Prof. Massimiliano de Magistris

(1)

Elettrotecnica

Introduzione ai circuiti

Prof. Massimiliano de Magistris

massimiliano.demagistris@uniparthenope.it

Circuiti a regime, regime sinusoidale e fasori Università di Napoli PARTHENOPE

Dipartimento di Ingegneria

(2)

Ci occupiamo ora dei circuiti dinamici lineari nella condizione di

“regime”, quando i transitori legati alle condizioni iniziali della dinamica si sono estinti.

Metteremo anzitutto in evidenza che per i circuiti lineari il

regime è sempre “isomorfo” rispetto ai forzamenti, e dunque a generatori costanti corrisponde un regime stazionario ed a

quelli sinusoidali corrisponde un regime sinusoidale.

Introdurremo un metodo, detto simbolico o dei fasori, che

consente di ricavare la soluzione in regime sinusoidale in modo puramente algebrico, evitando l’uso di derivate ed equazioni

differenziali.

Analizzeremo l’espressione della potenza media assorbita in regime sinusoidale legandola alla rappresentazione dei fasori mediante la potenza complessa.

Circuiti a regime, regime sinusoidale e fasori

2

(3)

Unità 1: regime nei circuiti lineari, regime stazionario, regime sinusoidale, metodo simbolico;

Unità 2: equazioni circuitali nel dominio dei fasori, circuiti di impedenze, diagrammi fasoriali;

Unità 3: potenza in regime sinusoidale e potenza complessa.

Circuiti a regime, regime sinusoidale e fasori

3

(4)

Unità 1:

Regime nei circuiti lineari, regime stazionario;

Regime sinusoidale, metodo simbolico.

Circuiti a regime, regime sinusoidale e fasori

4

(5)

Abbiamo già visto che la soluzione dinamica di un circuito lineare presenta due termini, di cui uno è detto “transitorio”

per la sua espressione evanescente rispetto al tempo:

! !

( ) _t( ) _r( ); ( ) lim ( )_r

regime t transitorio

x t x t x t x t x t

= + " ®¥

Il termine transitorio, dipende dal valore iniziale delle

grandezze del circuito, e tende a zero per t → ∞ a causa della dissipazione nei resistori e della passività degli elementi

dinamici. Viceversa il termine di regime (permanente) dipende solo dai generatori indipendenti rappresenta ciò che resta della soluzione quando il transitorio si è estinto completamente.

Abbiamo inoltre già osservato che, per circuiti lineari:

– tensioni/correnti impresse stazionarie à regime stazionario – tensioni/correnti impresse sinusoidali à regime sinusoidale

Circuiti lineari a regime

5

(6)

Analizziamo il caso stazionario: sia C un circuito lineare con resistori, condensatori ed induttori e generatori unicamente

stazionari, supposto a regime. Per i condensatori e gli induttori si ha:

cost ^C

C C C

v V i C dv

= = Þ = dt 0 circuito aperto

cost ^L

L L L

i I v L di

dt

= Û

= = Þ = = 0 Û corto circuito

+-

C_d

+-

c.c.

C_a

c.a.

Circuito dinamico e suo corrispondente stazionario

La soluzione di regime stazionario di un circuito dinamico si trova

risolvendo il circuito ausiliario a- dinamico nel quale i condensatori sono sostituiti da circuiti aperti e gli induttori da corto circuiti.

Circuiti lineari in regime stazionario

6

(7)

Consideriamo un semplice esempio: posto E=10 V, R₁=2 W, R₂=4 W, R₃=6 W, L₁=1 µH, L₂=10 µH, C=50 µF.

Il circuito a-dinamico corrispondente è rappresentato in basso.

La sua soluzione può essere ottenuta utilizzando le regole dei partitori e delle equivalenze serie-parallelo. Operando così si ottiene: I_L = 25/27 A, I₃ = 0.74 A, V_C = 8.15 V. La soluzione è indipendente dai valori di capacità e induttanza!

Circuito dinamico e suo corrispondente stazionario

IL

+ E ⁺

-

R1 R2

C L1 R3

R3

L2

R2

I3

- VC

IL

+ E ⁺

-

R1 R2

R3

R3 R2

I3

- VC

Circuiti lineari in regime stazionario/2

7

(8)

Consideriamo un circuito dinamico lineare con generatori indipendenti sinusoidali alla stessa pulsazione ω

(isofrequenziali), che assumiamo a regime. Le tensioni e le correnti del circuito variano sinusoidalmente nel tempo.

