SONDAGES - TD 1 6 gennaio 2006

SONDAGES - TD 1 6 gennaio 2006

ESERCIZIO 1

Una popolazione è composta da 4 individui di nome A,B,C e D.

I valori di una variabile X rilevata sui quattro individui che costituiscono la popolazione sono i seguenti :

nome A B C D

X 10 12 14 12

Si vuole stimare la media µ della variabile X sulla base di campioni di numerosità 2.

1. Determinare i valori esatti del parametro media µ e del parametro varianza σ

.

media µ=

varianza σ

=

2. Quanti campioni di numerosità k si possono estrarre da una popolazione di

numerosità n se si utilizza il campionamento con ripetizione?

3. Considerando il campionamento con ripetizione, completare la seguente tabella con t utti i possibili campioni e la corrispondente stima della media.

Numero campione

Campione Stima di 

1 AA ( 10+10)/2=10

2 AB ( 10+12)/2=11

3 AC ( 10+14)/2=12

4 AD ( 10+12)/2=11

5 BA ( 12+10)/2=11

6 BB ( 12+12)/2=12

7 BC ( 12+14)/2=13

8 BD ( 12+12)/2=12

9 CA ( 14+10)/2=12

10 CB ( 14+12)/2=13

11 CC ( 14+14)/2=14

12 CD ( 14+12)/2=13

13 DA ( 12+10)/2=11

14 DB ( 12+12)/2=12

15 DC ( 12+14)/2=13

16 DD ( 12+12)/2=12

4. Sulla base della tabella precedente, calcolare media e varianza dello stimatore della media nel caso di campionamento con ripetizione utilizzando la tabella seguente che riporta la legge dello stimatore della media.

Stimatore della media µ 10 11 12 13 14

Frequenza Media dello stimatore :

Varianza dello stimatore :

5. Ripetere i punti 2), 3) e 4) nel caso di campionamento senza ripetizione e confrontare i risultati ottenuti, in particolare confrontare i valori di media e varianza dello stimatore della media nei due casi.

Campionamento senza ripetizione Numero

campione

Campione Stima di 

= AA Campione non estraibile

1 AB

2 AC

3 AD

4 BA

= BB Campione non estraibile

5 BC

6 BD

7 CA

8 CB

= CC Campione non estraibile

9 CD

10 DA

11 DB

12 DC

= DD Campione non estraibile

Stimatore della media µ Frequenza

Media dello stimatore :

Varianza dello stimatore :

Confronto fra gli stimatori nei due casi (con ripetizione e senza ripetizione) :

ESERCIZIO 2

Ripetere l’esercizio 1 utilizzando campioni di numerosità 3.

ESERCIZIO 3

In un’urna vi sono 20 palline, di cui 5 nere e 15 bianche. Si vuole stimare la proporzione di palline nere sulla base di campioni di numerosità 2.

a) Determinare il valore esatto del parametro.

b) Scrivere tutti i possibili valori della stima della proporzione.

c) Calcolare le probabilità dei precedenti valori dello stima nel caso in cui si utilizzi il campionamento con ripetizione.

d) Calcolare media e varianza dello stimatore della proporzione nel caso di campionamento con ripetizione.

e) Ripetere i punti c) e d) nel caso di campionamento senza ripetizione.

f) Confrontare i risultati ottenuti, in particolare confrontare i valori di media e varianza dello stimatore della proporzione nei due casi.

ESERCIZIO 4

Ripetere l’esercizio 3 utilizzando campioni di numerosità 3.