Elettrotecnica
Introduzione ai circuiti
Prof. Massimiliano de Magistris
massimiliano.demagistris@uniparthenope.it
Circuiti a regime, regime sinusoidale e fasori Università di Napoli PARTHENOPE
Dipartimento di Ingegneria
Ci occupiamo ora dei circuiti dinamici lineari nella condizione di
“regime”, quando i transitori legati alle condizioni iniziali della dinamica si sono estinti.
Metteremo anzitutto in evidenza che per i circuiti lineari il
regime è sempre “isomorfo” rispetto ai forzamenti, e dunque a generatori costanti corrisponde un regime stazionario ed a
quelli sinusoidali corrisponde un regime sinusoidale.
Introdurremo un metodo, detto simbolico o dei fasori, che
consente di ricavare la soluzione in regime sinusoidale in modo puramente algebrico, evitando l’uso di derivate ed equazioni
differenziali.
Analizzeremo l’espressione della potenza media assorbita in regime sinusoidale legandola alla rappresentazione dei fasori mediante la potenza complessa.
Circuiti a regime, regime sinusoidale e fasori
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Unità 1: regime nei circuiti lineari, regime stazionario, regime sinusoidale, metodo simbolico;
Unità 2: equazioni circuitali nel dominio dei fasori, circuiti di impedenze, diagrammi fasoriali;
Unità 3: potenza in regime sinusoidale e potenza complessa.
Circuiti a regime, regime sinusoidale e fasori
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Unità 1:
Regime nei circuiti lineari, regime stazionario;
Regime sinusoidale, metodo simbolico.
Circuiti a regime, regime sinusoidale e fasori
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Abbiamo già visto che la soluzione dinamica di un circuito lineare presenta due termini, di cui uno è detto “transitorio”
per la sua espressione evanescente rispetto al tempo:
! !
( ) t( ) r( ); ( ) lim ( )r
regime t transitorio
x t x t x t x t x t
= + " ®¥
Il termine transitorio, dipende dal valore iniziale delle
grandezze del circuito, e tende a zero per t → ∞ a causa della dissipazione nei resistori e della passività degli elementi
dinamici. Viceversa il termine di regime (permanente) dipende solo dai generatori indipendenti rappresenta ciò che resta della soluzione quando il transitorio si è estinto completamente.
Abbiamo inoltre già osservato che, per circuiti lineari:
– tensioni/correnti impresse stazionarie à regime stazionario – tensioni/correnti impresse sinusoidali à regime sinusoidale
Circuiti lineari a regime
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Analizziamo il caso stazionario: sia C un circuito lineare con resistori, condensatori ed induttori e generatori unicamente
stazionari, supposto a regime. Per i condensatori e gli induttori si ha:
cost C
C C C
v V i C dv
= = Þ = dt 0 circuito aperto
cost L
L L L
i I v L di
dt
= Û
= = Þ = = 0 Û corto circuito
+-
Cd
+-
c.c.
Ca
c.a.
Circuito dinamico e suo corrispondente stazionario
La soluzione di regime stazionario di un circuito dinamico si trova
risolvendo il circuito ausiliario a- dinamico nel quale i condensatori sono sostituiti da circuiti aperti e gli induttori da corto circuiti.
Circuiti lineari in regime stazionario
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Consideriamo un semplice esempio: posto E=10 V, R1=2 W, R2=4 W, R3=6 W, L1=1 µH, L2=10 µH, C=50 µF.
Il circuito a-dinamico corrispondente è rappresentato in basso.
La sua soluzione può essere ottenuta utilizzando le regole dei partitori e delle equivalenze serie-parallelo. Operando così si ottiene: IL = 25/27 A, I3 = 0.74 A, VC = 8.15 V. La soluzione è indipendente dai valori di capacità e induttanza!
Circuito dinamico e suo corrispondente stazionario
IL
+ E +
-
R1 R2
C L1 R3
R3
L2
R2
I3
- VC
IL
+ E +
-
R1 R2
R3
R3 R2
I3
- VC
Circuiti lineari in regime stazionario/2
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Consideriamo un circuito dinamico lineare con generatori indipendenti sinusoidali alla stessa pulsazione ω
(isofrequenziali), che assumiamo a regime. Le tensioni e le correnti del circuito variano sinusoidalmente nel tempo.
