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Academic year: 2021

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(1)

Corso di laurea in Fisica

Primo esonero di Istituzioni di Fisica Teorica L’Aquila 30 Novembre 2011

studente/ssa:

matricola:

1) La misura di un operatore A pu`o fornire solo 3 valori a

1

, a

2

, a

3

.

Selezionando dopo la misura di A i soli stati per cui la misura di A ha dato luogo al valore a

1

una misura successiva di un altro operatore B fornisce i valori

b

1

con probabilit`a 1/4 b

2

con probabilit`a 1/2 b

3

con probabilit`a 1/4

- La grandezza B `e compatibile con la grandezza A?

- Come posso esprimere lo stato immediatemente prima della misura di B in termini di autostati di B stesso?

- Come posso dare una rappresentazione possibile per A ed in che base.

- Nel caso in cui la misura di B abbia dato il valore b

1

una misura immediatamente successiva di A con quale probabilit`a da il valore a

1

?

2) Una particella di massa m `e vincolata su di un segmento unidimensionale di lunghezza L. Al tempo t = 0 si trova in uno stato

Ψ(x) = 1

√ L



sin(kx) + e

iφ

2 sin(kx) cos(kx)



dove k = π/L e φ `e una generica fase.

- Determinare la corrente associata in funzione di φ

- Determinare la probabilit`a di ottenere in una misura l’energia dello stato fondamentale E

1

- Determinare l’evoluzione temporale dello stato

3) Un fascio di particelle proveniente da x = −∞ ad energia E incide su un gradino di potenziale di altezza V . Nei seguenti due casi

- V < 0, E > 0 - V > 0, E > V

- Ottenere il coefficiente di trasmissione in funzione del rapporto E/V e confrontare le due espressioni.

3) Gli operatori A e B sono definiti da

A = a

†2

+ a

2

B = i(a

†2

− a

2

)

1

(2)

con a e a

†

operatori di creazione e distruzione di un oscillatore armonico.

- Mostrare che i due operatori sono hermitiani

- Stimare su di un generico autostato dell’oscillatore armonico |n > il minimo valore della quantit`a

√ < ∆A

2

>< ∆B

2

>

dove < ∆A

2

>=< (A− < A >)

2

> e < ∆B

2

>=< (B− < B >)

2

>

2

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