Prodotto scalare , vettoriale

(1)



Prodotto scalare , vettoriale



Mutua posizione retta-piano



Parallelismo, ortogonalità rette e piani

ESERCITAZIONE N.6

19 aprile 2010

1.

PRODOTTO SCALARE DI VETTORI

uv=|u| |v| cos  con 0 

 il prodotto scalare è un numero

 uv =0  u  v ( u≠ 0,  v ≠ 0)

2.

PRODOTTO VETTORIALE DI VETTORI

uxv = (a₂b₃-a₃b₂, -( a₁b₃-a₃b₁), a₁b₂-a₂b₁)

v

u

= u v

^{u=( a}¹^{, a}²^{), v= (b}¹^{, b}²^{) in R}²

u=( a1, a2, a3), v= (b1,b2,b3) in R³ uv = a1b1+a2b2

uv = a1b1+a2b2 +a3b3

u=( a1, a2, a3) v=( b₁, b₂, b₃) in R³

Minori a segno alterno di



 





3 2 1

b b b

a a a vettore

(2)

2

 uxv è il vettore così definito:

- direzione  u, v

- verso t.c. u, v, uxv formino terna dx

- modulo=|u||v|sen uv (=area parallelogramma di lati u,v)

 uxv =0 ( vettore nullo) <=> u parallelo a v

3. INDIVIDUAZIONE DEL PIANO tramite vettore normale + pto





: ax+by+cz+d=0 => N_ =(a,b,c) v

u uxv

v u

vxu



^P ^Q

N

N= (a,b,c) vettore ortogonale ad ogni retta di  (ad ogni vettore della giacitura D())

Q(x0 , y0 , z0 ) pto di  P(x,y,z) pto corrente su 

 N  P-Q =0

 (a,b,c)( x- x0, y- y0, z- z0)=0

 a(x- x0)+ b(y- y0)+c(z- z0)=0 equazione cartesiana di 

3

ESERCIZIO 1.

parallelismo- ortogonalità

Dire se esistono valori reali di  tali che la retta r

_

:















0 λz y λx

λ z λy

λx

e il piano 



: x+y+z=1 soddisfino:

a) r

_

parallela a 

_

b) r

_

contenuta in 

_

c) r

_

ortogonale a 



r

_

parallela a 





u_r N



u_r ^N ^⁰

Determinazione di u

r

Se la retta è intersezione di due piani  e  => un vettore u direzionale della retta è t.c.

u  N



, u  N



 si può scegliere u= N

_

x N

_

r

u N



(3)

Troviamo

u tramite il prodotto vettoriale : r_

minori a segno alterno della matrice

_



 









 1

1

r

u _=(-

²

_{-1, +}

²

_{, -}

²

₎



N =(,1,1) ( coefficienti a, b,c del piano )

  0



N



u

_r

_{ (-}

²

_{-1, +}

²

_{, -}

²

) (,1,1) =0   (1-)(1+) =0

  =0,1,-1

Risposta ad a) : r

_

parallela a 

_

  =0,1,-1

b) Se r

_

è contenuta in 



, allora necessariamente deve essere

u_r N

. Quindi cerchiamo tra i valori  =0,1,-1 trovati in a)

  =0: r

0

:







 0 0 y

z

, 

0

: y+z=1 , r

0

 

0

=   r

0

non giace in 

0

  =1: 

1

: x+y+z=1 , r

1

:

















 : 0

: 1 z y x

z y

x

 r

1

:   con  =

1

 r

1

giace in 

1

  =-1: 

-1

: -x+y+z=1, r

-1

:

















*

: 0

: 1



 z

y x

z y

x

 le equazioni di 

^*

e 

-1

sono incompatibili  r

-1

 

-1

=   r

-1

non giace in 

-1

Risposta ad b) : r contenuta in    =1

c) r

_

ortogonale a 

_



ur_

è parallelo a

N_

  ( 0 , 0 , 0 )



x N



u

_r

_



 



   

1 1

1

: - ² ² ²



x N

u_r

u_r_xN__ ⁽²²^,³²²¹^,³²²¹⁾

u_r_x N_ ^⁽⁰^,⁰^,⁰⁾

















...

0 1 2 0 2

2 3 2













 ...