Una funzione (del tempo) sinusoidale ha in generale la forma:

Generica funzione sinusoidale del tempo

( )

m ^cos

( )

m ^{cos 2}

( )

a t = A

w

t +

a

= A

p

f t× +

a

A_m è l’ampiezza, w la pulsazione, f la frequenza (con w=2pf), a la fase iniziale. a(t) è evidentemente una funzione periodica

con periodo T=2π/ω, essendo a(t+T)=a(t).

t a(t)

A_mcosa

T=2p /w A_m

Circuiti lineari in regime sinusoidale

8

(9)

Fissata la pulsazione ω (che è imposta dai generatori), ogni tensione ed ogni corrente sinusoidale è caratterizzata

unicamente dall’ampiezza e dalla fase iniziale. Sulla base di ciò è possibile istituire una corrispondenza tra le grandezze

sinusoidali ed i numeri complessi:

( )

m ^cos

( )

m ^j

a t = A

w

t +

a

« A = A e ^a

Il numero complesso A_me^j^a è detto fasore rappresentativo di a(t). La regola produce una corrispondenza biunivoca tra

l’insieme delle funzioni sinusoidali di pulsazione assegnata ω, {a(t)=A_mcos(ωt+α)} e l’insieme dei fasori {A_me^j^a}.

Utilizzando la formula di Eulero e l’operatore parte reale si ha:

( )

{ } ⁽ ⁾

a

w

a a a a

w a

= = + = +

= = +

cos sin cos sin

( ) Re cos

j

m m m m

j t

m

A A e A j A jA

a t Ae A t

Metodo simbolico

9

(10)

La corrispondenza considerata gode di tre importanti proprietà:

1) biunivocità: ^{( )} m ^cos

( )

^{( )} m ^cos

( )

j j

m m

a t A t b t B t

A A e ^a B B e ^b

w a w b

= + = = +

= = =

! 2) linearità:

3) “derivazione”:

( )

{

¹ ²

}

¹

⁽ ⁾

²

⁽ ⁾

Re k A k B e+ ^{j t}^w = k A_m cos

w

t +

a

+ k B_m cos

w

t +

b

( ) ( ) ( )

( )

^{a p}

w a w w a w w a p

w a w ⁺ w

é + ù = + = + +

ë û

é ù

= ë + û « = ⁽ ^{/ 2)} =

cos - sin cos / 2

( ) cos

m m m

j

a m a m

d A t A t A t

dt

d t d A t D A e j A

dt

Metodo simbolico/2

10

(11)

La corrispondenza è dunque un isomorfismo lineare, che rende algebrica, nel dominio simbolico, l’operazione di derivazione!

Su ciò si costruisce un metodo per l’analisi dei circuiti lineari in regime sinusoidale basato sui fasori, al solo prezzo di utilizzare grandezze complessa anziché reali.

Ricordiamo che i numeri complessi, con le usuali operazioni algebriche, costituiscono un campo, per il quale valgono le

stesse proprietà di quello dei numeri reali. Ciò dà il vantaggio di operare algebricamente nel modo usuale.

Rappresentazione della corrispondenza tra dominio del tempo e dei fasori

dominio del tempo

dominio dei fasori a(t)=Amcos(wt+a) A=A_ me^j^a

Metodo simbolico/3

11

(12)

Verifichiamo ora con l’esempio in figura le potenzialità del

metodo. Considerata la LKT all’unica maglia, le caratteristiche dei bipoli e supposta i(t) sinusoidale:

Un circuito dinamico RL

con forzamento sinusoidale

e(t)=E_mcos

w

t

+ -

R

L

i(t)

( ) ( )

( )

²

2

1

cos

tan

j

m m

j m

m

i t I t I I e

Ri L di E t RI j LI E

dt

I E

R L

I I e E

R j L L

R

a

w a

w w

w

w a ^- w

= + « =

+ = « + =

ì =

ï +

= = + Û íïïïî = - æçè ö÷ø

Allo stesso risultato si perviene, con calcoli più onerosi, con le derivate nel dominio del tempo, come visto in precedenti

esempi.

