Prova Scritta di Probabilit` a e Statistica - 10.01.2019

Universit` a degli Studi di Brescia

Prova Scritta di Probabilit` a e Statistica - 10.01.2019

Cognome e Nome . . . . C. d. L.: . . . . Anno di Corso: 1 2 3 altro

Matricola . . . Firma . . . FILA 1

Istruzioni

1. SCRIVERE cognome e nome (in stampatello), numero di matricola e firmare.

2. SCRIVERE la risposta nello spazio lasciato dopo ogni quesito; in caso di correzione, barrare la risposta errata e scrivere accanto la nuova risposta.

3. I PUNTEGGI attribuiti per la risposta esatta sono indicati alla fine di ogni quesito.

4. PROIBITO usare libri, quaderni, telefoni cellulari.

5. CONSEGNARE questi fogli e tutti i fogli di protocollo.

6. TEMPO a disposizione: 120 min.

7. AMMISSIONE alla prova orale con PUNTI 18.

Quesito C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 TOT

Punti

(C1) Una variabile aleatoria X ` e distribuita normalmente con media 16 e varianza 9. Calcolare P [X ≥ 10].

[punti 4]

C1

(C2) Una variabile casuale X ha densit` a di probabilit` a

f X (x) =

( 6x(1 − x) se x ∈ (0, 1)

0 altrove

Calcolare E(X) e Var(X). [punti 4]

C2

(C3) Un’urna contiene 10 palline blu e 30 verdi. Calcolare la probabilit` a che effettuando 6 estrazioni con reimmissione, venga estratta per 4 volte una pallina verde.

[punti 4]

C3

(C4) Il numero di guasti di smartphones di una data marca in un dato intervallo di tempo segue una distri- buzione di Poisson di parametro λ = 2. Sia X ₁ , X ₂ , ...X _n un campione casuale di dimensione n estratto dalla distribuzione data. Assumendo che il costo di riparazione ` e dato da

Y _n = 15X _n + X _n ²

Probabilit` a e Statistica - 10.01.2019 - FILA 1

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calcolare

E(Y _∞ ) = lim

n→∞ E(Y n ) [punti 4]

C4

(C5) Una variabile casuale X pu´ o assumere i valori 8, 6 e 7 rispettivamente con probabilit` a p 1 , p 2 e p 3 . Se E(X) = 7, quali sono i valori di p 1 , p 2 e p 3 che minimizzano Var(X)?

[punti 4]

C5

(C6) Sia X ₁ ,...X _n un campione casuale estratto dalla funzione di densit` a di probabilit` a

f (x, θ) = ( _6x

θ

se x ∈ (0, θ) 0 altrove

con θ > 0. Determinare uno stimatore T di θ con il metodo dei momenti.

[punti 4]

C6

(C7) La temperatura di un locale ` e modellabile con una variabile casuale normale di media e varianza sconosciute. In una settimana sono state rilevate le seguenti temperature

22.1 22.3 20.3 22.8 22.3 22.1 23.5 Determinare

• l’ntervallo di confidenza per la media al 95%;

• l’intervallo di confidenza per la varianza al 99%.

[punti 4]

C7

(C8) Sia (X, Y ) una coppia di variabili aleatorie discrete con la seguente funzione di densit` a di probabilit` a congiunta:

X = 1 X=2

Y=0 1/15 2/15

Y=1 4/15 8/15

Stabilire se X e Y sono indipendenti. Successivamente determinare cov(X, Y ).

[punti 4]

C8

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