Appunti e lezioni di Matematica e Fisica

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Appunti e lezioni di Matematica e Fisica

www.francescozumbo.it

Svolgimento del 1° Problema di Matematica e Fisica degli Esami di Stato del Liceo Scientifico 2018-2019

A Cura:

Prof. Antonino Agostino - email : gourlak@virgilio.it

Prof. Francesco Zumbo – email : zumbo2008@yahoo.it

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Pag. 1/4 Sessione ordinaria 2019 Seconda prova scritta

Ministero dell’Istruzione, dell’ Università e della Ricerca

ESAME DI STATO DI ISTRUZIONE SECONDARIA SUPERIORE

Indirizzi: LI02, EA02 – SCIENTIFICO

LI03 - SCIENTIFICO - OPZIONE SCIENZE APPLICATE LI15 - SCIENTIFICO - SEZIONE AD INDIRIZZO SPORTIVO

(Testo valevole anche per le corrispondenti sperimentazioni internazionali e quadriennali) Tema di: MATEMATICA e FISICA

Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 4 quesiti.

PROBLEMA 1

Si considerino le seguenti funzioni:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥²− 𝑥 + 𝑏 𝑔(𝑥) = (𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑒^{2 𝑥−𝑥}².

 Provare che, comunque siano scelti i valori di 𝑎 e 𝑏 in ℝ con 𝑎 ≠ 0, la funzione 𝑔 ammette un massimo e un minimo assoluti. Determinare i valori di 𝑎 e 𝑏 in corrispondenza dei quali i grafici delle due funzioni 𝑓 e 𝑔 si intersecano nel punto 𝐴(2, 1).

 Si assuma, d’ora in avanti, di avere 𝑎 = 1 e 𝑏 = −1. Studiare le due funzioni così ottenute, verificando che il grafico di 𝑔 ammette un centro di simmetria e che i grafici di 𝑓 e 𝑔 sono tangenti nel punto 𝐵(0, −1).

Determinare inoltre l’area della regione piana 𝑆 delimitata dai grafici delle funzioni 𝑓 e 𝑔.

 Si supponga che nel riferimento 𝑂𝑥𝑦 le lunghezze siano espresse in metri (m). Si considerino tre fili conduttori rettilinei disposti perpendicolarmente al piano 𝑂𝑥𝑦 e passanti rispettivamente per i punti:

𝑃₁(³

2, 0), 𝑃₂(³

2, 1) e 𝑃₃(³

2, −¹

2).

I tre fili sono percorsi da correnti continue di intensità 𝑖₁ = 2,0 A, 𝑖₂ e 𝑖₃. Il verso di 𝑖₁ è indicato in figura mentre gli altri due versi non sono indicati.

Stabilire come varia la circuitazione del campo magnetico, generato dalle correnti 𝑖₁, 𝑖₂ e 𝑖₃ , lungo il contorno di 𝑆, a seconda dell’intensità e del verso di 𝑖₂ e 𝑖₃.

 Si supponga, in assenza dei tre fili, che il contorno della regione 𝑆 rappresenti il profilo di una spira conduttrice di resistenza 𝑅 = 0,20 Ω. La spira è posta all’interno di un campo magnetico uniforme di intensità 𝐵 = 1,5 ∙ 10⁻² T perpendicolare alla regione 𝑆. Facendo ruotare la spira intorno all’asse 𝑥 con velocità angolare ω costante, in essa si genera una corrente indotta la cui intensità massima è pari a 5,0 mA.

Determinare il valore di ω.

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PROBLEMA 2

Un condensatore piano è formato da due armature circolari di raggio 𝑅, poste a distanza 𝑑, dove 𝑅 e 𝑑 sono espresse in metri (m). Viene applicata alle armature una differenza di potenziale variabile nel tempo e inizialmente nulla.

All’interno del condensatore si rileva la presenza di un campo magnetico 𝐵⃗ . Trascurando gli effetti di bordo, a distanza 𝑟 dall’asse di simmetria del condensatore, l’intensità di 𝐵⃗ , espressa in tesla (T), varia secondo la legge:

|𝐵⃗ | = 𝑘𝑡

√(𝑡²+ 𝑎²)³ 𝑟 con 𝑟 ≤ 𝑅

dove 𝑎 e 𝑘 sono costanti positive e 𝑡 è il tempo trascorso dall’istante iniziale, espresso in secondi (s).

 Dopo aver determinato le unità di misura di 𝑎 e 𝑘, spiegare perché nel condensatore è presente un campo magnetico anche in assenza di magneti e correnti di conduzione. Qual è la relazione tra le direzioni di 𝐵⃗ e del campo elettrico 𝐸⃗ nei punti interni al condensatore?