Metodo simbolico/4

12

(13)

Unità 2:

Equazioni circuitali nel dominio dei fasori, circuiti di impedenze, diagrammi fasoriali

Circuiti a regime, regime sinusoidale e fasori

13

(14)

Considerato ora un generico circuito lineare di l bipoli in regime sinusoidale, tutte le tensioni v_k(t) e le correnti i_k(t) sono

sinusoidali e se ne possono definire i fasori corrispondenti:

( ) ( )

cos( ) 1, 2, ..., cos( ) 1, 2, ...,

k

j

k mk k k mk

j

k mk k k mk

v t V t V V e k l

i t I t I I e k l

a b

w a w b

= + « = =

Il modulo (nonché parte reale e parte immaginaria) dei fasori delle intensità di corrente, è dimensionalmente omogeneo ad una corrente e si misura in ampere (A); quello dei fasori delle tensioni è omogeneo dimensionalmente ad una tensione e

quindi si misura in volt (V).

Fasori e circuiti di impedenze

14

(15)

Le equazioni circuitali, riformulate in modo che le incognite siano direttamente i fasori, producono un sistema algebrico lineare in cui le incognite sono complesse!

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

0 0

cos cos

k k

k k k k k k

k k k k k k

k mk k k k mk j

k mk h k k mk j

i t I

v t V

v R i V R I

i C dv dt I j C V

v L di dt V j L I

v E t V E E e

i J t I J J e

a b

w w w a

w b ü ì

± = ± =

ï « ï

ý í

± = ï ï ± =

þ î

= ü ì =

ï

= ïý « í =

ï ï

= þ î =

ü ì

= + = =

ý « í

= + þ î = =

å å

Fasori e circuiti di impedenze/2

15

(16)

Le equazioni circuitali nel dominio dei fasori hanno dunque la stessa struttura di quelle di un circuito resistivo lineare. Infatti osserviamo che, nel dominio dei fasori, le caratteristiche dei bipoli lineari elementari R,L,C sono tutte del tipo:

Resistore

; 1 Condensatore

Induttore R

V ZI Z

j C j L

w w

ì ®

= = ïïí ®

ïï ®

î

! !

L R

C iL

iC

i_R +

- +

- vR

vL

vC

+

- Z.

+

- Z.

+

- Z.

V/ I=R_ _

V/ I=j_ _ wL

V/ I=1/(j_ _ wC)

Impedenze dei bipoli elementari

Fasori e circuiti di impedenze/3

16

(17)

{ } { }

; Re resistenza; Im reattanza Z! = R + jX R = Z! " X = Z! "

{ }

¹ ^ammettenza

{ }

Re conduttanza; Im suscettanza

Y Z

G Y B Y

=

= =

! ! "

! " ! "

Il reciproco dell’impedenza è invece chiamato ammettenza

La grandezza complessa Z, definita come rapporto tra il fasore della tensione e della corrente, prende il nome di impedenza

del corrispondente bipolo.

La parte reale, la parte immaginaria ed il modulo

dell’impedenza sono dimensionalmente omogenee con una resistenza e dunque si misurano in ohm (W).

Per una generica impedenza si definiscono:

Fasori e circuiti di impedenze/4

17

(18)

Considerato un generico bipolo, i fasori relativi alla sua tensione e la sua corrente e la relativa impedenza, si ha:

( ) ( ) ( )

; ;

arg arg arg

j j

m m

V ZI V V e I I e

Z V I V I

Z V I

Z V I

a b

a b f

= = =

ì = =

= ® íï

= - = -

ïî

!

! !

! "

Una generica impedenza ed il corrispondente diagramma dei fasori

La differenza tra la fase della tensione a e quella della corrente b è detta sfasamento ed indicata con f. Vedremo più avanti che esso riveste un ruolo importante in relazione alla potenza

media assorbita.

Re I

V

_ _

a

b Im

f I_

+

- V_

Z.

Diagrammi fasoriali, sfasamento

18

(19)

Per i bipoli elementari R,L,C si ha:

( ) ( ) ( )

Resistore ; =arg 0

Induttore ; =arg 2

Condensatore ; =arg 2

R R

L L

C C

V Z I RI Z

V Z I j LI Z

V Z I j I Z

C

f a b

w f a b p

f a b p

w

® = = = - =

® = = - = - = -

! !

