Politecnico di Torino – II Facolt`a di Architettura A
Esame di Istituzioni di Matematiche II–01BJW–13 gennaio 2003
Teoria: Il teorema fondamentale del calcolo integrale.
Esercizio 1. Calcolare Z 1
x3cos2 1x2
dx mediante la sostituzione y = x12.
R: −21tanx12 + k.
Esercizio 2. Determinare l’area della regione di piano del primo quadrante individuata dalle curve y = x, y = 1
4x, y = 1 x. R: log 2. Esercizio 3. Trovare e classificare i punti critici della funzione
f (x, y) = x(y − 1) + y2 R: (-2, 1) punto di sella. Esercizio 4. Calcolare
Z Z
D
y dxdy essendo D il dominio individuato dalle curve y = x e y =√
x.
R: 121.
Politecnico di Torino – II Facolt`a di Architettura B
Esame di Istituzioni di Matematiche II–01BJW–20 gennaio 2003
Teoria: Il teorema fondamentale del calcolo integrale.
Esercizio 1. Calcolare Z 1
x4cos2 1x3 dx mediante la sostituzione y = x13.
R: −31tanx13 + k.
Esercizio 2. Determinare l’area della regione di piano individuata dalle curve y = x2, y = 1
8x2, y = 1 x. R: log 2. Esercizio 3. Trovare e classificare i punti critici della funzione
f (x, y) = y(x − 1) + x2 R: (1, -2) punto di sella. Esercizio 4. Calcolare
Z Z
D
x dxdy essendo D il dominio individuato dalle curve y = x2e y = x.
R: 121.
Politecnico di Torino – II Facolt`a di Architettura A
Esame di Istituzioni di Matematiche II–01BJW–20 gennaio 2003
Esercizio 1. Calcolare
Z (log√x)3
x dx mediante la sostituzione y = log√ x.
Esercizio 2. Calcolare l’area della regione di piano delimitata dai grafici delle funzioni y = √4
x e y = x3. Esercizio 3. Trovare e classificare i punti critici della funzione
f (x, y) =2 3x3+2
3y3− xy
Esercizio 4. Calcolare Z Z
D
e2x+ydxdy essendo D il dominio individuato dalle curve
y = x, y = 2 − x, y = 0.
Teoria: La formula fondamentale del calcolo integrale.
Politecnico di Torino – II Facolt`a di Architettura B
Esame di Istituzioni di Matematiche II–01BJW–20 gennaio 2003
Esercizio 1. Calcolare
Z plog √x
x dx mediante la sostituzione y = log√ x.
Esercizio 2. Calcolare l’area della regione di piano delimitata dai grafici delle funzioni y = √3
x e y = x4. Esercizio 3. Trovare e classificare i punti critici della funzione
f (x, y) = xy −1 3x3−1
3y3
Esercizio 4. Calcolare Z Z
D
ex+3ydxdy essendo D il dominio individuato dalle curve
y = −x, y = x − 2, y = 0.
Teoria: La formula fondamentale del calcolo integrale.
Politecnico di Torino – II Facolt`a di Architettura A
Esame di Istituzioni di Matematiche II – 01BJW – 6 febbraio 2003
Esercizio 1Calcolare Z log x
x sin(log x) dx mediante la sostituzione t = log x.
R: − log x cos(log x) + sin(log x) + K Esercizio 2Calcolare l’integrale doppio
Z Z
D
x dxdy dove D = {(x, y) ∈ R2/ x2+ y2≤ 4}.
R: 0
Esercizio 3Trovare e classificare i punti critici della funzione f (x, y) = 1
3(x3− 3x + y2) R: (1, 0): p.to di min, (-1,0) p.to di sella
Esercizio 4Valutare il carattere (convergenza o divergenza) dell’integrale improprio Z +∞
1
√ x
1 + 2x6dx R: converge
Teoria: Il calcolo delle aree.
Politecnico di Torino – II Facolt`a di Architettura B
Esame di Istituzioni di Matematiche II – 01BJW – 6 febbraio 2003
Esercizio 1Calcolare
Z (√3
x + 1)cos(√3 x + 1)
√3
x2 dx mediante la sostituzione t =√3
x + 1.
R: 3[(√3x + 1) sin(√3x + 1) + cos(√3x + 1)] + K Esercizio 2Calcolare l’integrale doppio
Z Z
D
y dxdy dove D = {(x, y) ∈ R2/ x2+ y2≤ 9}.
R: 0
Esercizio 3Trovare e classificare i punti critici della funzione f (x, y) = 1
3(y3− 3y + x2) R: (0, 1): p.to di min, (0,-1) p.to di sella
Esercizio 4Valutare il carattere (convergenza o divergenza) dell’integrale improprio Z +∞
1
√x x + 1dx R: diverge
Teoria: Il calcolo delle aree.
Politecnico di Torino – II Facolt`a di Architettura A
Esame di Istituzioni di Matematiche II – 01BJW – 24 aprile 2003
Esercizio 1Calcolare Z
e√x−1dx mediante la sostituzione t =√
x − 1.
Esercizio 2Calcolare l’area della regione di piano delimitata dai grafici delle funzioni y = x, x = 1, x = e, y = log x.
Esercizio 3Trovare e classificare i punti critici della funzione f (x, y) = e(x2+y2).