0 1

 0

: sistema incompatibile

Risposta a c)

Non esistono  reali t.c. r

_

sia ortogonale a 

_

N

ur



(4)

6

ESERCIZIO 2.

Rette e Piani affini paralleli

Siano  il piano di R³ di giacitura D()=<(1,0,1),(0,1,-1)>, e passante per P(1,0,0), rla retta passante per i pti A(-4,1,2), B(2,2,6). Stabilire se // r, e in caso contrario determinare il pto  r.

Invece dei vettori usiamo la caratterizzazione con la giacitura Ci sono 3 situazioni possibili :

r la retta passante per i due pti A(-4,1,2), B(2,2,6)



D(r) = <B-A>= <(6,1,4)>

D()=<(1,0,1),(0,1,-1)>

(6,1,4)  <(1,0,1),(0,1,-1)> ? no !

D(r) D() D() D(r)=(0,0,0)

7

(6,1,4) non è C.L. di (1,0,1),(0,1,-1) D()D(r) =(0,0,0)

 il piano di R³ di giacitura D()=<(1,0,1),(0,1,-1)>, e passante per P(1,0,0) ha equazioni parametriche :













 q t z

q y

t x 1

Passiamo dalle parametriche alle cartesiane: eliminando i parametri t, q : y+z=r = x-1

  : -x+y+z=-1 è il piano in forma cartesiana.

r la retta passante per i due pti A(-4,1,2), B(2,2,6)



D(r) = <B-A>= <(6,1,4)>^(*)



r: A+t(B-A)



r: (x,y,z) R³ | x=-4+6t, y=1+t, z=2+4t 

rappresentazione parametrica di r che ci dà l’espressione del generico pto di r.

Cerchiamo t R t.c. P(-4+6t, 1+t, 2+4t)   : x-y-z-1=0 : -4+6t-1-t-2-4t-1=0  t=8

Il pto di intersezione   r è quindi P(-4+6t, 1+t, 2+4t) con t=8

 P(44,9,34).

(*)N.B. D(r) =<A-B>=<(-6,-1,-4)>=<(12,2,8)>… tutti vettori tra loro proporzionali !

(5)

ESERCIZIO 3.

Problemi di parallelismo-giacenza

Siano date le rette r:

















0 z - 2x

0 1 - z 2y - : x s , 1

0

z t y x

.

a) Determinare l’equazione cartesiana di tutti i piani paralleli ad r ed s.

b)

Tra i piani determinati in a) ne esiste uno contenente

la retta q:











1 4 2 3

t z

t y

t x

?

a) r//  D() D(r) ( generico piano // r,s) s//  D() D(s)

D() =<v,w> con v D(r), w D(s)

Ma poichè è richiesta l'equazione cartesiana può essere più rapido utilizzare i vettori: un vettore normale dei piani cercati è u

_r

x u

_s

.Determiniamo u

_r

, u

_s

:

1 0 :









z t y x

r

 r: (0,0,1)+<(0,1,0)> =>

D(r) = <(0,1,0)> <=> u

r

=(0,1,0)

D(r)

 

 







 







1 0 2

1 2 : 1

u 0

z - 2x

0 1 - z 2y - : x

s

_s

=> u

_s

= (2,3,4)

N= u

r

x u

s





 





4 3 2

0 1 0

N= (4,0,-2)

 Tutti i piani sono: 4x-2z+d=0 al variare di dR

 Con la tecnica della giacitura:

D() =<v,w> con v D(r), w D(s) =>

D

(): a(0,1,0)+b(2,3,4) =>

=> Eq.par. di

D

(): x= 2b, y=a+3b,z=4b

=> eliminando i parametri Eq. cart. di

D

(): z=2x => Tutti i piani sono: 2x-z+d=0 al variare di dR ... Coincidono con i precedenti ? sì !

N= (4,0,-2)

o anche N=(2,0,-1)

b) Tra i piani del tipo d: 2x-z=d ne esiste uno che contiene

la

retta











 1 4 2 3 t z

t y

t x

?

La condizione necessaria e sufficiente è:D(r)  D(

d

) ………... (3,2,4)  2x-z=0 ? no !

Allora non esiste nessun d che soddisfa il quesito !

Prodotto scalare , vettoriale