LeLing9: Prodotto tra matrici.
A¯rgomenti svolti:
• Prodotto tra matrici.
• Dimostrazione del teorema del rango.
• L’algebra delle matrici quadrate: Il prodotto tra matrici non e’ commutativo.
• Rotazioni e operazioni elementari usando il prodotto, cioe’ matrici elementari.
• La trasposizione, cioe’ la matrice trasposta.
E¯sercizi consigliati: Geoling 12.
Prodotto tra matrici
Per dire in modo semplice che la colonna B e’ combinazione lineare delle colonne A1, A2, · · · , An si usa il concetto di prodotto tra una matrice A e una colonna C . Piu’
precisamente, se la colonna B e’ una combinazione lineare delle colonne A1, A2, · · · , An allora esistono c1, c2, · · · , cn tali che c1A1 + c2An+ · · · + cnAn = B . Possiamo allora pensare alle colonne A1, A2, · · · , An come le colonne di una matrice A e possiamo an-
che pensare i coefficienti c1, c2, · · · , cn come gli elementi di una colonna C =
c1
c2 ... cn
.
Dunque il prodotto A.C della matrice A e la colonna C sara’ per definizione la colonna B .
Definizione 0.1. Sia A = (aij) una matrice m × n, cioe’ A ha m righe e n colonne.
Sia C = (ci) una colonna di n elementi. Allora il prodotto A · C e’ la combinazione lineare c1A1 + c2An+ · · · + cnAn.
Osservare che il prodotto A · C della matrice A e la colonna C ha senso solo quando C e’ una colonna con un numero di elementi uguale al numero di colonne della matrice A.
Esempio 0.2. Il prodotto A · C della matrice A = 0 1 2 −1 1 5 −7 0
e la colonna
C =
5 2 1 0
e’ A · C = 5 0 1
+ 2 1 5
+ 1
2
−7
+ 0 −1 0
= 4 8
.
Geometria Lingotto.
Una volta che abbiamo definito il prodotto tra una matrice A e una colonna C possiamo definire il prodotto tra una matrice A e una matrice C . L’idea e’ pensare C dal punto di vista delle colonne e usare la definizione precedente.
Definizione 0.3. Sia A una matrice m × k e sia C una matrice k × n. Allora il prodotto A · C e’ la matrice m × n :
A · C := (A · C1 A · C2 · · · A · Cn) dove A · Cj e’ il prodotto tra la matrice A e la colonna Cj.
Dunque la prima colonna del prodotto A · C e’ la combinazione lineare delle colonne di A ottenuta usando i coefficienti della prima colonna della C , la seconda colonna del prodotto A·C e’ la combinazione lineare delle colonne di A ottenuta usando i coefficienti della seconda colonna della C e cos´ı via. In questo modo, il prodotto A · C si pensa dal punto di vista delle colonne.
Pensando alla matrice A dal punto di vista delle righe, cioe’ A =
R1 R2 ... Rm
osservi-
amo che il prodotto A · C tra A e una colonna C , si puo’ anche calcolare faccendo il prodotto tra le righe di A e la colonna C , cioe’:
A · C =
R1· C R2· C
... Rm· C
Questa osservazione dimostra la seguente proposizione.
Proposizione 0.4. Sia A =
R1 R2 ... Rm
una matrice di m × k , cioe’ la riga Rj ha k
elementi, e sia C = (C1C2 · · · Cn) una matrice di k × n. Allora il prodotto A · C e’ la seguente matrice m × n:
A · C :=
R1· C1 R1· C2 · · · R1· Cn R2· C1 R2· C2 · · · R2· Cn
... ... · · · ... Rm· C1 Rm· C2 · · · Rm· Cn
.
Dove Ri· Cj =Pk
s=1aiscsj.
Dunque possiamo anche pensare al prodotto A · C del punto di vista delle righe, cioe’
A · C =
R1· C R2· C
... Rm· C
.
Detto a parole: la prima riga della matrice A · C e’ la combinazione lineare delle righe della matrice C usando i coefficenti della prima riga di A, la seconda riga della matrice A · C e’ la combinazione lineare delle righe della matrice C usando i coefficenti della seconda riga di A e cos´ı via. Ecco un modo pratico di fare il prodotto A · B :
0.1 Dimostrazione del Teorema del rango
Questa possibilit´a di pensare il prodotto tra matrici dal punto di vista delle colonne oppure delle righe ci permette dimostrare molto semplicemente il Teorema del rango che afferma che il rango righe ρR(A) e’ uguale al rango colonne ρC(A) per qualsiasi ma- trice A. Ricordare che questo permette definire il rango ρ(A) di una matrice A come ρ(A) = ρR(A) = ρC(A).
