Data l’ellisse 1

Liceo Scientifico “G. Castelnuovo” – Firenze Classe IV Sez. E-F

Prof. Franco Fusier – Rev. 10/2011 1

I gruppo di esercizi (Problemi di geometria analitica con discussione)

Problema n. 1

Data l’ellisse 1

16

² 25

² + y =

x , inscrivere al suo interno un rettangolo (con i lati paralleli agli assi cartesiani) di perimetro pari a k .

Nota: scegliere il punto rappresentativo del rettangolo P x y e identificare immediatamente ( ^; ) l’arco di appartenenza. Si ottiene un fascio di rette improprio.

Equazione del fascio di rette:

4 x + 4 y − = k 0

1 sol. per

^{k ∈} [ ^{16; 20} [

; 2 sol. per

k ∈   20; 4 41   Problema n. 2

Data la parabola x = y

²

− 16 , inscrivere nella regione finita di piano delimitata dalla parabola e dall’asse delle ordinate un rettangolo (con i lati paralleli agli assi cartesiani) di perimetro pari a 2 k .

Nota: scegliere il punto rappresentativo del rettangolo ^{P x y} ( ^; ) e identificare immediatamente l’arco di appartenenza. Nella valutazione delle distanze occorre tener conto del segno della coordinata considerata (si opera nel secondo o nel terzo quadrante). Si ottiene un fascio di rette improprio.

Equazione del fascio di rette (P è posto nel II quadrante):

x − 2 y + = k 0

1 sol. per

^{k ∈} [ ^8;16 [

; 2 sol. per

^{k ∈} [ ^16;17 ]

Problema n. 3

Data l’ellisse 1

16

² 25

² + ^y =

x , determinare sull’arco AB giacente nel primo quadrante un punto P tale che sia

uguale a k ∈ R

0⁺

la somma delle sue distanze dalla retta r:3x+4y=0 e dalla retta s ad essa perpendicolare e passante per il vertice di ascissa positiva dell’ellisse.

Nota: studiare subito i segni degli argomenti dei due valori assoluti che compaiono nel calcolo delle distanze (uno è sempre positivo mentre l’altro non lo è mai), in modo da semplificare immediatamente l’equazione del fascio di rette.

s:4x-3y-20=0

Equazione del fascio di rette:

-x+7y+20-5k=0 1 sol. per  



∈  5

; 48 3 k

Problema n. 4

Data l’ellisse 1

16

² 25

² + y =

x , determinare sull’arco AB giacente nel primo quadrante un punto P tale che sia

uguale a k ∈ R

₀⁺

la somma delle sue distanze dalla retta r:4x+3y=0 e dall’asse delle ascisse.

Nota: studiare subito i segni degli argomenti dei due valori assoluti che compaiono nel calcolo delle distanze ( gli argomenti sono, per tutti i punti dell’arco considerato, sempre maggiori o uguali a zero → l’equazione del fascio si semplifica); i calcoli per la determinazione della retta tangente possono coinvolgere anche numeri “grandi”.

1) Determinare l’equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta y = 2x +1 nel punto A(1;3) . 2) Determinare l’equazione della circonferenza 1 C del fascio passante per l’origine.

3) Detto B l’interiore punto d’intersezione di 1 C con l’asse delle ascisse, determinare sull’arco OB il punto P per il quale si ha PO² + PB² = kOB² .

4) Inscrivere nella regione finita di piano appartenente al primo quadrante e delimitata dalla circonferenza 1 C e dall’asse delle x il rettangolo avente lati paralleli agli assi cartesiani e perimetro 1) Determinare l’equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta y = 2x +1 nel punto A(1;3) . 2) Determinare l’equazione della circonferenza 1 C del fascio passante per l’origine.

3) Detto B l’interiore punto d’intersezione di 1 C con l’asse delle ascisse, determinare sull’arco OB il punto P per il quale si ha PO² + PB² = kOB² .

4) Inscrivere nella regione finita di piano appartenente al primo quadrante e delimitata dalla circonferenza 1 C e dall’asse delle x il rettangolo avente lati paralleli agli assi cartesiani e perimetro 1) Determinare l’equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta y = 2x +1 nel punto A(1;3) . 2) Determinare l’equazione della circonferenza 1 C del fascio passante per l’origine.

