(1)Bohr e il vettore di Lenz Introduzione Il titolo puo trare in inganno: non so se Bohr onos esse il vettore di Lenz (probabilmente s

Bohr e il vettore di Lenz

Introduzione

Il titolo puo trare in inganno: non so se Bohr onos esse il vettore di Lenz

(probabilmente s) ma non e di questo he voglio o uparmi. La domanda ui

tentero di dare un risposta e:

omemaiilmodellodiBohrarrivaalvaloreesattodeilivellidell'atomo

d'idrogeno?

Va intanto pre isato he osa intendo on valore \esatto." Intendo he da le

stesseenergie deilivelli hesi ottengonodall'eq.diS hrodinger per unatomoin

uisi assume il protonepuntiformee privodi momentomagneti o, el'elettrone

pure puntiforme, privo di spin e momento magneti o; inoltre si fa il al olo

non-relativisti o.

Partiamodaunrisultatobennotonellame . lassi adel problemadeidue

orpi. Questo si riferis e al potenziale gravitazionale, ma e lo stesso problema

per he i due potenziali vanno entrambi ome 1=r. In termini elementari, il ri-

sultato importante e he nel problema dei due orpi i sono 5 integrali primi

indipendenti e non 4 ome per il generale sistema a simmetria sferi a.

Nel aso generale questi 4 integrali primi sono l'energia E e le tre ompo-

nenti del momento angolare J. Nel aso newtoniano/ oulombiano a questi si

aggiungonole omponenti del vettore di Lenz L:

L= 1



pJ GMm r

jrj

(1)

( = Mm=(M +m) e la massa ridotta, on M massa del protone, m massa

dell'elettrone).

Pero le omponenti di L non sono tutte indipendenti: in primo luogo

J
L =0 (2)

il hesigni a heLgia esemprenelpianodell'orbita. Mapoiesisteun'identita:

jLj 2

=(GMm) 2

+ 2

 EjJj

2

: (3)

Quindisolo la direzione di L e una nuova ostante del moto. Si dimostra he L

puntasempreversoilperielio,quindilasua ostanzasigni a helatraiettoriae

periodi a: ilpianetaripassasempreperglistessipunti. In altritermini,ilperio-

doradiale e quelloangolare sono uguali. (Quando a ausa di unaperturbazione

non sono piuuguali, si ha una pre essione dell'orbita.)

E ovvio he la denizione (1) del vettore di Lenz, la relazione (2), la (3),

e tutto quello he segue, si appli a an he al aso dell'atomo d'idrogeno: basta

solo s rivere e 2

al posto di GMm.

Notate he 5 e il numero massimo possibile diintegrali primi indipendenti.

Tralas iodi spiegareper he,dato henoneessenziale perilseguito. L'esistenza

del vettore di Lenz permette una risoluzione ompleta del problema dei due

orpi. Iltutto lo trovate ad es.in [1℄.

Costanti del moto e invarianze

Gianella me . lassi a si sa heun integrale primoe onnesso auna trasf.

anoni a he las ia invariante la hamiltoniana. Nel aso del momentoangolare,

le trasf. in questione sono le rotazioni (simmetria sferi a). E il vettore di Lenz

on quale invarianzae onnesso? Non e fa ile apirlo:::

Non sodire esattamente quando sietrovata larisposta,ma sull'argomento

sono apparsi arti oli an he in tempi relativamente re enti. La ragione e he

mentre il momento angolare e onnesso all'invarianza per rotazioni, he si puo

des rivere ome una trasf. delle oordinate spaziali, il vettore di Lenz genera

un'invarianza (piu esattamente, un gruppo) rispetto a trasf. he oinvolgono

insiemele oordinatee imomenti oniugati. Evitoquindi di s rivereilpo o he

so sull'argomento, ma ritengo importantesoermarmi su un altropunto.

