Algebra - Capitolo 4 - Equazioni Di 2°
Grado, Equazioni Di 2° Grado E Parabola, Disequazioni Di 2° Grado: Corso Online Di
Algebra Del Biennio Con Accesso ...
(Algebra per Il Biennio) (Italian Edition) Pdf
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Manuale di Algebra (Equazioni di 2° grado, equazioni di 2° grado e parabola, disequazioni di 2°
grado) per il biennio con accesso per 1 mese a tutti i contenuti redooc.com della sezione Superiori.Trovi una sintesi dell’algebra del biennio delle Scuole secondarie di secondo grado, in particolare delle Equazioni di 2° grado, equazioni di 2° grado e parabola, disequazioni di 2°
grado.È un indice ragionato che ha l’obiettivo di incuriosire il lettore e di portarlo a porsi delle domande e cercare le risposte sulla piattaforma redooc.com.Al testo è collegato l'accesso gratuito per 1 mese a tutti i contenuti della sezione Superiori (no Editori terzi) di redooc.com:
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Algebra - Capitolo 4Equazioni di 2° grado, equazioni di 2° grado e parabola, disequazioni di 2°
gradoCorso online di matematica per le Scuole Superiori
A cura di Elena BarbieriIllustrazioni di Giorgio AmiciProgetto grafico di Valentina DoniniGrazie a tutti gli autori e collaboratori di
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Dedicato a tutti i lettori,perché nessuno nasce negato:la matematica è uno sport alla portata di tutti!
IndiceARITMETICA E ALGEBRAEquazioni di secondo gradoEquazioni di secondo grado e parabolaDisequazioni di secondo grado
Equazioni di secondo gradoScopri le equazioni di secondo grado, dove l’incognita compare elevata alla seconda, come si risolvono e che relazioni esistono tra le soluzioni e i coefficienti.Impara che cos’è il delta per capire quante sono le soluzioni dell’equazione. Impara i metodi per risolvere le equazioni di grado superiore al secondo e anche le equazioni irrazionali dove l’incognita compare sotto radice. Infine, impara a risolvere i sistemi di equazioni di secondo grado. PREREQUISITI: Equazioni lineari.Che cosa sono e come si risolvono le equazioni di secondo gradoFormula ridotta ed equazioni pure, spurie e monomieRelazioni tra soluzioni e coefficienti di un’equazione di secondo gradoEquazioni di secondo grado parametricheFunzione quadratica e parabolaEquazioni di grado superiore al secondoEquazioni irrazionaliSistemi di equazioni di secondo grado
Che cos’è un’equazione di secondo grado? Che cosa sono le radici? A che cosa servono in matematica? Ma soprattutto, quali sono i metodi di risoluzione per le equazioni di secondo grado?Definizione di equazione di secondo grado Un’equazione è di II grado quando, ridotta a forma normale, l’incognita compare elevata al massimo esponente 2, cioè quando prende la forma:ax2 + bx + c = 0, dove a, b, c sono numeri reali o espressioni letterali che si chiamano coefficienti. Il coefficiente c è chiamato termine noto.Si assume sempre a ≠ 0, altrimenti l’equazione sarebbe di I grado!Le soluzioni (radici) sono i valori che sostituiti all’incognita rendono vera l’uguaglianza, cioè tali per cui compare lo stesso numero sia al primo che al secondo membro.ESEMPIO2x2 − 5x + 3 = 0 è un’equazione di II grado.x = e x = 1 sono radici dell’equazione, infatti:2 · 12 − 5 · 1 + 3 = 2 − 5 + 3 = 0.x = 0 non è radice dell’equazione, infatti:2 · 02 − 5 · 0 + 3 = 3 ≠ 0.Come risolvere le equazioni di secondo grado Per risolvere un’equazione
di II grado dobbiamo prima riscriverla in forma normale ax2 + bx + c = 0.Poi utilizziamo il metodo del completamento del quadrato, cioè scriviamo il quadrato di un binomio a sinistra dell’uguale.
