori di W ha rango 2 (osserviamo che il terzo vettore `e combinazione lineare dei primi due), quindi due generatori di W , che siano l.i., costituiscono una base per W . B<sub>W</sub> = {(3, 1, −3, 1), (1, −1, 1, 1)}. Poich`e V^⊥+W = hB_V^⊥∪B_Wi abbiamo V^⊥ + W = h(1, 2, 0, 1), (−1, 3, 3, 1), (3, 1, −3, 1), (1, −1, 1, 1)i. Calcoliamo il rango di tali vettori









1 2 0 1

−1 3 3 1

3 1 −3 1

1 −1 1 1

















1 2 0 1

0 5 3 2

0 0 ¹⁴₅ ⁶₅

0 0 0 0







 .

Poich`e nella riduzione a scalini fatta si sono svolte operazioni che coinvol- gevano solo righe, si possono prendere le righe non nulle della matrice a scalini come vettori base dello spazio V^⊥ + W (eventualmente moltiplicati per uno scalare). Quindi B_V^⊥_+W = {(1, 2, 0, 1), (0, 5, 3, 2), (0, 0, 7, 3)}. Trovi- amo adesso una base ortonormale di V^⊥+ W .

Abbiamo v₁ = (1, 2, 0, 1), v₂ = (0, 5, 3, 2), v₃ = (0, 0, 7, 3).

u₁ = v₁ ˆ

u₁ = u₁

|u₁| = 1

√6(1, 2, 0, 1)

u2 = v2− hv2, ˆu1iˆu1 = (0, 5, 3, 2) − 1

√612 1

√6(1, 2, 0, 1) = (−2, 1, 3, 0) ˆ

u₂ = u₂

|u₂| = 1

√14(−2, 1, 3, 0)

u₃ = v₃− hv₃, ˆu₁iˆu₁− hv₃, ˆu₂iˆu₂

= (0, 0, 7, 3) − 3

√6

√1

6(1, 2, 0, 1) − 21

√14

√1

14(−2, 1, 3, 0) =

= 5

2(1, −1, 1, 1)

ˆ

u₃ = (1, −1, 1, 1)

|(1, −1, 1, 1)| = 1

2(1, −1, 1, 1)

Una base ortonormale `e data da B_V^⊥_+W = {ˆu1, ˆu2, ˆu3}.

b) Abbiamo dim V^⊥ = 2, dim W = 2 e dim(V^⊥+ W ) = 3 inoltre poich`e dim(V<sup>⊥</sup>+W ) = dim(V<sup>⊥</sup>)+dim(W )−dim(V<sup>⊥</sup>∩W ) abbiamo dim(V<sup>⊥</sup>∩W ) = 1. La somma non `e diretta.

c) Troviamo una rappresentazione cartesiana di V^⊥.





1 2 0 1

−1 3 3 1 x y z t





r2→r₂+r1

r3→r3−xr1





1 2 0 1

0 5 3 2

0 y − 2x z t − x





r3→r₃−^(y−2x)

5 r2





1 2 0 1

0 5 3 2

0 0 z − ³₅(y − 2x) t − x −²₅(y − 2x)



 Quindi

V^⊥ : 6x − 3y + 5z = 0

−x − 2y + 5t = 0

Possiamo calcolare una rappresentazione cartesiana di V^⊥ a partire da una rappresentazione parametrica di V nella seguente maniera. Assicuratoci che

le 2 equazioni che determinano V sono l.i. possiamo scrivere

V :

(x + 2y + t = 0

−x + 3y + 3z + t = 0 ⇒











x + 2y = −µ

−x + 3y = −3λ − µ z = λ

t = µ

⇒











x = ⁶₅λ −¹₅µ y = −³₅λ − ²₅µ z = λ

t = µ da cui B_V = {(6, −3, 5, 0), (−1, −2, 0, 5)}. Quindi

V^⊥ = {(x, y, z, t) ∈ R⁴| h(x, y, z, t), (6, −3, 5, 0)i = h(x, y, z, t), (−1, −2, 0, 5)i = 0} che `e esattamente la stessa equazione cartesiana per V^⊥ ottenuta con il metodo della riduzione a scalini.

Consideriamo ora il generico vettore di W

a(3, 1, −3, 1) + b(1, −1, 1, 1) = (3a + b, a − b, −3a + b, a + b) a, b ∈ R ed imponiamo che soddisfi le equazioni che determinano V^⊥

 6(3a + b) − 3(a − b) + 5(−3a + b) = 0

−(3a + b) − 2(a − b) + 5(a + b) = 0

che ha come soluzioni b = 0 e a ∈ R. Quindi V^⊥∩ W = {(3a, a, −3a, a) | a ∈ R}, ed una base `e data da B_V^⊥∩W = {(3, 1, −3, 1)}.