In me . hamiltonianauna ostante delmoto e aratterizzata dal fatto he

siannullala suaparentesidiPoisson onla hamiltoniana. Quindiquestoa ade

per le omponenti di J:

fJ

i

;Hg=0

e an he per le omponenti di L:

fL

i

;Hg=0:

Sonoan he importantile parentesi di Poisson tra le omponenti di J:

fJ

i

;J

j g="

ijk J

k

: (4)

Queste dimostrano he le J

i

generano le rotazioni (piu esattamente, generano

l'algebra di Lie del gruppo SO(3)). E he osa sappiamo su L? Il fatto he sia

un vettoreassi ura he si trasformiper rotazioni ometutti i vettori:

fJ

i

;L

j g="

ijk L

k

: (5)

Viene naturale hiedersi he osasia fL

i

;L

j

g, ma e meglio ambiare s ala,

inmododalavorare onunvettoredimensionalmenteomogeneo onJ. Seguar-

date la(3) vedete he il ambiamento di s ala o orrentee

K

i

= r



2E L

i

jJj 2

+jKj 2

=



2E

(GMm) 2

(6)

e le parentesi di Poisson (5)diventano

fJ

i

;K

j g="

ijk K

k

: (7)

Cal olandofK

i

;K

j

g si ha

fK

i

;K

j g="

ijk J

k

: (8)

Messe tutte insieme, le (4), (7), (8) denis ono l'algebra di Lie di SO(4),

quindi questo e il gruppo d'invarianza del problema dei due orpi (e dell'atomo

d'idrogeno)relativamente agli stati legati.

Puo essere utile elaborare la (6). Si sa he esiste una relazione tra energia

e semiasse maggiore:

a=

GMm

2E :

Quindipossiamo s rivere

jJj 2

+jKj 2

= GM

2

m 2

M +m a

mentre separatamente

jJj 2

= GM

2

m 2

M +m

a(1 e 2

) jKj

2

= GM

2

m 2

M +m ae

2

:



Eutilesottolineare heaparitadisemiassemaggiore(quindidienergia)jKj/e;

quindi K=0 per leorbite ir olari.

Cio signi a he la ondizione di Bohr: \il momento angolare delle orbi-

te ir olari puo solo assumere i valori nh" potrebbe essere riformulata, senza

limitarsi alle orbite ir olari, ome segue:

jJj 2

+jKj 2

=n 2

 h 2

(9)

da ui inserendonella (6) on e 2

al posto di GMm:

E

n

=

e 4

2n 2

 h 2

(10)

ossia il risultato di Bohr.

fa uso di molti passaggi al posto del al olo elementare he si trova su tutti i

testi. Tuttavia questo appro io \ ompli ato" non e inutile, per he prepara il

terreno al al olo genuinamente quantisti o e quindi a rispondere alladomanda

iniziale.

Proprieta di SO(4)

La denizione di SO(4) e: il gruppo delle matri i 44 reali, ortogonali,

a determinante 1. In simboli:

R2SO (4) , RR t

=I; detR=1:

Si dimostra he ogni matri e di SO(n)puo essere messa in formaesponenziale:

8R2SO (n) 9A:A t

= A; e A

=R :

(L'esponenziale di una matri e si denis e omeper un numero:

e A

= 1

X

k=0 1

k!

A k

e la serie onverge sempre.) Vale an he il vi eversa: se A e antisimmetri a,

R=e A



e ortogonale e detR=1.

Le matri i reali antisimmetri he 4 4 formano uno spazio vettoriale di

dimensione 6 su IR, al quale si puo dare la struttura di algebra di Lie A per

mezzo del ommutatore. Infatti se A,B sono antisimmetri hesi ha

[A;B℄

t

=(AB BA) t

=B t

A t

A t

B t

=BA AB = [A;B℄:

Quindi [A;B℄ 2 A. Inoltre il ommutatore soddisfa alle proprieta ri hieste per

la leggedi omposizione di un'algebradi Lie, he non sto ari ordare.



E tradizione indi are l'algebra di Lie di un gruppo ol simbolo del gruppo

s ritto minus olo. Quindi A=so(4).

Si potrebbe quindi dire he SO(4)e l'esponenziale dellasua algebra di Lie,

ma questo puo non essere esatto, per due ragioni:

1) Se il gruppo non e onnesso, la parte non onnessa on l'identita non puo

essere messa in forma esponenziale. Questo non e un problema per tutti

gli SO(n), he sono onnessi.

2) Puo darsi he la orrispondenza SO(4) $ so(4) non sia un omeomorsmo

( on linguaggio anti o: biunivo a e bi ontinua). Questo e il aso per tut-

ti gli SO(n), he sono ompatti mentre un'algebra di Lie sui reali o sui

omplessinon lo e mai.

e un intorno V di I in SO(4), e il fatto e vero in generale. Si di e he so(4)

e SO(4)sono lo almente omeomor.