Una funzione (del tempo) sinusoidale ha in generale la forma:
Generica funzione sinusoidale del tempo
( )
m cos( )
m cos 2( )
a t = A
w
t +a
= Ap
f t× +a
Am è l’ampiezza, w la pulsazione, f la frequenza (con w=2pf), a la fase iniziale. a(t) è evidentemente una funzione periodica
con periodo T=2π/ω, essendo a(t+T)=a(t).
t a(t)
Amcosa
T=2p /w Am
Circuiti lineari in regime sinusoidale
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Fissata la pulsazione ω (che è imposta dai generatori), ogni tensione ed ogni corrente sinusoidale è caratterizzata
unicamente dall’ampiezza e dalla fase iniziale. Sulla base di ciò è possibile istituire una corrispondenza tra le grandezze
sinusoidali ed i numeri complessi:
( )
m cos( )
m ja t = A
w
t +a
« A = A e aIl numero complesso Ameja è detto fasore rappresentativo di a(t). La regola produce una corrispondenza biunivoca tra
l’insieme delle funzioni sinusoidali di pulsazione assegnata ω, {a(t)=Amcos(ωt+α)} e l’insieme dei fasori {Ameja}.
Utilizzando la formula di Eulero e l’operatore parte reale si ha:
( )
{ } ( )
a
w
a a a a
w a
= = + = +
= = +
cos sin cos sin
( ) Re cos
j
m m m m
j t
m
A A e A j A jA
a t Ae A t
Metodo simbolico
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La corrispondenza considerata gode di tre importanti proprietà:
1) biunivocità: ( ) m cos
( )
( ) m cos( )
j j
m m
a t A t b t B t
A A e a B B e b
w a w b
= + = = +
= = =
! 2) linearità:
3) “derivazione”:
( )
{
1 2}
1( )
2( )
Re k A k B e+ j tw = k Am cos
w
t +a
+ k Bm cosw
t +b
( ) ( ) ( )
( )
a pw a w w a w w a p
w a w + w
é + ù = + = + +
ë û
é ù
= ë + û « = ( / 2) =
cos - sin cos / 2
( ) cos
m m m
j
a m a m
d A t A t A t
dt
d t d A t D A e j A
dt
Metodo simbolico/2
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La corrispondenza è dunque un isomorfismo lineare, che rende algebrica, nel dominio simbolico, l’operazione di derivazione!
Su ciò si costruisce un metodo per l’analisi dei circuiti lineari in regime sinusoidale basato sui fasori, al solo prezzo di utilizzare grandezze complessa anziché reali.
Ricordiamo che i numeri complessi, con le usuali operazioni algebriche, costituiscono un campo, per il quale valgono le
stesse proprietà di quello dei numeri reali. Ciò dà il vantaggio di operare algebricamente nel modo usuale.
Rappresentazione della corrispondenza tra dominio del tempo e dei fasori
dominio del tempo
dominio dei fasori a(t)=Amcos(wt+a) A=A_ meja
Metodo simbolico/3
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Verifichiamo ora con l’esempio in figura le potenzialità del
metodo. Considerata la LKT all’unica maglia, le caratteristiche dei bipoli e supposta i(t) sinusoidale:
Un circuito dinamico RL
con forzamento sinusoidale
e(t)=Emcos
w
t+ -
R
L
i(t)
( ) ( )
( )
22
1
cos
cos
tan
j
m m
m m
m m
j m
m
i t I t I I e
Ri L di E t RI j LI E
dt
I E
R L
I I e E
R j L L
R
a
a
w a
w w
w
w a - w
= + « =
+ = « + =
ì =
ï +
= = + Û íïïïî = - æçè ö÷ø
Allo stesso risultato si perviene, con calcoli più onerosi, con le derivate nel dominio del tempo, come visto in precedenti
esempi.
Metodo simbolico/4
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Unità 2:
Equazioni circuitali nel dominio dei fasori, circuiti di impedenze, diagrammi fasoriali
Circuiti a regime, regime sinusoidale e fasori
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Considerato ora un generico circuito lineare di l bipoli in regime sinusoidale, tutte le tensioni vk(t) e le correnti ik(t) sono
sinusoidali e se ne possono definire i fasori corrispondenti:
( ) ( )
cos( ) 1, 2, ..., cos( ) 1, 2, ...,
k
k
j
k mk k k mk
j
k mk k k mk
v t V t V V e k l
i t I t I I e k l
a b
w a w b
= + « = =
= + « = =
Il modulo (nonché parte reale e parte immaginaria) dei fasori delle intensità di corrente, è dimensionalmente omogeneo ad una corrente e si misura in ampere (A); quello dei fasori delle tensioni è omogeneo dimensionalmente ad una tensione e
quindi si misura in volt (V).
