© 2012 Cristian Lucisano Editore • LE BASI DI FISICA - Aldo Marinoni
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Il prodotto per uno scalare e il prodotto tra vettori
Prendendo in esame enti matematici composti di tre caratteristiche come i vettori, che sono descritti da una direzione, espressa come un angolo, un verso, defi nito dai segni + e -, e da un numero scalare di valore assoluto, accade che il prodotto tra vettori assuma diversi signifi cati.
Il caso più semplice è il prodotto tra un vettore per uno scalare.
in questo caso l’operazione che si compie è quella di moltiplicare il valore scalare del vettore a per il valore numerico c e il segno positivo o negativo di c renderà positivo o negativo il verso del vettore
Se il valore di c è zero, il prodotto sarà zero.
Un esempio di tale prodotto tra un vettore e uno scalare è dato dalla defi nizione di quantità di moto che è il prodotto del vettore v e del valore non vettoriale della massa m.
Quantità di moto
in questo caso la quantità di moto ha modulo pari al prodotto tra il modulo della velocità e il valore della massa, direzione uguale a quella del vettore e verso anch’esso uguale al verso del in quanto si assume che il valore positivo della massa non cambia il segno del modulo prodotto.
Un caso diverso è il prodotto scalare di due vettori.
Se consideriamo due vettori che defi niscono un prodotto tra loro, entrano in gioco nel calcolo anche le loro rispettive direzioni e versi.
È necessario cioè, nell’effettuare il prodotto dei loro valori scalari, considerare anche le direzioni che essi hanno l’uno rispetto all’altro.
Per esempio, se consideriamo il caso pratico di voler spingere un carrello della spesa in direzione della cassa del supermercato, possiamo decidere ottusamente di spingere il carrello verso il basso.
In questo caso, anche appendendoci con tutto il nostro peso al carrello faremo poca strada poiché avremo diretto la nostra forza perpendicolarmente alla direzione dello spostamento richiesto per dirigerci alla cassa.
Lo spostamento sarà nullo.
All’opposto se spingiamo nell’esatta direzione della cassa, il carrello accelererà nella direzione voluta.
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Il prodotto per uno scalare e il prodotto tra vettori
La differenza tra i due casi estremi è determinata dall’angolo di applicazione della nostra forza rispetto allo spostamento verso la cassa.
Esiste una defi nizione per ciò che in entrambi i casi abbiamo fatto col carrello: abbiamo compiuto un lavoro.
Il lavoro si defi nisce come prodotto scalare tra il vettore forza e il vettore spostamento.
Come già detto, la direzione di applicazione della forza darà uno spostamento 0 nel primo caso analizzato, mentre nel secondo si otterrà uno spostamento con un’accelerazione massima, ossia nel secondo caso tutta la forza applicata al carrello agirà nella direzione della cassa.
Tra i due casi estremi esistono infi niti casi intermedi distinti da ogni angolo preso a piacimento tra la direzione della spinta da noi applicata e la direzione impressa al carrello.
Quanto più vicino a 90 gradi sarà l’angolo tanto minore sarà la frazione della forza impressa in direzione dello spostamento (componente).
In ultima analisi, si defi nisce prodotto scalare di due vettori e , il prodotto tra i moduli dei due vettori e il coseno dell’angolo fra e
a · b = ab cos
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Il prodotto per uno scalare e il prodotto tra vettori
In fi ne, prendiamo in considerazione il prodotto vettoriale tra due vettori.
Il prodotto vettoriale tra due vettori × è il vettore di direzione perpendicolare al piano
individuato dai due vettori e .
Esso ha verso defi nito dalla regola della mano destra o della vite destrorsa.
indica che il verso positivo (verso del dito pollice) è dato con l’angolo compreso tra e con che si avvicina a ruotando in senso antiorario.
viceversa ha verso positivo con a che si avvicina ad A ruotando in senso antiorario.
=