 Si consideri, tra le armature, un piano perpendicolare all’asse di simmetria. Su tale piano, sia 𝐶 la circonferenza avente centro sull’asse e raggio 𝑟. Determinare la circuitazione di 𝐵⃗ lungo 𝐶 e da essa ricavare che il flusso di 𝐸⃗ , attraverso la superficie circolare delimitata da 𝐶, è dato da

𝛷(𝐸⃗ ) =2𝑘𝜋𝑟²

𝜇₀𝜀₀ ( −1

√𝑡²+ 𝑎²+1 𝑎) Calcolare la d.d.p. tra le armature del condensatore.

A quale valore tende |𝐵⃗ | al trascorrere del tempo? Giustificare la risposta dal punto di vista fisico.

 Per 𝑎 > 0, si consideri la funzione 𝑓: ℝ → ℝ definita da 𝑓(𝑡) = − ^𝑡

√( 𝑡²+𝑎²)³ . Verificare che la funzione 𝐹(𝑡) = ¹

√𝑡²+𝑎²−¹

𝑎 è la primitiva di 𝑓 il cui grafico passa per l’origine. Studiare la funzione 𝐹, individuandone eventuali simmetrie, asintoti, estremi. Provare che 𝐹 presenta due flessi nei punti di ascisse 𝑡 = ±^√2

2 𝑎 e determinare le pendenze delle rette tangenti al grafico di F in tali punti.

 Con le opportune motivazioni, dedurre il grafico di 𝑓 da quello di 𝐹, specificando cosa rappresentano le ascisse dei punti di flesso di 𝐹 per la funzione 𝑓. Calcolare l’area della regione compresa tra il grafico di 𝑓, l’asse delle ascisse e le rette parallele all’asse delle ordinate passanti per gli estremi della funzione. Fissato 𝑏 > 0, calcolare il valore di ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡_−𝑏^𝑏 .

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QUESITI

1. Una data funzione è esprimibile nella forma 𝑓(𝑥) = ^𝑝(𝑥)

𝑥²+𝑑 , dove 𝑑 ∈ ℝ e 𝑝(𝑥) è un polinomio. Il grafico di 𝑓 interseca l’asse 𝑥 nei punti di ascisse 0 e 12/5 ed ha come asintoti le rette di equazione 𝑥 = 3, 𝑥 = −3 e 𝑦 = 5. Determinare i punti di massimo e di minimo relativi della funzione 𝑓.

2. È assegnata la funzione

𝑔(𝑥) = ∑ 𝑥^2𝑛−1

1010

𝑛=1

= 𝑥 + 𝑥³+ 𝑥⁵+ 𝑥⁷+ ⋯ + 𝑥²⁰¹⁷+ 𝑥²⁰¹⁹

Provare che esiste un solo 𝑥₀ ∈ ℝ tale che 𝑔(𝑥₀) = 0. Determinare inoltre il valore di

𝑥→+∞lim 𝑔(𝑥) 1,1^𝑥

3. Tra tutti i parallelepipedi rettangoli a base quadrata, con superficie totale di area S, determinare quello per cui la somma delle lunghezze degli spigoli è minima.

4. Dati i punti 𝐴(2, 0, −1) e 𝐵(−2, 2, 1), provare che il luogo geometrico dei punti 𝑃 dello spazio, tali che 𝑃𝐴 = √2 𝑃𝐵, è costituito da una superficie sferica S e scrivere la sua equazione cartesiana. Verificare che il punto 𝑇(−10, 8, 7) appartiene a S e determinare l’equazione del piano tangente in T a S.

5. Si lanciano 4 dadi con facce numerate da 1 a 6.

 Qual è la probabilità che la somma dei 4 numeri usciti non superi 5?

 Qual è la probabilità che il prodotto dei 4 numeri usciti sia multiplo di 3?

 Qual è la probabilità che il massimo numero uscito sia 4?

6. Una spira di rame, di resistenza 𝑅 = 4,0 mΩ, racchiude un’area di 30 cm² ed è immersa in un campo magnetico uniforme, le cui linee di forza sono perpendicolari alla superficie della spira. La componente del campo magnetico perpendicolare alla superficie varia nel tempo come indicato in figura.

Spiegare la relazione esistente tra la variazione del campo che induce la corrente e il verso della corrente indotta. Calcolare la corrente media che passa nella spira durante i seguenti intervalli di tempo:

a) da 0,0 ms a 3,0 ms;

b) da 3,0 ms a 5,0 ms;

c) da 5,0 ms a 10 ms.