3) Detto B l’interiore punto d’intersezione di 1 C con l’asse delle ascisse, determinare sull’arco OB il punto P per il quale si ha PO² + PB² = kOB² .

4) Inscrivere nella regione finita di piano appartenente al primo quadrante e delimitata dalla circonferenza 1 C e dall’asse delle x il rettangolo avente lati paralleli agli assi cartesiani e perimetro 1) Determinare l’equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta y = 2x +1 nel punto A(1;3) . 2) Determinare l’equazione della circonferenza 1 C del fascio passante per l’origine.

3) Detto B l’interiore punto d’intersezione di 1 C con l’asse delle ascisse, determinare sull’arco OB il punto P per il quale si ha PO² + PB² = kOB² .

4) Inscrivere nella regione finita di piano appartenente al primo quadrante e delimitata dalla circonferenza 1 C e dall’asse delle x il rettangolo avente lati paralleli agli assi cartesiani e perimetro 1) Determinare l’equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta y = 2x +1 nel punto A(1;3) . 2) Determinare l’equazione della circonferenza 1 C del fascio passante per l’origine.

3) Detto B l’interiore punto d’intersezione di 1 C con l’asse delle ascisse, determinare sull’arco OB il punto P per il quale si ha PO² + PB² = kOB² .

4) Inscrivere nella regione finita di piano appartenente al primo quadrante e delimitata dalla circonferenza 1 C e dall’asse delle x il rettangolo avente lati paralleli agli assi cartesiani e perimetro 1) Determinare l’equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta y = 2x +1 nel punto A(1;3) . 2) Determinare l’equazione della circonferenza 1 C del fascio passante per l’origine.

3) Detto B l’interiore punto d’intersezione di 1 C con l’asse delle ascisse, determinare sull’arco OB il punto P per il quale si ha PO² + PB² = kOB² .

4) Inscrivere nella regione finita di piano appartenente al primo quadrante e delimitata dalla circonferenza 1 C e dall’asse delle x il rettangolo avente lati paralleli agli assi cartesiani e perimetro 1) Determinare l’equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta y = 2x +1 nel punto A(1;3) . 2) Determinare l’equazione della circonferenza 1 C del fascio passante per l’origine.

3) Detto B l’interiore punto d’intersezione di 1 C con l’asse delle ascisse, determinare sull’arco OB il punto P per il quale si ha PO² + PB² = kOB² .

4) Inscrivere nella regione finita di piano appartenente al primo quadrante e delimitata dalla circonferenza 1 C e dall’asse delle x il rettangolo avente lati paralleli agli assi cartesiani e perimetro 1) Determinare l’equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta y = 2x +1 nel punto A(1;3) . 2) Determinare l’equazione della circonferenza 1 C del fascio passante per l’origine.

3) Detto B l’interiore punto d’intersezione di 1 C con l’asse delle ascisse, determinare sull’arco OB il punto P per il quale si ha PO² + PB² = kOB² .

4) Inscrivere nella regione finita di piano appartenente al primo quadrante e delimitata dalla circonferenza 1 C e dall’asse delle x il rettangolo avente lati paralleli agli assi cartesiani e perimetro 1) Determinare l’equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta y = 2x +1 nel punto A(1;3) . 2) Determinare l’equazione della circonferenza 1 C del fascio passante per l’origine.

3) Detto B l’interiore punto d’intersezione di 1 C con l’asse delle ascisse, determinare sull’arco OB il punto P per il quale si ha PO² + PB² = kOB² .

4) Inscrivere nella regione finita di piano appartenente al primo quadrante e delimitata dalla

circonferenza 1 C e dall’asse delle x il rettangolo avente lati paralleli agli assi cartesiani e perimetro

Liceo Scientifico “G. Castelnuovo” – Firenze Classe IV Sez. E-F

Prof. Franco Fusier – Rev. 10/2011 2

Equazione del fascio di rette: 4

x+8y-5k=0

1 sol. per  



∈  5

; 32 4

k ; 2 sol. per 



 



∈ 

5 89

; 4 5 k 32

Problema n. 5

Tracciare il grafico della curva C :

5 5

7 8

−

= − x

y x . Successivamente determinare l’equazione della parabola

che ha per direttrice l’asintoto verticale della curva C e per vertice il punto di C di ordinata nulla.