Dimostrazione del Teorema del rango. Sia A una matrice n × m e sia c = ρC(A) il rango colonne. Allora le colonne della matrice A sono combinazione lineare di c colonne
0.1 Dimostrazione del Teorema del rango Geometria Lingotto.
C1, C2, · · · Cc. Sia C la matrice le cui colonne sono le C1, C2, · · · , Cc. Interprentando il prodotto dal punto di vista delle colonne segue che esiste una matrice M tale che A = C · M , cioe’ la prima colonna di A e’ la combinazione lineare delle colonne di C usando i coeficienti della prima colonna di M , etc. Osservare che la matrice C e’ n × c e la matrice M e’ c × m. Adesso e’ il momento d’interpretare il prodotto A = C · M dal punto di vista delle righe. Dunque le righe di A sono combinazioni lineari delle righe di M . Questo implica che lo spazio righe di A, RA e’ un sottospazio dello spazio righe RM di M e’ quindi risulta ρR(A) = dim(RA) ≤ dim(RM) = ρR(M ). Ma M ha c righe dunque:
ρR(A) = dim(RA) ≤ dim(RM) = ρR(M ) ≤ c = ρC(A)
da cui ρR(A) ≤ ρC(A). In modo analogo, cioe’ pensando inizialmente A dal punto di vista delle righe risulta la desiguaglianza ρC(A) ≤ ρR(A). Dunque ρC(A) = ρR(A).
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L’algebra delle matrici quadrate n × n
Sia Mn,n l’insieme di matrici quadrate n × n. Sappiamo che Mn,n e’ uno spazio vettori- ale. Ma sappiamo anche che il prodotto A·B tra due matrici in Mn,n e’ pure una matrice quadrata n × n. Questo permette di parlare di algebra delle matrici quadrate, poiche’
in matematica un’algebra e’ uno spazio vettoriale dove si possono moltiplicare i vettori in modo che le regole usuali tra i numeri vengano soddisfatte, cioe’ la associativita’ e la distributivita’.
Proposizione 0.5. Siano A, B, C tre matrici. Allora le seguente regole usuali di calcolo sono vere:
(i) (A · B) · C = A · (B · C), cioe’ la proprieta’ associativita,
(ii) (A + B) · C = A · C + B · C
A · (B + C) = A · B + A · C , cioe’ la proprieta’ distributiva.
E’ importante notare la ragione per cui si enuncia due volte la proprieta’ distributiva;
essa e’ dovuta al fatto che a differenza del prodotto tra i numeri il prodotto tra matrici non e’ commutativo.
Esempio 0.6. Ecco un esempio di due matrici A, B il cui prodotto A · B non e’ uguale al prodotto B · A. Sia A = 0 1
0 0
e sia B = 0 0 1 0
. Dunque
A · B = 1 0 0 0
,
invece
B · A = 0 0 0 1
.
0.2 Operazioni elementari tramite il prodotto A · B
Abbiamo visto che la prima riga del prodotto A · B e’ la combinazione lineare delle righe della matrice B usando i coefficenti della prima riga della matrice A. Ad esempio, moltiplicare la prima riga della matrice B con il numero r e’ il risultato della seguente moltiplicazione:
r 0 · · · 0 0 1 · · · 0 ... ... · · · ...
0 0 · · · 1
· B
L’operazione elementare rRi di moltiplicare la riga Ri per un numero r si puo’ fare tramite il prodotto matriciale. Semplicemente si cambia l’uno della posizione i i della matrice identica per il numero r . Ad esempio se B e’ una matrice 4 × 3 la operazione 7R3 e’ il risultato del prodotto A · B dove la matrice A e’ :
A =
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 7 0 0 0 0 1
Per motivi ovvi questa matrice si chiama rRi invece di A, cioe’ scrivendo rRi· B si capisce subito che il risultato e’ quello di fare una operazione elementare sulle righe di B . La operazione elementare di scambio di due righe si puo’ fare anche usando il prodotto.
Ad esempio se vogliamo scambiare la prima e la seconda riga della matrice B basta cal- colare A · B dove A e’:
A =
0 1 0 · · · 0 1 0 0 · · · 0 0 0 1 · · · 0 ... ... ... . .. ...
0 0 0 · · · 1
0.2 Operazioni elementari tramite il prodotto A · B Geometria Lingotto.
Per questa ragione invece di usare la lettera A si usa il simbolo R1⇔2 per denotare questa matrice. Quindi la matrice R1⇔2 · B e’ la matrice che risulta scambiando la prima riga con la seconda della matrice B . Secondo la stessa idea possiamo scambiare qualsiasi coppia di righe i, j moltiplicando per un matrice Ri⇔j. Ad esempio, se vogliamo scambiare la seconda riga con la quinta di una matrice B 5 × 6 basta calcolare R2⇔5· B dove R2↔5 e’:
R2⇔5 =
1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
Anche l’ultima operazione elementare Ri + rRj, cioe’ sommare alla i-esima riga la riga j -esima moltiplicata per r , si puo’ fare tramite il prodotto matriciale. Questa matrice verra’ denotata con Ri+r.j. Se B e’ una matrice 5 × 6 ecco la R2+17.4, cioe’
l’operazione di sommare alla seconda riga di B la quarta riga di B moltiplicata per 17:
R2+17.4 =
1 0 0 0 0
0 1 0 17 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
Possiamo riassumere quanto detto nel seguente teorema.