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7. In laboratorio si sta osservando il moto di una particella che si muove nel verso positivo dell’asse x di un sistema di riferimento ad esso solidale. All’istante iniziale, la particella si trova nell’origine e in un intervallo di tempo di 2,0 ns percorre una distanza di 25 cm. Una navicella passa con velocità 𝑣 = 0,80 𝑐 lungo la direzione x del laboratorio, nel verso positivo, e da essa si osserva il moto della stessa particella.

Determinare le velocità medie della particella nei due sistemi di riferimento. Quale intervallo di tempo e quale distanza misurerebbe un osservatore posto sulla navicella?

8. Un protone penetra in una regione di spazio in cui è presente un campo magnetico uniforme di modulo

|𝐵⃗ | = 1,00 mT. Esso inizia a muoversi descrivendo una traiettoria ad elica cilindrica, con passo costante

∆𝑥 = 38,1 cm, ottenuta dalla composizione di un moto circolare uniforme di raggio 𝑟 = 10,5 cm e di un moto rettilineo uniforme. Determinare il modulo del vettore velocità e l’angolo che esso forma con 𝐵⃗ .

COSTANTI FISICHE

carica elementare e 1,602 · 10⁻¹⁹ C

massa del protone mp 1,673 · 10⁻²⁷ kg

velocità della luce c 2,998 · 10⁸ m/s

____________________________

Durata massima della prova: 6 ore.

È consentito l’uso di calcolatrici scientifiche e/o grafiche purché non siano dotate di capacità di calcolo simbolico (O.M. n. 205 Art. 17 comma 9).

È consentito l’uso del dizionario bilingue (italiano-lingua del paese di provenienza) per i candidati di madrelingua non italiana.

Non è consentito lasciare l’Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.

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ESAMI DI STATO NEI LICEI SCIENTIFICI A.SC. 2018-2019

PROF. ANTONIO AGOSTINO PROF. FRANCESCO ZUMBO

Siano

(0.1) f (x) = ax² − x + b

(0.2) g(x) = (ax + b) · e^2x−x² le due funzioni date.

Se a > 0 la f (x) é la parabola con concavitá rivolta verso l’alto, mentre se a < 0 la concavitá é rivolta verso il basso. La funzione g(x) é il prodotto del fattore lineare (ax + b) moltiplicato per il fattore esponenziale e^2x−x² , si ricorda che tale fattore esponenziale é sempre > 0.

Analizziamo il comportamento della funzione f (x) ai limiti del dominio.

Cioé studiamo

x→+∞lim f (x) e

x→−∞lim f (x) .

É bene osservare che ax² é un infinito di ordine superiore rispetto a x quindi sostituendo non é una forma indeterminata.

x→+∞lim ax² − x + b =

Date: 01-07-2019.

1

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2 PROF. ANTONIO AGOSTINO PROF. FRANCESCO ZUMBO

(0.3)







+∞, se a > 0;

−∞, se a < 0.

Calcoliamo

x→−∞lim ax² − x + b =

(0.4)







+∞, se a > 0;

−∞, se a < 0.

Calcoliamo

(0.5) lim

x→+∞(ax + b) · e^2x−x² = lim

x→+∞(ax + b) · lim

x→+∞e^2x−x² Calcoliamo i limiti separatamente

(0.6) lim

x→+∞(ax + b) =







+∞, se a > 0;

−∞, se a < 0.

e

(0.7) lim

x→+∞e^2x−x² e^lim^x→+∞^2x−x² =

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WWW.FRANCESCOZUMBO.IT ESAMI DI STATO NEI LICEI SCIENTIFICI A.SC. 2018-2019 3

ricordando sempre che x² é un infinito di ordine superiore a 2x

(0.8) = e^−∞ = 1

e^+∞ = 1

+∞ = 0 In definitiva

(0.9) lim

x→+∞(ax + b) · e^2x−x² = 0 ∀a, b ∈ R Analogamente calcoliamo i limiti per x → −∞

x→−∞lim (ax + b) =

(0.10)







−∞, se a > 0;

+∞, se a < 0.

Studiamo

(0.11) lim

x→−∞e^2x−x² = e^lim^x→−∞^2x−x² = e^−∞ = 1

e^+∞ = 0 In definitiva

(0.12) lim

x→−∞(ax + b) · e^2x−x² = 0 ∀a, b ∈ R In sintesi abbiamo provato che

(0.13) lim

x→±∞(ax + b) · e^2x−x² = 0 ∀a, b ∈ R

Da cui si osserva che per la funzione g(x) l’asse delle X di equazione y = 0 é un asintoto orizzontale.