Sul ramo di parabola contenuto nel primo quadrante determinare un punto P (x, y) in modo che risulti h

y hx + = .

Nota: si ottiene un fascio di rette proprio.

8

² 7 2 +

−

= y x

1 sol. per 



 



∈  4

; 7 0

h ; 2 sol. per 



 



∈  ; 1 4 h 7

Problema n. 6

Determinare l’equazione della parabola avente vertice V (-1, -9) e passante per B (2, 0).

Indicato con A l’altro punto di intersezione della parabola con l’asse x , determinare sull’arco AB un punto P tale che PH = k PK ^{, essendo PH} la distanza di P dalla retta r : 3 x − 4 y + 15 = 0 e PK la distanza dalla retta s : x − 3 = 0 .

Nota: si ottiene un fascio di rette proprio.

8

2

+ 2 −

= x x

y ; A ( − 4 ; 0 )

1 sol. per  



 

∈ 

5

; 21 35

k 3 ; 2 sol. per k = 21 5

Problema n. 7

1) Determinare l’equazione dell’ellisse, con i fuochi sull’asse x , avente eccentricità 2

= 3

e e passante

per il punto 





 

 2 , 7 3

Q .

2) Detti A e B i vertici aventi, rispettivamente, ascissa e ordinata negative, determinare sull’arco AB il punto P per il quale è massima l’area del quadrilatero APBO , essendo O l’origine degli assi cartesiani.

Nota: il quadrilatero ABPO può essere scomposto, per la determinazione dell’area, in un triangolo e in un trapezio.

16 4

²

2

+ y =

x

max area = 4 2 1) Determinare l’equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta y = 2x +1 nel punto A(1;3) . 2) Determinare l’equazione della circonferenza 1 C del fascio passante per l’origine.

3) Detto B l’interiore punto d’intersezione di 1 C con l’asse delle ascisse, determinare sull’arco OB il punto P per il quale si ha PO² + PB² = kOB² .

4) Inscrivere nella regione finita di piano appartenente al primo quadrante e delimitata dalla circonferenza 1 C e dall’asse delle x il rettangolo avente lati paralleli agli assi cartesiani e perimetro 1) Determinare l’equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta y = 2x +1 nel punto A(1;3) . 2) Determinare l’equazione della circonferenza 1 C del fascio passante per l’origine.

3) Detto B l’interiore punto d’intersezione di 1 C con l’asse delle ascisse, determinare sull’arco OB il punto P per il quale si ha PO² + PB² = kOB² .

4) Inscrivere nella regione finita di piano appartenente al primo quadrante e delimitata dalla circonferenza 1 C e dall’asse delle x il rettangolo avente lati paralleli agli assi cartesiani e perimetro 1) Determinare l’equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta y = 2x +1 nel punto A(1;3) . 2) Determinare l’equazione della circonferenza 1 C del fascio passante per l’origine.

3) Detto B l’interiore punto d’intersezione di 1 C con l’asse delle ascisse, determinare sull’arco OB il punto P per il quale si ha PO² + PB² = kOB² .

4) Inscrivere nella regione finita di piano appartenente al primo quadrante e delimitata dalla circonferenza 1 C e dall’asse delle x il rettangolo avente lati paralleli agli assi cartesiani e perimetro 1) Determinare l’equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta y = 2x +1 nel punto A(1;3) . 2) Determinare l’equazione della circonferenza 1 C del fascio passante per l’origine.

3) Detto B l’interiore punto d’intersezione di 1 C con l’asse delle ascisse, determinare sull’arco OB il punto P per il quale si ha PO² + PB² = kOB² .

4) Inscrivere nella regione finita di piano appartenente al primo quadrante e delimitata dalla circonferenza 1 C e dall’asse delle x il rettangolo avente lati paralleli agli assi cartesiani e perimetro 1) Determinare l’equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta y = 2x +1 nel punto A(1;3) . 2) Determinare l’equazione della circonferenza 1 C del fascio passante per l’origine.

3) Detto B l’interiore punto d’intersezione di 1 C con l’asse delle ascisse, determinare sull’arco OB il punto P per il quale si ha PO² + PB² = kOB² .

