Lanciando due dadi regolare a sei facce, qual `e la probabilit`a che la somma dei risultati due dadi valga 4

Metodi Statistici per la Biologia Cognome:

Laurea Triennale in Biologia Nome:

23 settembre 2008 Matricola:

1. Parte A

1.1. Si consideri il seguente campione di cinque dati di una variabile:

−2, −3, 0, −5, x, dove x `e incognito. Per quale valore di x l’80^o percentile vale 0?

 x = −3

 x = −1

 x = 0

 x = 1

1.2. Lanciando due dadi regolare a sei facce, qual `e la probabilit`a che la somma dei risultati due dadi valga 4?

 ₁₂¹

 ¹₉

 ¹₆

 ¹₄

1.3. Sia X una variabile casuale discreta la cui densit`a discreta (funzione di massa) vale pX(−1) = 1

2, pX(2) = 1 2. Allora E(X²) vale

 1

 ¹₄

 ⁵₂

 ¹₂

1.4. Una variabile casuale X `e tale che E(X) = −3, V ar(X) = 2. Se si pone Y := −3X + 2, quanto vale V ar(Y )?

 −6

 6

 8

 18

1.5. Siano X1, . . . , Xn variabili aleatorie i.i.d. tali che E(Xi) = −3, V ar(Xi) = 2. Quale delle seguenti variabili `e, per n grande, distribuita approssimativamente come una normale standard?

 (Xn− 3n)/(2√ n)

 (X1+ . . . + Xn− 3n)/(√ 2√

n)

 (X1+ . . . + X_n+ 3n)/(√ 2√

n)

 (X1+ . . . + Xn+ 3n)/(2√ n)

1

1.6. To be written.









1.7. To be written.









2. Parte B

Esercizio 1. Il telecomando del mio televisore funziona con una batteria. Ho in casa due batterie, che indico con A e B. La probabilit`a che la batteria A si esaurisca prima di un anno vale 2/3, mentre per la batteria B tale probabilit`a vale 1/5. Chiedo a mia sorella di inserire una batteria nel telecomando e lei procede in questo modo: tira due volte una moneta equilibrata;

se esce testa entrambe le volte, inserisce la batteria A, in caso contrario inserisce la batteria B.

a) Qual `e la probabilit`a che la batteria inserita nel telecomando duri pi`u di un anno?

b) Se dopo un anno il telecomando continua a funzionare, qual `e la probabilit`a che la batteria inserita sia A?

Soluzione.

a) Introduciamo gli eventi

E := “viene inserita nel telecomando la batteria A” , F := “la batteria inserita dura pi`u di un anno” .

Dai dati del problema si deduce che P (E) = ¹₄, P (F |E) = ¹₃, P (F |E^c) = ⁴₅, per cui dalla formula delle probabilit`a totali si ha

P (F ) = P (F |E)P (E) + P (F |E^c)P (E^c) = 1 3 1 4 + 4

5 3

4 = 41 60. b) Dalla formula di Bayes si ottiene

P (E|F ) = P (F |E)P (E) P (F ) =

1 3 1 4 41 60

= 5 41.

Esercizio 2. Per rilevare il grado di apprezzamento della mensa universitaria, viene intervistato un campione di 100 studenti, 67 dei quali dichiarano di apprezzare la qualit`a del cibo servito in mensa. Si indichi con p la probabilit`a che uno studente scelto a caso tra tutti gli iscritti apprezzi il cibo servito in mensa.

a) Usando i dati forniti dal problema, si determini l’intervallo di confidenza al 95% per p.

b) Quanto deve essere grande il campione di studenti intervistati, affinch´e l’ampiezza del- l’intervallo di confidenza al 95% per p sia pi`u piccola di 0.04?

Soluzione.

a) I dati forniti sono n = 100 e x = ₁₀₀⁶⁷ = 0.67. Posto α = 0.05, dato che z_α/2= z0.025= 1.96 l’intervallo di confidenza cercato vale

"

x −

rx(1 − x)

n z_α/2 , x +

rx(1 − x) n z_α/2

#

=

"

0.67 −

r0.67(1 − 0.67)

100 1.96 , 0.67 +

r0.67(1 − 0.67) 100 1.96

#

= [0.67 − 0.047 · 1.96 , 0.67 + 0.047 · 1.96] = [0.58 , 0.76] .

b) Dato che px(1 − x) ≤ 1/2 per ogni x ∈ [0, 1], per l’ampiezza I dell’intervallo di confidenza si ha

I = 2

rx(1 − x)

n z_α/2 ≤ z_α/2

√n , per cui per avere I ≤ 0.04 basta imporre che

z_α/2

√n ≤ 0.04 ⇐⇒ n ≥

z_α/2 0.04

2

=  1.96 0.04

2

= 2401 .

Esercizio 3. To be written.

Soluzione.