Fasori e circuiti di impedenze
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Le equazioni circuitali, riformulate in modo che le incognite siano direttamente i fasori, producono un sistema algebrico lineare in cui le incognite sono complesse!
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
0 0
0 0
cos cos
k k
k k
k k
k k
k k
k k k k k k
k k k k k k
k k k k k k
k mk k k k mk j
k mk h k k mk j
i t I
v t V
v R i V R I
i C dv dt I j C V
v L di dt V j L I
v E t V E E e
i J t I J J e
a b
w w w a
w b ü ì
± = ± =
ï « ï
ý í
± = ï ï ± =
þ î
= ü ì =
ï
= ïý « í =
ï ï
= þ î =
ü ì
= + = =
ý « í
= + þ î = =
å å
å å
Fasori e circuiti di impedenze/2
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Le equazioni circuitali nel dominio dei fasori hanno dunque la stessa struttura di quelle di un circuito resistivo lineare. Infatti osserviamo che, nel dominio dei fasori, le caratteristiche dei bipoli lineari elementari R,L,C sono tutte del tipo:
Resistore
; 1 Condensatore
Induttore R
V ZI Z
j C j L
w w
ì ®
= = ïïí ®
ïï ®
î
! !
L R
C iL
iC
iR +
- +
- +
- vR
vL
vC
+
- Z.
+
- Z.
+
- Z.
V/ I=R_ _
V/ I=j_ _ wL
V/ I=1/(j_ _ wC)
Impedenze dei bipoli elementari
Fasori e circuiti di impedenze/3
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{ } { }
; Re resistenza; Im reattanza Z! = R + jX R = Z! " X = Z! "
{ }
1 ammettenza{ }
Re conduttanza; Im suscettanza
Y Z
G Y B Y
=
= =
! ! "
! " ! "
Il reciproco dell’impedenza è invece chiamato ammettenza
La grandezza complessa Z, definita come rapporto tra il fasore della tensione e della corrente, prende il nome di impedenza
del corrispondente bipolo.
La parte reale, la parte immaginaria ed il modulo
dell’impedenza sono dimensionalmente omogenee con una resistenza e dunque si misurano in ohm (W).
Per una generica impedenza si definiscono:
Fasori e circuiti di impedenze/4
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Considerato un generico bipolo, i fasori relativi alla sua tensione e la sua corrente e la relativa impedenza, si ha:
( ) ( ) ( )
; ;
arg arg arg
j j
m m
m m
V ZI V V e I I e
Z V I V I
Z V I
Z V I
a b
a b f
= = =
ì = =
= ® íï
= - = -
ïî
!
! !
! "
Una generica impedenza ed il corrispondente diagramma dei fasori
La differenza tra la fase della tensione a e quella della corrente b è detta sfasamento ed indicata con f. Vedremo più avanti che esso riveste un ruolo importante in relazione alla potenza
media assorbita.
Re I
V
_ _
a
b Im
f I_
+
- V_
Z.
Diagrammi fasoriali, sfasamento
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Per i bipoli elementari R,L,C si ha:
( ) ( ) ( )
Resistore ; =arg 0
Induttore ; =arg 2
Condensatore ; =arg 2
R R
L L
C C
V Z I RI Z
V Z I j LI Z
V Z I j I Z
C
f a b
w f a b p
f a b p
w
® = = = - =
® = = = - =
® = = - = - = -
! !
! !
! !
Diagrammi dei fasori e relative sinusoidi per i bipoli
elementari R,L,C.
t
resistore
v(t) i(t)
t
induttore
v(t) i(t)
t
condensatore
v(t) i(t)
Re I
_ V
_
Re I
V _
_
Re I
V _
_ a b
b
a
b a
Diagrammi fasoriali, sfasamento/2
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Possiamo ora utilizzare quanto visto risolvendo con il metodo dei fasori i circuiti in regime sinusoidale:
–costruiamo il circuito di impedenze C∗ω corrispondente a quello originale Cω con le regole viste;
–lo risolviamo in modo analogo ad un circuito resistivo, determinando i fasori delle correnti e delle tensioni;
–la soluzione del circuito originale è data nel dominio del tempo dalle sinusoidi corrispondenti ai fasori trovati.
