Adiabatica di due gas
Figure 1:
In un contenitore chiuso da un pistone ed isolato termicamente dall’ambiente si trovano n1 moli di un gas perfetto monoatomico e n2 moli di un gas per- fetto biatomico. Inizialmente il sistema si trova all’equilibrio in condizioni note. Si aumenta lentamente la pressione del pistone fino a raggiungere una pressione doppia rispetto a quella iniziale. Determinare le nuove condizioni di equilibrio.
Soluzione
Nello stato iniziale i due gas si trovano alla stessa temperatura Ti ed occupano lo stesso volume Vi. Invece le pressioni sono diverse e, per la legge delle pressioni parziali di Dalton, risulta:
p1i+ p2i= pi (1)
1
Si possono trovare le due pressioni utilizzando l’equazione di stato:
p1iVi = n1RTi
p2iVi = n2RTi (2)
Dividendo membro a membro ed utilizzando eq.1:
p1i= n1
npi
p2i= n2
npi (3)
con n = n1 + n2. Questa relazione fra le pressioni parziali si mantiene per qualunque valore della pressione totale p.
La trasformazione seguita dal composto `e una adiabatica reversibile; ri- caviamo la sua forma funzionale nel piano (V, p) sfruttando il primo principio della termodinamica ed il fatto che δQ = 0:
0 = n1cv1dT + p1dV + n2cv2dT + p2dV = (n1cv1+ n2cv2)dT +nRT
V dV (4) Separando le variabili si ricava:
−dT T = dV
V
nR n1cv1+ n2cv2
(5) la soluzione `e:
T V
nR
n1cv1+n2cv2 = cost (6)
La relazione fra p e V si trova sostituendo T con pV ottenendo:
p VγC = cost (7)
dove `e stato introdotto il parametro γC per il composto formato dai due gas che vale:
γc= n1cp1+ n2cp2
n1cv1+ n2cv2 (8)
Quindi se la pressione raddoppia, il volume finale diventa:
Vf = Vi 1 2
−γC
(9)
2