Rappresentazioni di so(4)

Ripartiamo dalle(4), (7), (8). Conviene denire

M +

= 1

2

(J+K) M =

1

2

(J K): (11)

Abbiamo

[M +

i

;M +

j

℄ =ih"

ijk M

+

k

[M

i

;M

j

℄ =ih"

ijk M

k

[M +

i

;M

j

℄ =0:

Si vede he le omponenti di M +

e quelle di M generano due algebre

di Lie di SO(3), A +

, A , he ommutano tra loro. Quindi le rappresentazioni

irridu ibili dell'algebraA di SO(4) sono prodotti diretti di rappr. irridu ibili di

queste:

D (j

+

j )

=D (j

+

)

D (j )

dove j +

;j possono essere 0;

1

2

;1;

3

2

;:::. Ri ordo he D j

ha dimensione 2j+1,

quindi D (j

+

)

D (j )

ha dimensione(2j +

+1)(2j +1).



E utile s rivere gli invarianti di Casimir di so(4), ossia le espressioni po-

linomiali nei generatori (J, K oppure M +

, M ) he ommutano on tutti gli

elementidell'algebra. Sisa heso(3)haunsoloinvariantediCasimir;nelnostro

aso abbiamodue algebre he ommutano tra loro,, quindi due invarianti:

jM +

j 2

e jM j 2

:

Le (11) di ono he

jM +

j 2

= 1

4 jJj

2

+Kj 2

+ 1

2 J
K

jM j 2

= 1

4 jJj

2

+Kj 2

1

2 J
K:

(12)

Possiamo quindi s egliere omeinvarianti di Casimir per so(4)

jJj 2

+jKj 2

e J
K:

L'utilitadegliinvarianti diCasimire hein unarappr.irridu ibile un inva-

riantedi Casimir si ridu e a unnumero. Possono quindi essere usatiper lassi-

 are le rappr. irridu ibili di un'algebra di Lie (o di un gruppo). Sappiamo he

gliautovalori dijM +

j 2

sono j +

(j +

+1)h e quelli dijM j 2

sono j (j +1)h .

Dalle(12) si vede hesara

jJj 2

+jKj 2

=2(j +

2

+j 2

+j +

+j )h 2

(13)

J
K=(j +

j )(j +

+j +1)h 2

(14)

Questoe io hesipuodiren hesirestainambitoastratto: SO(4)elasua

algebradiLie. Dobbiamooravedere he osa a adenell'appli azioneall'atomo

d'idrogeno.

L'atomo di H quantisti o

Nella teoria quantisti a dell'atomo d'idrogeno si ha a he fare on osserva-

bili rappresentate da operatori (autoaggiunti). L'algebra di questi operatori e

generata dapo hi elementi:

q

x

; q

y

; q

z

; p

x

; p

y

; p

z

(15)

he per di piu no sono indipendenti in quanto debbono soddisfare le ben note

relazioni di ommutazione.

Tutte le altre osservabili si ottengono dalle (15) mediante operazioni alge-

bri he(omagarilimitidiqueste). Peres.ilmomentoangolare onservalastessa

espressione lassi a:

J=qp: (16)

Non os il vettore di Lenz: se usassimo la (1) otterremmo un operatore non

hermitiano,per he p e Jnon ommutano. Bisognaquindi simmetrizzare:

L = 1

2m

(pJ Jp) e 2

q

q

(17)

(ilsegno dentrolaparentesinoneunerroredistampa!) Inve eperH possiamo

onservare l'espressione lassi a

H = 1

2m jpj

2 e

2

jqj

(18)

(naturalmente ho sostituito GMm on e 2

).

Indi hero onO l'algebradelleosservabili, omedenitadaquantopre ede.

Fissate le denizioni degli operatori rilevanti, ha senso hiedersi he ne e

delle identita (2), (3): valgono an ora ome identita tra operatori? La risposta,

he do senza dimostrazione,e la seguente: (2) vale senza modi he, mentre (3)

o meglio laforma (6) viene leggermente modi ata:

jJj 2

+jKj 2

=

e 4

2H

 h 2

: (19)

Si vede subito he al limite lassi o (h!0) si ritrovala ve hia espressione.

La (19) ollega H a jJj +jKj , quindi fornis e l'autovalore di H per tutta

unarappr. irridu ibiledi SO(4).