Ecco i passaggi:• moltiplichiamo entrambi i membri per 4a ottenendo 4a2x2 + 4abx + 4ac = 0 (il secondo principio di equivalenza!);• spostiamo 4ac al secondo membro e aggiungiamo b2 ad entrambi i membri 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 − 4ac (il primo principio di equivalenza!).Al primo membro abbiamo ora un quadrato di un binomio (2ax + b)2 = b2 − 4ac.Non sempre riusciamo a trovare le soluzioni dell’equazione… guarda gli esempi!ESEMPI3x2 + 10x − 8 = 0Moltiplichiamo entrambi i membri per 4a = 4 · 3 = 12 ottenendo36x2 + 120x − 96 = 0.Spostiamo −96 al secondo membro e aggiungiamo 102 ad entrambi i membri 36x2 + 120x + 100 = 100 + 96.Al primo membro abbiamo ora un quadrato di un binomio(6x + 10)2 = 196 (6x + 10)2 = (14)2.Abbiamo quindi due possibilità:6x + 10 = +14 oppure 6x + 10 = −14.Dalla prima ricaviamo x = , dalla seconda x = − 4.Questa equazione ha due soluzioni.x2 − x + 1 = 0Moltiplichiamo entrambi i membri per 4a = 4 · 1 = 4 ottenendo4x2 − 4x + 4 = 0.Spostiamo 4 al secondo membro e aggiungiamo 12 ad entrambi i membri4x2 − 4x + 1 = 1 − 4.Al primo membro abbiamo ora un quadrato di un binomio(2x − 1)2 = − 3.Ma −3 non è il quadrato di alcun numero reale, allora questa equazione non ha soluzioni.x2 − 2 + 2 = 0Moltiplichiamo entrambi i membri per 4a = 4 · 1
= 4 ottenendo4x2 − 8 + 8 = 0.Spostiamo 8 al secondo membro e aggiungiamo = 8 ad entrambi i membri 4x2 − 8 + 8 = 8 − 8.Al primo membro abbiamo ora un quadrato di un binomio(2x − 2)2 = 0.Allora abbiamo una sola possibilità, cioè che 2x − 2 = 0, cioè x = .Questa equazione ha una sola soluzione (o meglio, 2 soluzioni coincidenti).Formula per risolvere le equazioni di secondo grado Con il metodo del completamento del quadrato, abbiamo riscritto l’equazione di II grado ax2 + bx + c = 0 come (2ax + b)2 = b2 − 4ac.La quantità a destra dell’uguale si dice discriminante e viene indicata con la lettera Δ dell’alfabeto greco, chiamata “delta”.Il Δ è molto importante perché dal suo segno dipende il numero di soluzioni dell’equazione:• se Δ < 0 l’equazione non ha soluzioni reali, è impossibile;• se Δ = 0 l’equazione ha due soluzioni reali e coincidenti;• se Δ > 0 l’equazione ha due soluzioni reali e distinte.Se l’equazione non è impossibile (Δ ≥ 0) allora le soluzioni sono:Se Δ = 0, le soluzioni sono coincidenti x1 = x2;se Δ >
0, le soluzioni sono distinte x1 ≠ x2.ESEMPI3x2 + 10x − 8 = 0Δ = 102 – 4 · 3 · (−8) = 100 + 96 = 196 > 0Questa equazione ha due soluzioni distinte.
Che cos’è un’equazione di secondo grado? Che cosa sono le radici? A che cosa servono in matematica? Ma soprattutto, quali sono i metodi di risoluzione per le equazioni di secondo grado?Definizione di equazione di secondo grado Un’equazione è di II grado quando, ridotta a forma normale, l’incognita compare elevata al massimo esponente 2, cioè quando prende la forma:ax2 + bx + c = 0, dove a, b, c sono numeri reali o espressioni letterali che si chiamano coefficienti. Il coefficiente c è chiamato termine noto.Si assume sempre a ≠ 0, altrimenti l’equazione sarebbe di I grado!Le soluzioni (radici) sono i valori che sostituiti all’incognita rendono vera l’uguaglianza, cioè tali per cui compare lo stesso numero sia al primo che al secondo membro.ESEMPIO2x2 − 5x + 3 = 0 è un’equazione di II grado.x = e x = 1 sono radici
dell’equazione, infatti:2 · 12 − 5 · 1 + 3 = 2 − 5 + 3 = 0.x = 0 non è radice dell’equazione, infatti:2 · 02 − 5 · 0 + 3 = 3 ≠ 0.Come risolvere le equazioni di secondo grado Per risolvere un’equazione di II grado dobbiamo prima riscriverla in forma normale ax2 + bx + c = 0.Poi utilizziamo il metodo del completamento del quadrato, cioè scriviamo il quadrato di un binomio a sinistra dell’uguale.
