Matematica Discreta
Lezione del giorno 8 novembre 2010 Elementi di Logica Matematica Proposizioni e predicati.
Si definisce proposizione logica (o brevemente proposizione) una frase di senso compiuto in cui sia contenuta un’affermazione che sia vera o falsa.
Esempio:
P = “10>6”
é un esempio di proposizione vera: P è il nome della proposizione, fra virgolette vi è il testo o enunciato della proposizione. Il nome della proposizione può essere una qualunque successione di caratteri alfabetici e numerici, per esempio P, Prop, P1 etc…..
Esempi
Q = “Palermo è una città della Liguria”
é una proposizione (falsa).
R = “Ciao”
non è una proposizione (è un saluto ma non contiene un’affermazione).
Il valore di verità o falsità di una proposizione può anche non essere conosciuto:
Q=”esiste vita intelligente al di fuori della terra”
é una proposizione (anche se non sappiamo attualmente se sia vera o falsa).
Si definisce predicato logico (o brevemente predicato) una frase di senso compiuto che contiene delle variabili (spesso indicate con lettere come x,y,z….) e che diventa una proposizione (vera o falsa) quando si fanno assumere valori concreti alle variabili.
Esempio:
P(x,y) = “x+y>40” è un predicato nelle 2 variabili x,y (P è il nome del predicato, seguito dall’elenco (x,y), facoltativo, delle variabili; fra virgolette vi è il testo o enunciato del predicato).
Se facciamo per esempio assumere alle variabili rispettivamente i valori x=19, y=28, otteniamo la proposizione (vera)
P(9,8) = “l9+28 >40”
mentre se facciamo per esempio assumere alle variabili rispettivamente i valori x=4, y=5, otteniamo la proposizione (falsa)
P(4,5) = “4+5 >40”
La scelta arbitraria dei valori delle variabili potrebbe però portare a frasi senza senso logico (che quindi non sono delle proposizioni): se nel predicato
Q(x) = “x > 10”
facessimo assumere alla variabile x il valore “Palermo” la frase ottenuta “Palermo >10” sarebbe priva di senso.
Per ovviare a questo inconveniente, talvolta si restringono in un predicato i valori possibili che possono assumere le variabili, indicando il campo di variabilità o universo (ossia indicando i valori permessi per le variabili).
Esempio:
Scrivendo il predicato
P(x) = “x<20” e precisando universo = numeri interi positivi
si intende che nel predicato P gli unici valori leciti che si possono attribuire alla variabile x sono appunto gli interi positivi.
Notiamo anche che una proposizione si può in pratica considerare un predicato senza variabili: in tal senso tutto ciò che diremo in seguito sui predicati si potrà applicare come caso particolare alle proposizioni.