Diagrammi dei fasori e relative sinusoidi per i bipoli

elementari R,L,C.

t

resistore

v(t) i(t)

t

induttore

v(t) i(t)

t

condensatore

v(t) i(t)

Re I

_ V

_

Re I

V _

_

Re I

V _

_ a b

b

a

b a

Diagrammi fasoriali, sfasamento/2

19

(20)

Possiamo ora utilizzare quanto visto risolvendo con il metodo dei fasori i circuiti in regime sinusoidale:

–costruiamo il circuito di impedenze C^∗_ω corrispondente a quello originale C_ω con le regole viste;

–lo risolviamo in modo analogo ad un circuito resistivo, determinando i fasori delle correnti e delle tensioni;

–la soluzione del circuito originale è data nel dominio del tempo dalle sinusoidi corrispondenti ai fasori trovati.

È importante osservare che, per quanto visto, al circuito di

impedenze possiamo applicare tutti i risultati e le metodologie sin qui trovati per i circuiti resistivi lineari, dunque le

equivalenze serie/parallelo, Thévenin/Norton, sovrapposizione, equivalenze stella/triangolo, i metodi dei potenziali di nodo e delle correnti di maglia etc.

Circuiti di impedenze

20

(21)

Le tre impedenze Z_R, Z_L, Z_C sono in parallelo con il generatore di corrente J; applicando la regola del partitore di corrente:

1

3

/ 2

tan (0.5)

0.46 2.03

0.64

2 ; 2 mH; 0,25 mF; 2 A; 10 rad/s

2 2 ; 2; 2 ; 4

8 8 4 4

2 4 5 5

1.79 3.58

2 8 4 2 2

5

R L C

R C eq

R C

L

m j

j

j j

eq

j eq

R L C J

J e j Z Z j Z j

Z Z j j

Z e

Z Z j

Z e e

I J j

j e

Z Z j

p

w

-

- -

= W = = = =

= = - = = = -

= = - = - =

+ -

= = - = =

+ - +

! ! !

! !

!

! ! ^2.67

2.67

1.79

1.79 ( ) 1.79 cos(1000 2.67)

L L

j

e

I e i t t

-

= - ® = -

Circuito in regime sinusoidale e

corrispondente circuito di impedenze

L

R C Z._L

j(t) Z._R

Z._C J_

i_L(t) I__L

Circuiti di impedenze: un esempio

21

(22)

Unità 3:

Potenza in regime sinusoidale e potenza complessa.

Circuiti a regime, regime sinusoidale e fasori

22

(23)

Consideriamo ora la potenza assorbita da un bipolo in regime sinusoidale: p^{( )}^a

( )

t = v t i t

( ) ( )

= Vm ^cos

( w

t +

a )

Im ^cos

( w

t +

b )

Usando note identità trigonometriche essa si riscrive come:

( ) ( ) ( )

( ) 1

cos cos 2

2

a

p t = V Im m éë a b- + wt + a b+ ùû

risultando così la somma di un termine costante e di un

termine sinusoidale a pulsazione 2ω. Se di essa si calcola la media nell’intervallo di periodicità T si ha:

( ) ( )

0

1 1 cos 1 cos

2 2

T

m m m m

p p d V I V I

T t t a b f

=

ò

= - =

Dunque la potenza media è pari al termine costante della

potenza istantanea. Il valore medio del termine oscillante della potenza è nullo in quanto funzione sinusoidale di periodo T/2.

Potenza in regime sinusoidale

23

(24)

La potenza media dipende dunque non solo dalle ampiezze

massime V_m e I_m di v(t) e i(t), ma anche dal loro sfasamento, attraverso il fattore “cos(α−β)”. Ad esso perciò si dà anche

nome di fattore di potenza ed è spesso indicato con “cosf”.

Val la pena osservare che per il resistore è f=0, cosf=1, <p>=

V_mI_m/2; Per l’induttore f=p/2, per il condensatore f=-p/2, e in entrambi i casi cosf=0, <p>=0. Ciò è in perfetto accordo con il fatto che tali bipoli sono conservativi!

Rappresentazione di potenza istantanea e media in regime sinusoidale

t p(t) <p>=1/2V_mI_mcosf

T=2p/w

Potenza in regime sinusoidale/2

24

(25)

Vogliamo ricercare un legame diretto tra i fasori e la potenza in regime sinusoidale. Definiamo la potenza complessa assorbita da un bipolo come la metà del prodotto del fasore V per il

coniugato del fasore I :

( )

( ) ( )

{ } ⁽ ⁾

1 * 1 1

ˆ cos sin

2 2 2

ˆ 1

Re cos

2 ˆ 1

Im sin

2

j

m m m m

m m

P V I V I e V I j

P jQ

P P V I

Q P V I

a b a b a b

a b a b

- é ù

= = = ë - + - û

= +

= = -

La parte reale P della potenza complessa (detta anche “attiva”) coincide con la potenza media già calcolata. La parte

immaginaria Q (detta anche “reattiva”) non ha invece un significato fisico immediato.

