Vibrations des systèmes mécaniques Exercices d’application : vibrations des milieux continus
Exercice VIB-MMC-4 : Résidus pondérés pour un Pb de flexion
Thème : Méthodes d’approximation : Résidus pondérés (formulation faible de la méthode de Galerkin) équivalence avec le PTV.
Nous nous intéressons aux vibrations transversales de la poutre représentée par la
figure ci contre. La masse m en bout de poutre est supposée ponctuelle. Pb de flexion m
Pour traiter ce problème nous utiliserons la forme faible associée à la méthode de Galerkin avec des fonctions de forme cinématiquement admissibles (les conditions aux limites sthéniques étant non homogènes).
Mise en équations - construction d’une approximation.
Écrivez le système d’équations différentielles régissant ce problème.
Montrer que les fonctions de forme wn = −1 cos(C xn ) sont cinématiquement admissibles.
Déterminer la valeur de Cn pour que l’approximation satisfasse toutes les conditions aux limites homogènes du problème.
Méthode des résidus pondérés.
Après avoir défini le résidu, transformer la forme intégrale par intégration par parties pour faire apparaître les conditions aux limites.
En déduire l’équation matricielle du modèle ainsi construit.
Calculer l’expression des matrices masse et raideur.
Application numérique avec M =ρSA
Les 2 premières pulsations de résonance obtenues analytiquement sont :
ω ρ
ω ρ
1 4
2 4
1 557 16,25
=
=
⎧
⎨⎪
⎩⎪
, EI
S EI
S A A
Comparez avec les résultats obtenus pour une approximation à un puis deux paramètres.
Partez de l’écriture du PTV de ce problème, pour retrouver la forme matricielle associée à l’approximation précédente.
Variante :
Refaire l’exercice en utilisant une approximation cinématiquement admissible construite sur une base polynomiale de degré trois.