Ecco i passaggi:• moltiplichiamo entrambi i membri per 4a ottenendo 4a2x2 + 4abx + 4ac = 0 (il secondo principio di equivalenza!);• spostiamo 4ac al secondo membro e aggiungiamo b2 ad entrambi i membri 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 − 4ac (il primo principio di equivalenza!).Al primo membro abbiamo ora un quadrato di un binomio (2ax + b)2 = b2 − 4ac.Non sempre riusciamo a trovare le soluzioni dell’equazione… guarda gli esempi!ESEMPI3x2 + 10x − 8 = 0Moltiplichiamo entrambi i membri per 4a = 4 · 3 = 12 ottenendo36x2 + 120x − 96 = 0.Spostiamo −96 al secondo membro e aggiungiamo 102 ad entrambi i membri 36x2 + 120x + 100 = 100 + 96.Al primo membro abbiamo ora un quadrato di un binomio(6x + 10)2 = 196 (6x + 10)2 = (14)2.Abbiamo quindi due possibilità:6x + 10 = +14 oppure 6x + 10 = −14.Dalla prima ricaviamo x = , dalla seconda x = − 4.Questa equazione ha due soluzioni.x2 − x + 1 = 0Moltiplichiamo entrambi i membri per 4a = 4 · 1 = 4 ottenendo4x2 − 4x + 4 = 0.Spostiamo 4 al secondo membro e aggiungiamo 12 ad entrambi i membri4x2 − 4x + 1 = 1 − 4.Al primo membro abbiamo ora un quadrato di un binomio(2x − 1)2 = − 3.Ma −3 non è il quadrato di alcun numero reale, allora questa equazione non ha soluzioni.x2 − 2 + 2 = 0Moltiplichiamo entrambi i membri per 4a = 4 · 1
= 4 ottenendo4x2 − 8 + 8 = 0.Spostiamo 8 al secondo membro e aggiungiamo = 8 ad entrambi i membri 4x2 − 8 + 8 = 8 − 8.Al primo membro abbiamo ora un quadrato di un binomio(2x − 2)2 = 0.Allora abbiamo una sola possibilità, cioè che 2x − 2 = 0, cioè x = .Questa equazione ha una sola soluzione (o meglio, 2 soluzioni coincidenti).Formula per risolvere le equazioni di secondo grado Con il metodo del completamento del quadrato, abbiamo riscritto l’equazione di II grado ax2 + bx + c = 0 come (2ax + b)2 = b2 − 4ac.La quantità a destra dell’uguale si dice discriminante e viene indicata con la lettera Δ dell’alfabeto greco, chiamata “delta”.Il Δ è molto importante perché dal suo segno dipende il numero di soluzioni dell’equazione:• se Δ < 0 l’equazione non ha soluzioni reali, è impossibile;• se Δ = 0 l’equazione ha due soluzioni reali e coincidenti;• se Δ > 0 l’equazione ha due soluzioni reali e distinte.Se l’equazione non è impossibile (Δ ≥ 0) allora le soluzioni sono:Se Δ = 0, le soluzioni sono coincidenti x1 = x2;se Δ >
0, le soluzioni sono distinte x1 ≠ x2.ESEMPI3x2 + 10x − 8 = 0Δ = 102 – 4 · 3 · (−8) = 100 + 96 = 196 > 0Questa equazione ha due soluzioni distinte.x2 − x + 1 = 0Δ = (− 1)2 − 4 · 1 ·(1) = 1 − 4 = 1 − 3 < 0Questa equazione non ha soluzioni.x2 − 2 + 2 = 0Δ = (− 2)2 − 4 · 1 · 2 = 8 − 8 = 0Questa equazione ha due soluzioni coincidenti.
Algebra Capitolo 13 kittens
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