Unità 2
L’elaborazione dei dati
in fisica
Lezione LIM
L’elaborazione dei dati in fisica
Errori di misura
Le operazioni di misura ci consentono solo di stimare il valore più
attendibile e non il valore vero.
Tutti gli strumenti sono caratterizzati da:
•portata, il massimo valore della grandezza che lo strumento può misurare;
•sensibilità, la minima variazione
della grandezza che lo strumento è in grado di apprezzare.
Errori di misura
Errore di sensibilità di uno strumento di misura:
incertezza sulla misura dovuta alla sensibilità dello strumento.
Si assume: uguale alla metà della
sensibilità, in altri casi si fa coincidere con tale variazione.
Per esempio:
La lunghezza l di una lamina rettangolare misurata con un righello suddiviso in intervalli di 1 cm.
l = 5,5 cm ± 0,5 cm
Errori di misura
Errore casuale:
•dipende da fattori imprevedibili;
•altera sia per difetto sia per eccesso il valore della misura;
•può essere ridotto, ma mai eliminato del tutto.
Errore sistematico:
•altera il valore della misura sempre per eccesso o sempre per difetto;
•se individuato, si può ripetere la misura con strumenti e procedure diverse.
Stima dell’errore
La media come valore più attendibile:
in una serie di N misure ripetute, il valore più attendibile della grandezza è la media aritmetica dei valori x1, x2,
…, xN misurati.
Stima dell’errore
La semidispersione come errore massimo:
in una serie di misure ripetute si può assumere come errore sul valore della grandezza la semidispersione, definita come semidifferenza fra il valore massimo xmax e il valore minimo xmin ottenuti.
Se x è il risultato della serie di misure di media M e d è la semidispersione, possiamo scrivere:
x = M ± d
Stima dell’errore
La misura di una certa grandezza x viene espressa come
x = M ± ea
L’errore assoluto ea è inteso:
•come errore di sensibilità se M
rappresenta il risultato di una singola misura con strumento a bassa sensibilità;
•come semidispersione d se M indica la media di una serie di misure.
Stima dell’errore
Accuratezza:
una misura è tanto più accurata quanto più la media xM dei valori ottenuti si approssima al valore assunto come vero xv.
Questa misura della grandezza x è molto accurata, perché il valore medio xM si avvicina molto al valore vero xv.
Stima dell’errore
Precisione:
una misura è precisa quando, essendo ripetuta più volte nelle stesse condizioni, fornisce valori molto vicini l’uno all’altro, cioè concentrati intorno al valore medio.
Questa misura è precisa, perché i valori delle varie misure si concentrano intorno al valore medio.
Stima dell’errore
Errore relativo er:
rapporto fra l’errore assoluto ea di
una misura e il valore M della misura stessa.
Errore relativo espresso in percentuale ep: dato dall’errore relativo espresso in percentuale
La propagazione degli errori e le cifre significative
Somma o differenza di misure:
l’errore assoluto
è uguale alla somma degli errori assoluti sui singoli termini.
Cioè, quando
M = M1+M2 oppure M = M1 − M2 ea = ea1 + ea2
La propagazione degli errori e le cifre significative
Prodotto o quoziente di misure:
l’errore relativo
è uguale alla somma degli errori relativi sui singoli fattori
Cioè, quando
M = M1 ∙ M2 oppure M = M1 / M2 er = er1 + er2
La propagazione degli errori e le cifre significative
Le cifre significative di una misura sono le cifre note con certezza più la prima cifra incerta:
•nei numeri decimali: si contano la cifra incerta e tutte le cifre alla sua sinistra, fino all’ultima cifra diversa da zero. Gli zeri iniziali non devono essere contati;
•nei numeri interi: gli zeri finali possono essere interpretati in maniera ambigua, perciò è preferibile la notazione
esponenziale.
La propagazione degli errori e le cifre significative
Cifre significative di una misura indiretta: la precisione del risultato di una grandezza, calcolata a partire da altre,
non può essere superiore a quella minima dei valori su cui si opera.
Arrotondamento:
•approssimazione per eccesso, l’ultima cifra da mantenere deve essere aumentata di 1 se è seguita da una cifra
superiore o uguale a 5;
•approssimazione per difetto, l’ultima cifra da mantenere non deve essere modificata se è invece seguita da una cifra
La costruzione di un grafico cartesiano
Per costruire un grafico cartesiano:
•organizziamo i dati in una tabella;
•tracciamo due assi orientati;
•fissiamo una scala;
•rappresentiamo con un punto del piano cartesiano i valori misurati;
•se possibile, uniamo i punti con una linea continua.
La costruzione di un grafico cartesiano
Proporzionalità diretta:
le grandezze x e y sono
direttamente proporzionali
quando il rapporto y/x si mantiene costante, cioè
y = k x
La costante di proporzionalità k definisce la pendenza della retta passante per l’origine.
Rappresentazioni di dati sperimentali
A una coppia di dati corrispondono tutti i punti contenuti in
un rettangolo con:
•centro in quel punto;
•base uguale al doppio dell’errore assoluto sulla misura rappresentata sull’asse x;
•altezza uguale al doppio dell’errore assoluto sulla misura rappresentata sull’asse y.
Rappresentazione matematica e grafica di leggi fisiche
Dipendenza lineare:
le grandezze x e y sono linearmente dipendenti quando sono legate
dalla relazione
y = k x + q
dove k e q sono due valori costanti, indipendenti da x e da y.
Rappresentazione matematica e grafica di leggi fisiche
Proporzionalità quadratica:
la grandezza y è quadraticamente proporzionale alla grandezza x se al variare di x varia anche y in modo che il rapporto y/x2 si mantenga uguale a un valore costante k, cioè
y = k x2
Rappresentazione matematica e grafica di leggi fisiche
Proporzionalità inversa:
la grandezza y è inversamente
proporzionale a alla grandezza x se al variare di x varia anche y in modo che il prodotto xy si mantenga uguale a un valore costante k, cioè
x y = k oppure y = k / x