É bene ricordare che per il grafico della funzione esponenziale il fattore e^2x−x²

é sempre > 0

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FIGURA1. Grafico funzione esponenziale

mentre il fattore lineare (ax + b) puó essereS 0 a seconda dei valori di a e di b.

La funzione g(x) é una funzione continua , quindi per essa vale il Teorema di Weierstrass. Per tale teorema la funzione g(x) ammette un minimo e massimo assoluti, nell’insieme di definizione, che é tutto R.

Determiniamo i valori di a e di b in corrispondenza dei quali le funzioni f (x) e g(x) si incontrano nel punto A(2; 1) , tale ipotesi é vera se le coordinate del punto A soddisfano contemporaneamente le equazioni delle funzioni f (x) e g(x).

Se A ∈ f (x) deve valere l’identitá

(0.14) 1 = a · 4 − 2 + b

(0.15) 0 = −1 + 4a − 2 + b

(0.16) 4a + b − 3 = 0

Se A ∈ g(x) deve valere l’identitá

(0.17) 1 = (2a + b) · e⁴⁻⁴ = (2a + b) · e⁰ = (2a + b)

(12)

cioé

(0.18) 1 = 2a + b

visto che le due condizioni devono sussistere contemporaneamente possiamo metterle a sistema

(0.19)







4a + b − 3 = 0, 1 = 2a + b,

Si tratta di un semplicissimo sistema lineare di due equazioni in due in- cognite , e lo si puó benissimo risolvere facilmente per sostituzione , la soluzione é

(0.20) a = 1 ; b = −1

Da questo momento in poi le funzioni f (x) e g(x) saranno

(0.21) f (x) = y = x² − x − 1

e

(0.22) g(x) = y = (x − 1) · e^2x−x² Studiamo la parabola

(0.23) y = x² − x − 1

si tratta di una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle Y e con convavitá verso l’alto. É della forma

y = ax² + bx + c

(13)

La formula del vertice é

(0.24) V

− b

2a; −∆ 4a

con ∆ = b² − 4ac

(0.25) V 1

2; −5 4

Calcoliamo i punti di intersezione della parabola con l’asse delle ascisse X, cioé studiamo il sistema

(0.26)







y = x² − x − 1, ;

y = 0, .

x² − x − 1 = 0 x = 1 ±√

5 2

(0.27) x₁ = 1 +√

5

2 w 1.62

(0.28) x₂ = 1 −√

5

2 w −0.62

Il problema richiede di dimostrare che le due funzioni sono tra loro tangenti nel punto B(0; −1). Sappiamo che due curve sono tra loro tangenti in un punto se in quel punto hanno la stessa retta tangente.

Anzi, possiamo dire anche qualcosa in piú , visto che il punto è fissato, possiamo dire che sono tangenti se f⁰(x₀) = g⁰(x₀).

Ricordiamo che l’equazione della retta tangente ad una curva in un suo punto P0(x0; y0) é

(0.29) y − y₀ = f⁰(x₀) · (x − x₀)

(14)

Nel nostro caso

(0.30) f⁰(x) = 2x − 1

(0.31) f⁰(0) = −1

Calcoliamo la derivata di g(x) (0.32) g⁰(x) =

(x − 1) · e^2x−x²

⁰

= (x − 1)⁰· e^2x−x²+ (x − 1) · (e^2x−x²)⁰ = e^2x−x² + (x − 1) · e^2x−x² · (2 − 2x) = e^2x−x²1 + (x − 1)(2 − 2x)=

= e^2x−x²1 + 2x − 2x² − 2 + 2x= e^2x−x²−2x² + 4x + 1 In definitiva

(0.33) g⁰(x) = e^2x−x²−2x² + 4x + 1 Per x = 0 si ha

(0.34) g⁰(0) = e⁰ · (0 + 0 − 1)

(0.35) g⁰(0) = 1 · (−1)

(0.36) g⁰(0) = −1

A questo punto , avendo verificato che i coefficienti angolari delle tangenti alle due funzioni f (x) e g(x) nel punto B(0; −1) sono gli stessi, possiamo affermare che le 2 funzioni sono tra loro tangenti in B(0; −1).

L’equazione della tangente in B(0; −1) é

y − (−1) = (−1)(x − 0) y + 1 = −x

(0.37) y = −x + 1

(15)

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