Potenza complessa

25

(26)

Al modulo della potenza complessa si dà il nome di potenza apparente A. Sussistono le seguenti relazioni:

“triangolo delle potenze”

2 2 1

ˆ ; cos ; sin

2 ^{m m}

A = P = P + Q = V I P = A f Q = A f La rappresentazione nel piano complesso

delle grandezze introdotte è nota come triangolo delle potenze.

Per le dimensioni ed unità valgono

considerazioni analoghe a aii fasori; la potenza attiva, reattiva ed apparente sono omogenee alla potenza [VA]; per distinguerle, le rispettive unità sono per P il watt (W), per Q il volt-ampere

reattivo (VAr), per A il volt-ampere (VA).

Im

P

Re

^

f

P Q

Potenza complessa/2

26

(27)

Per i bipoli elementari R,L,C si ha:

* * 2

1 1 1

Resistore ˆ ; 0, 0

2 2 2

1 1 1

Induttore ˆ ; 0, 0

2 2 2

1 1 1

Condensatore ˆ ; 0, 0

2 2 2

R

L L

C C

P V I RI I R I P Q

P V I j LI I jX I P Q

P V I j I I jX I P Q

C w

w

® = = = ³ =

® = = = = ³

® = = - = = £

Per una impedenza generica Z:

2 2 2

*

2 2

1 1 1 1

ˆ 2 2 2 2

1 ; 1

2 2

PZ V I Z I R I jX I

P R I Q jX I

= = = +

= =

! !

Potenza complessa dei bipoli elementari

27

(28)

La potenza complessa, pur non avendo un significato fisico, si conserva: la somma delle potenze complesse assorbite dagli elementi di un circuito è nulla.

Considerata infatti la LKC ad un generico nodo del circuito, è immediato verificare:

å

k

( )

± Ik = ⁰ Û

å

k

( )

± Ik^* = ⁰

dunque i fasori coniugati verificano le LK del circuito. Di conseguenza le potenze complesse:

( ) 1 *

ˆ 2

a

k k k

P = V I

sono, a pieno titolo, potenze virtuali, ed ad esse applichiamo il teorema di Tellegen:

1 * 0 0 0, 0

2 ^{k k} ^k ^k ^k ^k

k V I = ® k P + j k Q = Û k P = k Q =

å å å å å

Oltre alla potenza complessa si conservano (separatamente), quella attiva P e quella reattiva Q.

Conservazione della potenza complessa

28

(29)

Consideriamo il circuito in figura, con i seg. parametri:

Circuito in regime sinusoidale e corrispondente circuito di impedenze

( ) ( )

1 5 5

5 5 5

5 2 2

2 1 1

5 5 50 2

eq L C

eq

Z R j L C R j X X j

E j

I j I

Z j

w w

= + - = + - = -

= = = + = + ® =

-

!

( )

5 ; _L 5 ; _C 1 10 ; 5 2 cos500

R = W X = wL = W X = - wC = - W e t = t Essendo tutti gli elementi in serie fra loro avremo:

R L

C

Z._L Z._R

ZC

. E_

e(t)

+ -

I_

+ -

Potenza complessa: un esempio

29

(30)

Possiamo ora calcolare le potenze complesse assorbite/erogate dai diversi bipoli:

( )

( ) * 2

( ) *

1 1 5

ˆ ;

2 2 2

1 1

ˆ 5 ;

2 2

1 1 5

ˆ ;

2 2 2

1 5 2 2 5 5

ˆ 1

2 2 2 2 2

a

R R

a

C C C

a

L L L

e E

P V I I R

P V I j I X j

P E I j j

= × = =

= × = - = -

= × = =

= × = × - = -

È immediato verificare la conservazione; infatti:

( ) ( ) ( ) ( )

ˆ ê ˆ â ˆ â ˆ â

E R C L

P = P + P + P

Potenza complessa: un esempio/2

30

(31)

Come esercizi sugli argomenti di questa lezione si suggeriscono gli ex. 1-10 alle pagg. 311-313 del testo di riferimento, dove vengono riportati i risultati.

I relativi svolgimenti completi sono disponibili alla pagina:

http://www.elettrotecnica.unina.it/files/demagistris/libro.html

Esercizi proposti

31

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