4) Inscrivere nella regione finita di piano appartenente al primo quadrante e delimitata dalla circonferenza 1 C e dall’asse delle x il rettangolo avente lati paralleli agli assi cartesiani e perimetro 1) Determinare l’equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta y = 2x +1 nel punto A(1;3) . 2) Determinare l’equazione della circonferenza 1 C del fascio passante per l’origine.

3) Detto B l’interiore punto d’intersezione di 1 C con l’asse delle ascisse, determinare sull’arco OB il punto P per il quale si ha PO² + PB² = kOB² .

4) Inscrivere nella regione finita di piano appartenente al primo quadrante e delimitata dalla circonferenza 1 C e dall’asse delle x il rettangolo avente lati paralleli agli assi cartesiani e perimetro 1) Determinare l’equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta y = 2x +1 nel punto A(1;3) . 2) Determinare l’equazione della circonferenza 1 C del fascio passante per l’origine.

3) Detto B l’interiore punto d’intersezione di 1 C con l’asse delle ascisse, determinare sull’arco OB il punto P per il quale si ha PO² + PB² = kOB² .

4) Inscrivere nella regione finita di piano appartenente al primo quadrante e delimitata dalla circonferenza 1 C e dall’asse delle x il rettangolo avente lati paralleli agli assi cartesiani e perimetro 1) Determinare l’equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta y = 2x +1 nel punto A(1;3) . 2) Determinare l’equazione della circonferenza 1 C del fascio passante per l’origine.

3) Detto B l’interiore punto d’intersezione di 1 C con l’asse delle ascisse, determinare sull’arco OB il punto P per il quale si ha PO² + PB² = kOB² .

4) Inscrivere nella regione finita di piano appartenente al primo quadrante e delimitata dalla circonferenza 1 C e dall’asse delle x il rettangolo avente lati paralleli agli assi cartesiani e perimetro 1) Determinare l’equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta y = 2x +1 nel punto A(1;3) . 2) Determinare l’equazione della circonferenza 1 C del fascio passante per l’origine.

3) Detto B l’interiore punto d’intersezione di 1 C con l’asse delle ascisse, determinare sull’arco OB il punto P per il quale si ha PO² + PB² = kOB² .

4) Inscrivere nella regione finita di piano appartenente al primo quadrante e delimitata dalla

circonferenza 1 C e dall’asse delle x il rettangolo avente lati paralleli agli assi cartesiani e perimetro

Liceo Scientifico “G. Castelnuovo” – Firenze Classe IV Sez. E-F

Prof. Franco Fusier – Rev. 10/2011 3

Problema n. 8

1) Determinare l’equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta y = 2 x + 1 nel punto A ( 1 ; 3 ) . 2) Determinare l’equazione della circonferenza C

₁

del fascio passante per l’origine.

3) Detto B l’interiore punto d’intersezione di C

₁ con l’asse delle ascisse

, determinare sull’arco OB il punto P per il quale si ha PO ² + PB ² = k OB ² ^.

4) Inscrivere nella regione finita di piano appartenente al primo quadrante e delimitata dalla circonferenza C

₁

e dall’asse delle x il rettangolo avente lati paralleli agli assi cartesiani e perimetro massimo.

Nota: nella risposta relativa alla terza domanda si ottiene un secondo fascio di circonferenze, che hanno tutte centro nel punto ( 11 ; 0 ) ; la relativa condizione di tangenza può essere imposta senza effettuare calcoli (basta un attento esame della figura).

x²+y²-2x-6y+10+k(2x-y+1)=0, il centro del fascio si trova nel punto ( 11 ; − 2 ) k=-10; C

₁

: x²+y²-22x+4y=0

Equazione del secondo fascio di circonferenze (concentriche):

B ( 22 ; 0 ) ; x²+y²-22x+242(1-k)=0

2 sol. per 





 

 −

∈ ; 1

121 5 10 k 125

Equazione del fascio di rette: posto

2 p = h , − 4 x + 2 y + 44 − h = 0

;

max perimetro = 46 Nota: la retta che determina il rettangolo con il massimo perimetro è l’asse radicale del fascio e il relativo punto di tangenza è A ( 1 ; 3 ) .