È importante osservare che, per quanto visto, al circuito di
impedenze possiamo applicare tutti i risultati e le metodologie sin qui trovati per i circuiti resistivi lineari, dunque le
equivalenze serie/parallelo, Thévenin/Norton, sovrapposizione, equivalenze stella/triangolo, i metodi dei potenziali di nodo e delle correnti di maglia etc.
Circuiti di impedenze
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Le tre impedenze ZR, ZL, ZC sono in parallelo con il generatore di corrente J; applicando la regola del partitore di corrente:
1
3
/ 2
tan (0.5)
0.46 2.03
0.64
2 ; 2 mH; 0,25 mF; 2 A; 10 rad/s
2 2 ; 2; 2 ; 4
8 8 4 4
2 4 5 5
1.79 3.58
2 8 4 2 2
5
R L C
R C eq
R C
L
L
m j
j
j j
eq
j eq
R L C J
J e j Z Z j Z j
Z Z j j
Z e
Z Z j
Z e e
I J j
j e
Z Z j
p
w
-
-
-
- -
= W = = = =
= = - = = = -
= = - = - =
+ -
= = - = =
+ - +
! ! !
! ! !
! !
!
! ! 2.67
2.67
1.79
1.79 ( ) 1.79 cos(1000 2.67)
L L
j
j
e
I e i t t
-
= - ® = -
Circuito in regime sinusoidale e
corrispondente circuito di impedenze
L
R C Z.L
j(t) Z.R
Z.C J_
iL(t) I_L
Circuiti di impedenze: un esempio
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Unità 3:
Potenza in regime sinusoidale e potenza complessa.
Circuiti a regime, regime sinusoidale e fasori
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Consideriamo ora la potenza assorbita da un bipolo in regime sinusoidale: p( )a
( )
t = v t i t( ) ( )
= Vm cos( w
t +a )
Im cos( w
t +b )
Usando note identità trigonometriche essa si riscrive come:
( ) ( ) ( )
( ) 1
cos cos 2
2
a
p t = V Im m éë a b- + wt + a b+ ùû
risultando così la somma di un termine costante e di un
termine sinusoidale a pulsazione 2ω. Se di essa si calcola la media nell’intervallo di periodicità T si ha:
( ) ( )
0
1 1 cos 1 cos
2 2
T
m m m m
p p d V I V I
T t t a b f
=
ò
= - =Dunque la potenza media è pari al termine costante della
potenza istantanea. Il valore medio del termine oscillante della potenza è nullo in quanto funzione sinusoidale di periodo T/2.
Potenza in regime sinusoidale
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La potenza media dipende dunque non solo dalle ampiezze
massime Vm e Im di v(t) e i(t), ma anche dal loro sfasamento, attraverso il fattore “cos(α−β)”. Ad esso perciò si dà anche
nome di fattore di potenza ed è spesso indicato con “cosf”.
Val la pena osservare che per il resistore è f=0, cosf=1, <p>=
VmIm/2; Per l’induttore f=p/2, per il condensatore f=-p/2, e in entrambi i casi cosf=0, <p>=0. Ciò è in perfetto accordo con il fatto che tali bipoli sono conservativi!
Rappresentazione di potenza istantanea e media in regime sinusoidale
t p(t) <p>=1/2VmImcosf
T=2p/w
Potenza in regime sinusoidale/2
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Vogliamo ricercare un legame diretto tra i fasori e la potenza in regime sinusoidale. Definiamo la potenza complessa assorbita da un bipolo come la metà del prodotto del fasore V per il
coniugato del fasore I :
( )
( ) ( )
{ } ( )
{ } ( )
1 * 1 1
ˆ cos sin
2 2 2
ˆ 1
Re cos
2 ˆ 1
Im sin
2
j
m m m m
m m
m m
P V I V I e V I j
P jQ
P P V I
Q P V I
a b a b a b
a b a b
- é ù
= = = ë - + - û
= +
= = -
= = -
La parte reale P della potenza complessa (detta anche “attiva”) coincide con la potenza media già calcolata. La parte
immaginaria Q (detta anche “reattiva”) non ha invece un significato fisico immediato.