E questa ladegenerazione addizionale. L'iden-

tita (2), ossia

J
K=0

onfrontata onla(14)impomej +

=j . Ilsigni atoe hesebbenenellavisione

astratta di SO(4) si possano onsiderare rappr. on tutte le possibili oppie di

valori (j +

;j ), nell'algebra O possono esistere solo rappr. on j +

= j = j.

Tenendo onto di io, la (13) si s rive

jJj 2

+jKj 2

=4j(j+1)h 2

(20)

daintendersinon omeidentita valida inso(4), manelle rappr. ontenute in O.

Inserendo nella (19) si ottiene

H =

e 4

2(2j +1) 2

 h 2

: (21)

Datiipossibilivaloridi j,n=2j+1 puo assumere solovalori interi da1in poi

e la (21) diventa

H =

e 4

2n 2

 h 2

:

he e esattamente la formula di Bohr (10).

E ospiegatala oin idenza: la ondizionediBohrses rittanellaforma(9)

e proprio quella he si ottiene per via quantisti a dall'invarianza SO(4) per le

rappr. irridu ibili ontenute nell'algebra delle osservabili.

Aggiungoqual he omplemento. In primoluogo, ladimensionedellarappr.

D (j)

D (j)

di SO(4) e (2j+1) 2

= n 2

. Quindi questa e la degenerazione degli

autovalori diH.

Se ondo: dalle (13) segue

J=M +

+M :

Quindi la rappr. D (j)

D (j)

se vista ome rappr. del gruppo SO(3) delle rota-

zioni (la ui algebra di Lie e generata da J) si de ompone se ondo la regola di

addizione dei momenti angolari: sommando due momenti uguali si ottengono

tutti i valori da 0 a 2j = n 1. Troviamo os la nota regola: al n. quanti o

prin ipalen, on degenerazione n 2

, orrispondono valori del n. quanti o azimu-

tale l=0;1;:::;n 1 ondegenerazioni 1;3;:::;(2n 1).

Iltutto senza bisogno di risolvere l'equazione di S hrodinger.

S riverequanto pre edeestatopiudiÆ iledelprevisto. L'argomentonone

aatto sempli e,iprerequisiti nonsono elementari; quindiho dovuto er areun

ompromesso tra l'esattezzae la omprensibilita, spesso ho dovuto sorvolare su

questioni importanti o usare on etti he non ero erto fossero familiariai miei

prevedibili lettori. Ma an he os temo di essere risultato piuttosto pesante:::

Un ennoad al unequestioni matemati he he hodovuto tralas iare an he

se essenziali. Ho spesso parlato di gruppi senza hiarire he in realta io he

di evo vale per una lasse parti olare quanto importante di gruppi: i gruppi di

Lie. Solo per questi ha senso parlare di \algebra di Lie" del gruppo.

Ho an he usato senza spiegazioni il on etto di rappresentazione (di un

gruppo o di un'algebra); in parti olare di rappr. irridu ibile. Non sono os

si uro he questi on etti siano familiari a tutti i laureati in si a, attuali o

passati; ma nonpotevo fare diversamente.

Aun erto puntoho itato(in fondoapag. 5)unrisultatodellateoriadelle

rappresentazioni: una matri e he ommuti on tutti gli elementi di un sistema

irridu ibilee multipla dell'identita. Si tratta del osiddetto \se ondo lemma di

S hur" ede importante ri ordare he vale solo per le rappr. omplesse, non per

quelle reali. Non e un problema, visto he in m.q. si lavora sempre in spazi

vettoriali denitisul ampo omplesso.

PeroladiÆ oltapuonas ereseunosa heperes.SO(3)eungruppodenito

onmatri ireali,epiuingeneralel'algebradiLiediungruppoedenitasuireali.

Ma qui appunto gio ail on ettodi rappresentazione: la rappr. noneil gruppo

ol'algebra. An he ungruppo realepuoavere rappr. omplesse. Per es.lerappr.

irridu ibillidiSO(3)(autostatidelmomentoangolare onmodulodenito)sono

omplesse: basta guardare le armoni he sferi he Y

lm .

E non vado oltre: sara hiaro he se avessi voluto spiegare per bene tutte

queste ose,avreidovuto s rivereunpi olo libro::: Unaparziale guidaatutta

questaproblemati a(nonallealgebrediLie, hesonotrattatetroppoallabuona)

la trovate in[2℄.

[1℄ http://www.sagredo.eu/l ezio ni/ ast ron omia /p3 1r f.pd f

[2℄ http://www.sagredo.eu/l ezio ni/ gru ppi