Problema n. 9

1) Determinare l’equazione dell’iperbole I avente i fuochi sull’asse delle x , passante per ^Q ( ^{7; 6} ) ^e

avente per asintoti le rette 1 y = ± 2 2 x .

2) Indicati con A e B i punti d’intersezione tra l’iperbole I e la retta r : x = 3 , determinare il rettangolo R di perimetro massimo inscritto nella regione finita di piano delimitata da I e da r , avente due vertici su r e gli altri due su I .

3) Determinare il volume del cilindro generato da una rotazione di 180° attorno all’asse x del rettangolo trovato al punto 2).

Equazione dell’iperbole:

x

²

− 8 y

²

= 1 ; Perimetro massimo = 6 − 2 ; Volume = (3 2) 8

π ₋

II gruppo di esercizi (Problemi simulazione esame di Stato)

Problema n. 10

Si consideri la seguente relazione tra le variabili reali x e y :

a y x

1 1 1 + =

dove a è un parametro reale positivo.

1) Determinare l’equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta y = 2x +1 nel punto A(1;3) . 2) Determinare l’equazione della circonferenza 1 C del fascio passante per l’origine.

3) Detto B l’interiore punto d’intersezione di 1 C con l’asse delle ascisse, determinare sull’arco OB il punto P per il quale si ha PO² + PB² = kOB² .

4) Inscrivere nella regione finita di piano appartenente al primo quadrante e delimitata dalla circonferenza 1 C e dall’asse delle x il rettangolo avente lati paralleli agli assi cartesiani e perimetro 1) Determinare l’equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta y = 2x +1 nel punto A(1;3) . 2) Determinare l’equazione della circonferenza 1 C del fascio passante per l’origine.

3) Detto B l’interiore punto d’intersezione di 1 C con l’asse delle ascisse, determinare sull’arco OB il punto P per il quale si ha PO² + PB² = kOB² .

4) Inscrivere nella regione finita di piano appartenente al primo quadrante e delimitata dalla circonferenza 1 C e dall’asse delle x il rettangolo avente lati paralleli agli assi cartesiani e perimetro 1) Determinare l’equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta y = 2x +1 nel punto A(1;3) . 2) Determinare l’equazione della circonferenza 1 C del fascio passante per l’origine.

3) Detto B l’interiore punto d’intersezione di 1 C con l’asse delle ascisse, determinare sull’arco OB il punto P per il quale si ha PO² + PB² = kOB² .

4) Inscrivere nella regione finita di piano appartenente al primo quadrante e delimitata dalla circonferenza 1 C e dall’asse delle x il rettangolo avente lati paralleli agli assi cartesiani e perimetro 1) Determinare l’equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta y = 2x +1 nel punto A(1;3) . 2) Determinare l’equazione della circonferenza 1 C del fascio passante per l’origine.

3) Detto B l’interiore punto d’intersezione di 1 C con l’asse delle ascisse, determinare sull’arco OB il punto P per il quale si ha PO² + PB² = kOB² .

4) Inscrivere nella regione finita di piano appartenente al primo quadrante e delimitata dalla circonferenza 1 C e dall’asse delle x il rettangolo avente lati paralleli agli assi cartesiani e perimetro 1) Determinare l’equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta y = 2x +1 nel punto A(1;3) . 2) Determinare l’equazione della circonferenza 1 C del fascio passante per l’origine.

3) Detto B l’interiore punto d’intersezione di 1 C con l’asse delle ascisse, determinare sull’arco OB il punto P per il quale si ha PO² + PB² = kOB² .

4) Inscrivere nella regione finita di piano appartenente al primo quadrante e delimitata dalla circonferenza 1 C e dall’asse delle x il rettangolo avente lati paralleli agli assi cartesiani e perimetro 1) Determinare l’equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta y = 2x +1 nel punto A(1;3) . 2) Determinare l’equazione della circonferenza 1 C del fascio passante per l’origine.

3) Detto B l’interiore punto d’intersezione di 1 C con l’asse delle ascisse, determinare sull’arco OB il punto P per il quale si ha PO² + PB² = kOB² .