Potenza complessa
25
Al modulo della potenza complessa si dà il nome di potenza apparente A. Sussistono le seguenti relazioni:
“triangolo delle potenze”
2 2 1
ˆ ; cos ; sin
2 m m
A = P = P + Q = V I P = A f Q = A f La rappresentazione nel piano complesso
delle grandezze introdotte è nota come triangolo delle potenze.
Per le dimensioni ed unità valgono
considerazioni analoghe a aii fasori; la potenza attiva, reattiva ed apparente sono omogenee alla potenza [VA]; per distinguerle, le rispettive unità sono per P il watt (W), per Q il volt-ampere
reattivo (VAr), per A il volt-ampere (VA).
Im
P
Re
^
f
P Q
Potenza complessa/2
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Per i bipoli elementari R,L,C si ha:
* * 2
* * 2
* * 2
1 1 1
Resistore ˆ ; 0, 0
2 2 2
1 1 1
Induttore ˆ ; 0, 0
2 2 2
1 1 1
Condensatore ˆ ; 0, 0
2 2 2
R
L L
C C
P V I RI I R I P Q
P V I j LI I jX I P Q
P V I j I I jX I P Q
C w
w
® = = = ³ =
® = = = = ³
® = = - = = £
Per una impedenza generica Z:
2 2 2
*
2 2
1 1 1 1
ˆ 2 2 2 2
1 ; 1
2 2
PZ V I Z I R I jX I
P R I Q jX I
= = = +
= =
! !
Potenza complessa dei bipoli elementari
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La potenza complessa, pur non avendo un significato fisico, si conserva: la somma delle potenze complesse assorbite dagli elementi di un circuito è nulla.
Considerata infatti la LKC ad un generico nodo del circuito, è immediato verificare:
å
k( )
± Ik = 0 Ûå
k( )
± Ik* = 0dunque i fasori coniugati verificano le LK del circuito. Di conseguenza le potenze complesse:
( ) 1 *
ˆ 2
a
k k k
P = V I
sono, a pieno titolo, potenze virtuali, ed ad esse applichiamo il teorema di Tellegen:
1 * 0 0 0, 0
2 k k k k k k
k V I = ® k P + j k Q = Û k P = k Q =
å å å å å
Oltre alla potenza complessa si conservano (separatamente), quella attiva P e quella reattiva Q.
Conservazione della potenza complessa
28
Consideriamo il circuito in figura, con i seg. parametri:
Circuito in regime sinusoidale e corrispondente circuito di impedenze
( ) ( )
( ) ( )
1 5 5
5 5 5
5 2 2
2 1 1
5 5 50 2
eq L C
eq
Z R j L C R j X X j
E j
I j I
Z j
w w
= + - = + - = -
= = = + = + ® =
-
!
!
( )
5 ; L 5 ; C 1 10 ; 5 2 cos500
R = W X = wL = W X = - wC = - W e t = t Essendo tutti gli elementi in serie fra loro avremo:
R L
C
Z.L Z.R
ZC
. E_
e(t)
+ -
I_
+ -
Potenza complessa: un esempio
29
Possiamo ora calcolare le potenze complesse assorbite/erogate dai diversi bipoli:
( )
( ) * 2
( ) * 2
( ) * 2
( ) *
1 1 5
ˆ ;
2 2 2
1 1
ˆ 5 ;
2 2
1 1 5
ˆ ;
2 2 2
1 5 2 2 5 5
ˆ 1
2 2 2 2 2
a
R R
a
C C C
a
L L L
e E
P V I I R
P V I j I X j
P V I j I X j
P E I j j
= × = =
= × = - = -
= × = =
= × = × - = -
È immediato verificare la conservazione; infatti:
( ) ( ) ( ) ( )
ˆ e ˆ a ˆ a ˆ a
E R C L
P = P + P + P
Potenza complessa: un esempio/2
30
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Come esercizi sugli argomenti di questa lezione si suggeriscono gli ex. 1-10 alle pagg. 311-313 del testo di riferimento, dove vengono riportati i risultati.
I relativi svolgimenti completi sono disponibili alla pagina:
http://www.elettrotecnica.unina.it/files/demagistris/libro.html
Esercizi proposti
31
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