Teorema 0.7. Sia A una matrice e sia E la matrice echelon che si ottiene da A usando il metodo di Gauss-Jordan. Allora esiste una matrice M tale che M · A = E , dove M si ottiene moltiplicando tra di loro matrici del tipo Ri+r.j, Ri⇔j e rRi.
Le matrici del tipo Ri+r.j, Ri⇔j e rRi si chiamano matrici elementari.
La matrice trasposta
Abbiamo visto che una matrice si puo’ pensare facendo particolare attenzione alle righe oppure mettendo in maggior rilievo le colonne, cioe’ possiamo pensare la matrice dal punto di vista delle righe o dal punto di vista delle colonne. Se A e’ una matrice allora la matrice traposta At e’ la matrice che si ottiene di A facendo diventare la riga Ri una colonna Ci, cioe’ la colonna Ci della At ha gli elementi della riga Ri della A. E’ facile vedere che se A = (aij) allora At= aji, cioe’ si scambiano i sottoindici, poiche’ le righe diventano colonne e viceversa.
Esempio 0.8. Se A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
allora At=
1 6 2 7 3 8 4 9 5 0
.
Osservare che se A e’ n × m allora At e’ m × n. Ovviamente (At)t= A. Una matrice si chiama simmetrica se At= A e anti-simmetrica se At= −A. Notare che gli elementi diagonali di una matrice anti-simmetrica sono zeri.
Ecco le proprieta’ piu’ importanti della trasposizione.
Proposizione 0.9. Se A, B sono matrici allora:
• (A + B)t= At+ Bt,
• (rA)t= rAt,
• (A · B)t= Bt· At.
Osservare che le due prime propieta’ ci assicurano che la trasposta di una combi- nazione lineare e’ la combinazione linerare delle trasposte, cioe’ (c1A1+ · · · + cnAn)t = c1At1 + · · · + cnAtn. Invece l’ultima ci dice che l’ordine del prodotto cambia dopo la trasposizione.
Ecco un corollario del teorema del rango.
Proposizione 0.10. Il rango di A e’ uguale a quello di At. Simbolicamente ρ(A) = ρ(At).
Abbiamo visto che Mn,m, cioe’ l’insieme di matrici n × m, e’ uno spazio vettoriale di dimensione n.m poiche’ le matrici Eij che hanno tutti zeri tranne al posto (i, j), dove c’e’ 1, sono n.m matrici independenti che generano Mn,m.
Sia A una colonna di n elementi e sia B una colonna di m elementi. Allora A · Bt∈ Mn,m e A · B = (aibj). Osservare che i prodotti ei· (ej)t , dove (ei) e’ la base canonica delle colonne sono le matrici Eij.
Osservare che cosi’ e’ facile calcolare il prodotto A·Eij = A·(ei·(ej)t) = (A·ei)·(ej)t= Ai· (ej)t; pertanto il prodotto A · Eij e’ la matrice dove tutte le colonne sono nulle tranne la colonna j che e’ la colonna i della A.
0.2 Operazioni elementari tramite il prodotto A · B Geometria Lingotto.
Rotazioni
Una applicazione importante del prodotto A · C e’ qualla delle rotazioni. Supponiamo che vogliamo ruotare una figura di un angolo θ intorno al punto O nel senso anti-orario:
Il problema e’ trovare le coordinate dei punti A0, B0, C0 usando le coordinate dei punti A, B, C .
La matrice R = cos(θ) − sin(θ) sin(θ) cos(θ)
permette di risolvere il problema facilmente.
Assumiamo che le coordinate del punto O sono 0, 0, cioe’ O si rappresenta tramite la colonna 0
0
. Possiamo rappresentare il punto A tramite la colonna A = a 0
, il punto B con la colonna B = a
b
e infine il punto C tramite la colonna C = 0 b
. Ecco la soluzione:
A0 = R · A B0 = R · B
C0 = R · C
Dunque, in generale, se vogliamo ruotare la colonna X = x y
basta calcolare il prodotto R · X . Ecco il risultato:
R · X = cos(θ) − sin(θ) sin(θ) cos(θ)
· x y
= cos(θ)x − sin(θ)y sin(θ)x + cos(θ)y
Piu’ avanti si fara’ vedere che usando i numeri complessi e’ anche molto facile ruotare le figure nel piano.