4) Inscrivere nella regione finita di piano appartenente al primo quadrante e delimitata dalla circonferenza 1 C e dall’asse delle x il rettangolo avente lati paralleli agli assi cartesiani e perimetro 1) Determinare l’equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta y = 2x +1 nel punto A(1;3) . 2) Determinare l’equazione della circonferenza 1 C del fascio passante per l’origine.

3) Detto B l’interiore punto d’intersezione di 1 C con l’asse delle ascisse, determinare sull’arco OB il punto P per il quale si ha PO² + PB² = kOB² .

4) Inscrivere nella regione finita di piano appartenente al primo quadrante e delimitata dalla circonferenza 1 C e dall’asse delle x il rettangolo avente lati paralleli agli assi cartesiani e perimetro 1) Determinare l’equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta y = 2x +1 nel punto A(1;3) . 2) Determinare l’equazione della circonferenza 1 C del fascio passante per l’origine.

3) Detto B l’interiore punto d’intersezione di 1 C con l’asse delle ascisse, determinare sull’arco OB il punto P per il quale si ha PO² + PB² = kOB² .

4) Inscrivere nella regione finita di piano appartenente al primo quadrante e delimitata dalla circonferenza 1 C e dall’asse delle x il rettangolo avente lati paralleli agli assi cartesiani e perimetro 1) Determinare l’equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta y = 2x +1 nel punto A(1;3) . 2) Determinare l’equazione della circonferenza 1 C del fascio passante per l’origine.

3) Detto B l’interiore punto d’intersezione di 1 C con l’asse delle ascisse, determinare sull’arco OB il punto P per il quale si ha PO² + PB² = kOB² .

4) Inscrivere nella regione finita di piano appartenente al primo quadrante e delimitata dalla

circonferenza 1 C e dall’asse delle x il rettangolo avente lati paralleli agli assi cartesiani e perimetro

Liceo Scientifico “G. Castelnuovo” – Firenze Classe IV Sez. E-F

Prof. Franco Fusier – Rev. 10/2011 4

1) Esprimere y in funzione di x e studiare la funzione così ottenuta (individuando il tipo di fascio rappresentato ed eventuali punti fissi), disegnandone il grafico in un piano riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy ) .

2) Determinare per quali valori di a la curva disegnata risulta tangente o secante alla retta t di equazione

= 4 + y

x .

3) Scrivere l’equazione della circonferenza k che ha il centro nel punto di coordinate ( 1 ; 1 ) e intercetta sulla retta t una corda di lunghezza 2 2 .

4) Calcolare le aree delle due regioni finite di piano in cui il cerchio delimitato da k è diviso dalla retta t . 5) Determinare per quale valore del parametro a il grafico, di cui al precedente punto 1), risulta

tangente alla circonferenza k . ( per rispondere a questa domanda osservare attentamente il grafico di una curva generica del fascio, tenendo ben presenti le caratteristiche di quest’ultimo…;

un’impostazione puramente algebrica può portare a calcoli molto lunghi ) Soluzioni:

1) x a

y ax

= − , funzione omografica di dominio ^D

^f

⁼ ℝ ⁻ { ^{0; a} } , il cui grafico è un’iperbole equilatera traslata privata di uno dei suoi vertici (l’origine);

2) tangente per a = 1 e secante per 0 < a < 1 ;

3)

k : x

²

+ y

²

− 2 x − 2 y − 2 ;

4) ^A

₁

= π − 2 ^{; A}

2

= ³ π + ^{2 ;}

5) 2

2 1 +

= a

Attenzione: le soluzioni non sono stare ricontrollate.

1) Determinare l’equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta y = 2x +1 nel punto A(1;3) . 2) Determinare l’equazione della circonferenza 1 C del fascio passante per l’origine.

3) Detto B l’interiore punto d’intersezione di 1 C con l’asse delle ascisse, determinare sull’arco OB il punto P per il quale si ha PO² + PB² = kOB² .

4) Inscrivere nella regione finita di piano appartenente al primo quadrante e delimitata dalla circonferenza 1 C e dall’asse delle x il rettangolo avente lati paralleli agli assi cartesiani e perimetro 1) Determinare l’equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta y = 2x +1 nel punto A(1;3) . 2) Determinare l’equazione della circonferenza 1 C del fascio passante per l’origine.

