Algebra 2 (Schoof) 1o appello 18 gennaio 2021, ore 10:00–12:00.
COGNOME . . . . NOME . . . . Risolvere gli esercizi negli spazi predisposti. Accompagnare le risposte con spiegazioni chiare ed essenziali. Consegnare SOLO QUESTO FOGLIO. Ogni esercizio vale 5 punti.
1. Dimostrare che non esiste un gruppo semplice di cardinalit`a 80.
2. Sia K un campo e sia K ⊂ L un’estensione di grado [L : K] dispari. Sia α ∈ L.
Dimostrare che K(α) = K(α2).
3. Sia G un gruppo finito. Il gruppo Aut(G) agisce su G. Supponiamo che ci siano esattamente due orbite.
(a) Dimostrare che gli elementi di G, diversi dall’elemento neutro, hanno lo stesso ordine.
(b) Dimostrare che G `e isomorfo a Zp× . . . × Zp per qualche primo p.
4. Quanti ideali massimali possiede l’anello R[X]/(X4+ X2)?
5. Sia G = GL2(F5) e sia N = SL2(F5) il sottogruppo di matrici di determinante 1.
(a) Dimostrare che N `e un sottogruppo normale di G.
(b) Sia A =
1 2
−1 1
∈ GL2(F5) e sia A la classe laterale di N rappresentata da A.
Calcolare l’ordine di A in G/N .
6. Sia R un anello commutativo con 1. Un elemento x ∈ R si dice nilpotente se xn = 0 per qualche n ≥ 0.
(a) Dimostrare che gli elementi nilpotenti di R formano un ideale J di R.
(b) Dimostrare che J ⊂ ∩
pp dove p varia fra gli ideali primi di R.
Soluzioni.
1. Sia #G = 80. Il numero di 2-sottogruppi di Sylow di G divide 5. Se G fosse semplice ci sarebbero quindi cinque 2-sottogruppi di Sylow. Il coniugio ci d`a un omomorfismo non banale f : G → S5. Poich´e 80 non divide #S5= 120, la mappa f non `e iniettiva e ker f `e un sottogruppo normale non banale di G. Ne segue che G non `e semplice.
2. Questo `e l’esercizio 7 del foglio 8.
3. (a) Per ipotesi le orbite sono l’elemento neutro e e il suo complemento in G. Se g ∈ G e φ ∈ Aut(G), allora g e φ(g) hanno lo stesso ordine. (b) Se g ∈ G ha ordine n, allora per ogni divisore di n l’elemento gd ha ordine n/d. Dal fatto che ogni elemento diverso da e ha ordine n segue che n = p per qualche primo p. Questo implica che G `e un p-gruppo. Se G non `e banale, esiste un elemento x 6= e nel centro Z(G) di G. Allora φ(x) ∈ Z(G) per ogni φ ∈ Aut(G). Concludiamo che G = Z(G) e quindi G `e abeliano e quindi G ∼= Zp× . . . × Zp. 4. Gli ideali massimali di R[X]/(X4+ X2) sono in corrispondenza uno-uno con gli ideali mas- simali di R[X] che contengono X4+ X2. Poich´e R[X] `e un PID questi ideali massimali sono generati da polinomi irriducibili che dividono X4+ X2. Ce ne sono quindi due: X e X2+ 1.
5. (a) SL2(F5) `e il nucleo del determinante ed `e quindi normale. (b) Il determinante di A `e uguale a 3 (mod 5). Poich`e 3 ∈ Z∗5 ha ordine 4, l’ordine di A in G/N `e anche 4.
6. Questo `e l’esercizio 9 del foglio 6.