Esercizio 4. Calcolare Z Z
D
√1ydxdy
essendo D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, (1 + x)2≤ y ≤ (2 + x)2} . Teoria: Il teorema della media.
Politecnico di Torino – II Facolt`a di Architettura B
Esame di Istituzioni di Matematiche II – 01BJW – 24 aprile 2003
Esercizio 1Calcolare Z
log√
x + 2 dx mediante la sostituzione t =√
x + 2.
Esercizio 2Calcolare l’area della regione di piano delimitata dai grafici delle funzioni y = x, x = 0, x = π, y = sin x.
Esercizio 3Trovare e classificare i punti critici della funzione f (x, y) = e−(x2+y2).
Esercizio 4. Calcolare Z Z
D
y dxdy essendo D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, √
1 + x ≤ y ≤√
2 + x} . Teoria: Il teorema della media.
Politecnico di Torino – II Facolt`a di Architettura
Esame di Istituzioni di Matematiche II – 01BJW – 13 giugno 2003
Esercizio 1Calcolare, mediante la sostituzione t = e√x, il seguente integrale Z e√xcos(e√x)
√x dx.
R: 2 sin(e√x) + k
Esercizio 2Valutare il carattere (convergenza o divergenza) dell’integrale improprio Z +∞
1
√sin x + x
√1 + 2x4 dx.
R: converge
Esercizio 3Determinare, caratterizzandoli, gli eventuali punti critici della funzione f (x, y) = x2+ y2− 6x + 8y + 5.
R: P (3, −4) p.to di min
Esercizio 4. Calcolare Z Z
T
ey(x − 1) dx dy dove T `e il triangolo di vertici A = (0, 0), B = (1, 0), C = (1, 1).
R: 52− e
Teoria: Formule di riduzione per gli integrali doppi.
Politecnico di Torino – II Facolt`a di Architettura
Esame di Istituzioni di Matematiche II – 01BJW – 20 giugno 2003
Esercizio 1Calcolare l’integrale indefinito Z 1
x2 r
1 + 1 xdx mediante la sostituzione y = 1x.
R: −32(1 + 1x)32 + k
Esercizio 2Determinare l’area della regione di piano individuata dalle curve y = log x, y = 1, x = 4.
R: 4 log 4 − 8 + e
Esercizio 3Determinare, caratterizzandoli, gli eventuali punti critici della funzione f (x, y) = x2− 2xy + xy2.
R: (0, 0) e (0, 2) p.ti di sella, (12, 1) p.to di MIN Esercizio 4. Calcolare l’integrale doppio
Z Z
D
px2+ y2dxdy dove D = {(x, y) ∈ R2/ x2+ y2≤ 9}.
R: 18π
Teoria: Regole di integrazione.
Politecnico di Torino – II Facolt`a di Architettura
Esame di Istituzioni di Matematiche II – 01BJW – 3 luglio 2003
Esercizio 1Calcolare l’integrale indefinito Z
cos x sin(sin x) dx
mediante la sostituzione t = sin x.
R: − cos(sin x) + k
Esercizio 2Calcolare la media della funzione
f (x) = x3−√3 x − 5ex nell’intervallo [-2, 1].
R: −23−53e +53e−2+12√3 2
Esercizio 3Determinare, caratterizzandoli, gli eventuali punti critici della funzione f (x, y) = y2+ 2xy − 4x + 8y.
R: (-6, 2) p.to di sella
Esercizio 4. Calcolare Z Z
D
xy dx dy,
dove D `e la regione delimitata dalle curve y = 9x, x = 1, xy = 1.
R: 10 +12log13
Teoria: Teorema fondamentale del calcolo integrale.
Politecnico di Torino – II Facolt`a di Architettura
Esame di Istituzioni di Matematiche II – 01BJW – 10 settembre 2003
Esercizio 1Calcolare l’integrale indefinito
Z 1
x14(1 + x34)dx mediante la sostituzione y = x34.
Esercizio 2Calcolare l’area della regione di piano delimitata dai grafici delle funzioni y = cos x + 1, y = 0 e dalle rette x = −π2 e x = 2π.
Esercizio 3Trovare e classificare i punti critici della funzione di due variabili f (x, y) = (ex− 1) arctan y + 17
Esercizio 4. Data la funzione
f (x, y) = x y2 a) scrivere f in coordinate polari;
b) calcolare l’integrale doppio di f sul dominio
D = {(ρ, θ) ∈ R2 : 1 ≤ ρ ≤ 2, π
4 ≤ θ ≤ 3π 4} Teoria: Il teorema della media.
Politecnico di Torino – II Facolt`a di Architettura
Esame di Istituzioni di Matematiche II – 01BJW – 18 settembre 2003
Esercizio 1Calcolare
Z
cos3x dx mediante la sostituzione t = sin x.
Esercizio 2Calcolare l’area della regione di piano individuata dalla curva di equazione y = ex e dalla retta passante per i punti A = (−1, e−1) e B = (0, 1).
Esercizio 3Trovare e classificare i punti critici della funzione f (x, y) = 1
2(x3+ y3) − xy Esercizio 4. Calcolare l’integrale doppio
3 2
Z Z
D
x√y dxdy
dove D ´e la porzione di piano, per x ∈ [0, 1], compresa tra l’asse delle x, la curva y = x2e la retta x = 1.
Teoria: Formula fondamentale del calcolo integrale.