3) Detto B l’interiore punto d’intersezione di 1 C con l’asse delle ascisse, determinare sull’arco OB il punto P per il quale si ha PO² + PB² = kOB² .

4) Inscrivere nella regione finita di piano appartenente al primo quadrante e delimitata dalla circonferenza 1 C e dall’asse delle x il rettangolo avente lati paralleli agli assi cartesiani e perimetro 1) Determinare l’equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta y = 2x +1 nel punto A(1;3) . 2) Determinare l’equazione della circonferenza 1 C del fascio passante per l’origine.

3) Detto B l’interiore punto d’intersezione di 1 C con l’asse delle ascisse, determinare sull’arco OB il punto P per il quale si ha PO² + PB² = kOB² .

4) Inscrivere nella regione finita di piano appartenente al primo quadrante e delimitata dalla circonferenza 1 C e dall’asse delle x il rettangolo avente lati paralleli agli assi cartesiani e perimetro 1) Determinare l’equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta y = 2x +1 nel punto A(1;3) . 2) Determinare l’equazione della circonferenza 1 C del fascio passante per l’origine.

3) Detto B l’interiore punto d’intersezione di 1 C con l’asse delle ascisse, determinare sull’arco OB il punto P per il quale si ha PO² + PB² = kOB² .

4) Inscrivere nella regione finita di piano appartenente al primo quadrante e delimitata dalla circonferenza 1 C e dall’asse delle x il rettangolo avente lati paralleli agli assi cartesiani e perimetro 1) Determinare l’equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta y = 2x +1 nel punto A(1;3) . 2) Determinare l’equazione della circonferenza 1 C del fascio passante per l’origine.

3) Detto B l’interiore punto d’intersezione di 1 C con l’asse delle ascisse, determinare sull’arco OB il punto P per il quale si ha PO² + PB² = kOB² .

4) Inscrivere nella regione finita di piano appartenente al primo quadrante e delimitata dalla circonferenza 1 C e dall’asse delle x il rettangolo avente lati paralleli agli assi cartesiani e perimetro 1) Determinare l’equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta y = 2x +1 nel punto A(1;3) . 2) Determinare l’equazione della circonferenza 1 C del fascio passante per l’origine.

3) Detto B l’interiore punto d’intersezione di 1 C con l’asse delle ascisse, determinare sull’arco OB il punto P per il quale si ha PO² + PB² = kOB² .

4) Inscrivere nella regione finita di piano appartenente al primo quadrante e delimitata dalla circonferenza 1 C e dall’asse delle x il rettangolo avente lati paralleli agli assi cartesiani e perimetro 1) Determinare l’equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta y = 2x +1 nel punto A(1;3) . 2) Determinare l’equazione della circonferenza 1 C del fascio passante per l’origine.

3) Detto B l’interiore punto d’intersezione di 1 C con l’asse delle ascisse, determinare sull’arco OB il punto P per il quale si ha PO² + PB² = kOB² .

4) Inscrivere nella regione finita di piano appartenente al primo quadrante e delimitata dalla circonferenza 1 C e dall’asse delle x il rettangolo avente lati paralleli agli assi cartesiani e perimetro 1) Determinare l’equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta y = 2x +1 nel punto A(1;3) . 2) Determinare l’equazione della circonferenza 1 C del fascio passante per l’origine.

3) Detto B l’interiore punto d’intersezione di 1 C con l’asse delle ascisse, determinare sull’arco OB il punto P per il quale si ha PO² + PB² = kOB² .

4) Inscrivere nella regione finita di piano appartenente al primo quadrante e delimitata dalla circonferenza 1 C e dall’asse delle x il rettangolo avente lati paralleli agli assi cartesiani e perimetro 1) Determinare l’equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta y = 2x +1 nel punto A(1;3) . 2) Determinare l’equazione della circonferenza 1 C del fascio passante per l’origine.

3) Detto B l’interiore punto d’intersezione di 1 C con l’asse delle ascisse, determinare sull’arco OB il punto P per il quale si ha PO² + PB² = kOB² .

4) Inscrivere nella regione finita di piano appartenente al primo quadrante e delimitata dalla

circonferenza 1 C e dall’asse delle x il rettangolo avente lati paralleli agli assi cartesiani e perimetro