Compressione adiabatica reversibile e irreversibile

Compressione adiabatica reversibile e irreversibile

Un gas `e contenuto in un cilindro impermeabile al calore chiuso da un pistone mobile, anch’esso impermeabile, di sezione S e massa trascurabile.

Inizialmente il gas occupa un volume V0 e si trova ad una temperatura T0

determinata dall’equilibrio con la pressione esterna p₀ = P_atm.

Si pone sul pistone una massa m in due diversi modi: aggiungendo un granello alla volta, in maniera quasi-statica, fino a raggiungere la massa m totale, o appoggiando tutta la massa sul pistone all’istante iniziale.

Determinare nei due casi volume e temperatura finale e variazione di energia interna. Dire in quale delle due trasformazioni le quantit`a trovate sono maggiori.

Trasformazione 1

La prima trasformazione `e reversibile, in quanto procede per stati di equilibrio, per cui possiamo applicare le normale leggi della trasformazione adiabatica:

p_fV_F^γ = p0V₀^γ (1)

e

p^1−γ_F T_F^γ = p^1−γ₀ T₀^γ (2) La pressione finale sar`a p<sub>F</sub> = p<sub>0</sub>+ mg/S = p<sub>0</sub>+ ∆p, per cui il volume finale per la trasformazione reversibile `e dato da:

V_F^rev = V0

 p₀ p_F

1/γ

= V0



1 +∆p p0

−1/γ

(3)

mentre la temperatura finale `e:

T_F^rev = T0

 p₀ pF

(1−γ)/γ

= T0



1 +∆p p0

R/cp

(4)

Trasformazione 2

Aggiungendo una massa m, la pressione finale sar`a ancora p<sub>F</sub> = p<sub>0</sub> + mg/S = p<sub>0</sub>+ ∆p, come nel caso precedente, ma la trasformazione non `e pi`u reversibile.

1

Il lavoro svolto dalle forze esterne (= peso della massa m) sul gas puo’

essere scritto come:

Lext= mg · ∆h = −p_F(V_F^irr− V₀) = p_F(V0− V_F^irr) > 0 (5) Essendo la compressione adiabatica, la variazione di energia interna del gas `e uguale al lavoro compiuto dalle forze esterne sul gas. Inoltre, tale vari- azione dipende solamente dagli stati iniziali e finali, e non dalla particolare trasformazione, per cui:

 ∆U = −L_gas= L_ext= p_F(V₀− V_F^irr)

∆U = nc_v(T_F^irr− T₀) = ^c_R^v(p_FV_F^irr− p₀V₀) (6) Si puo’ quindi ricavare il volume finale della trasformazione irreversibile:

c_p

Rp_FV_F^irr

V₀ = p_F +c_v

Rp₀ = c_p− c_v

R p_F +c_v

Rp₀ = c_p

Rp_F −c_v

R(p_F − p₀) da cui:

V_F^irr = V₀

 1 − 1

γ

∆p p_F



(7) La temperatura finale si ricava dall’equazione di stato dei gas perfetti:

TF = pFVF

nR = T0

pF

p₀(1 − 1 γ

∆p p_F ) = T0

 1 + R

c_p

∆p p₀



(8)

Confronto fra le due soluzioni

Confrontiamo adesso i valori delle temperature finali espandendo l’equazione 4 (pongo K = R/cp):

T_F^rev/T₀=



1 +∆p p₀

K

= 1 + K∆p p₀ +1

2K(K − 1) ∆p p₀

2

+ ...

Sostituendo K(K − 1) = −Rcv/c²_p:

T_F^rev ' T_F^irr−Rc_v 2c²_p

 ∆p p0

2

< T_F^irr (9)

La variazione di energia interna del gas `e positiva (lavoro fatto dall’esterno sul sistema) e vale, in entrambe i casi, ∆U = nc_v(T_F − T₀). Essendo T_F^irr> T_F^rev, risulta anche ∆U^irr > ∆U^rev.

Una simile espansione puo’ essere fatta anche per il valore di V_F^irr trovato in eq.3 e confrontato con l’eq.7, ma, essendo la pressione finale la stessa nei due casi, risulta ovviamente V_F^rev < V_F^irr.

In definitiva, mettere la massa tutta insieme provoca una minore com- pressione del volume, ma una maggior variazione di energia interna del gas.

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