Analisi Matematica 1

(1)

Prove scritte di

Analisi Matematica 1

Ingegneria Gestionale (sede di Brindisi) dall’a.a. 2005–2006

x y

f

g

0 1

La funzione seno e la funzione esponenziale

Raccolta delle tracce di “Analisi Matematica 1 ” per Ingegneria Gestionale (sede di Brin- disi), Facolt`a di Ingegneria, Universit`a degli Studi di Lecce

(2)

Primo esonero di Analisi Matematica I Ingegneria Gestionale, sede di Brindisi 9 novembre 2005, traccia A

1. Calcolare il seguente limite

x→0lim

x² log(1 − x²) 1 − cos⁴x² .

2. Risolvere la seguente equazione in campo complesso z + i

z − 1= 2i .

3. Rispondere alle domande teoriche allegate.

(3)

Primo esonero di Analisi Matematica I Ingegneria Gestionale, sede di Brindisi 9 novembre 2005, traccia B

x→+∞lim

e^−x log(1 + x)

x⁵ .

2. Risolvere la seguente equazione in campo complesso z =p³

(1 + i)⁴ .

(4)

Primo esonero di Analisi Matematica I Ingegneria Gestionale, sede di Brindisi 9 novembre 2005, traccia C

x→0lim

(e^x³− 1) sin³x log³cos²x .

2. Risolvere la seguente equazione in campo complesso z + 3i

z − 4i = 2 .

(5)

Primo esonero di Analisi Matematica I Ingegneria Gestionale, sede di Brindisi 9 novembre 2005, traccia D

x→+∞lim

e^x³ − 1 log(1 + x³) .

2. Risolvere la seguente equazione in campo complesso z = ⁴

q (1 +√

3 i)³ .

(6)

Secondo esonero di Analisi Matematica I Ingegneria Gestionale, sede di Brindisi 23 novembre 2005

1. Studiare la convergenza della seguente serie numerica

+∞X

n=1

(−1)ⁿ√

n sin² 1 n .

2. Studiare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della seguente funzione

f (x) = (x + 1) |x|

x − 2 .

3. Calcolare il seguente integrale indefinito Z

cos²x sin x dx .

(7)

Prova scritta di Analisi Matematica I Ingegneria Gestionale, sede di Brindisi 7 dicembre 2005

1. Tracciare il grafico della funzione cos`ı definita f (x) = sin 2x − cos x .

2. Studiare il seguente limite

x→1lim

cos(log x) − 1 (x^π− 1)² .

3. Studiare il carattere della serie X∞ n=1

(−1)ⁿeⁿn³ (n!)² .

(8)

Soluzione della prova scritta di Analisi Matematica I Ingegneria Gestionale, sede di Brindisi

7 dicembre 2005

1. La funzione è definita in tutto R ed è ovviamente periodica di perio- do 2π, per cui viene studiata nell’intervallo [−π, π]. Poiché sin 2x = 2 sin x cos x, si ricava f (x) = cos x(2 sin x − 1); nell’intervallo [−π, π], si ha cos x ≥ 0 è positiva per −π/2 ≤ x ≤ π/2 e inoltre 2 sin x − 1 ≥ 0 per sin x ≥ 1/2, cioè per π/6 ≤ x ≤ 5π/6; riassumendo, si ottiene che f è positiva in [−π, −π/2] ∪ [π/6, π/2] ∪ [5π/6, π] ed i punti di coor- dinate A(−π/2, 0), B(π/6, 0), C(π/2, 0) e D(5π/6, 0) costituiscono le intersezioni con l’asse x. L’intersezione con l’asse y è data dal punto E(0, 1).

La funzione è continua in tutto R e quindi non può avere asintoti ver- ticali. Essendo inoltre periodica non costante, non può avere neanche asintoti orizzontali oppure obliqui.

Inoltre, f `e derivabile infinite volte e si ha, per ogni x ∈ R, f⁰(x) = 2 cos 2x + sin x = 2 + sin x − 4 sin²x . Posto

a = 1 −√ 33

8 ∼ −0, 59 , b = 1 +√ 33

8 ∼ 0, 84 ,

il polinomio −4y²+ y − 2 `e positivo per a ≤ y ≤ b e quindi f⁰(x) ≥ 0 per a ≤ sin x ≤ b. Nell’intervallo [−π, π], tenendo presente che a, b ∈ [−π/2, π/2] ed il grafico della funzione seno, si ha f⁰(x) ≥ 0 in [−π, −π − arcsin a] ∪ [arcsin a, arcsin b] ∪ [π − arcsin b, π]. I punti

−π − arcsin a e arcsin b sono di massimo relativo per f , mentre i punti arcsin a e π − arcsin b sono di minimo relativo per f . Confrontando i valori della funzione in tali punti si ricava che il massimo assoluto di f viene assunto in −π − arcsin a ed il minimo assoluto in arcsin a.

La derivata seconda di f `e data, per ogni x ∈ R, da f⁰⁰(x) = cos x − 8 sin x cos x = cos x(1 − 8 sin x)

e pu`o essere studiata in maniera analoga nell’intervallo [−π, π] ponendo c = arcsin 1/8.

Il grafico `e tracciato approssimativamente nella Figura 1.

(9)

x y

0

Figura 1: Grafico della funzione del 7 dicembre 2005.

2. Posto y = log x, si ha

x→1lim

cos(log x) − 1

(x^π− 1)² = lim

y→0

cos y − 1 (e^πy− 1)²

= lim

y→0

cos y − 1 y²

1 π²

µ πy e^πy− 1

¶₂

= −1 2

1

π² = − 1 2π² .

3. La serie `e a segni alterni. Studiando la convergenza assoluta e appli- cando il criterio del rapporto, si ha

n→+∞lim

eⁿ⁺¹(n + 1)³ (n + 1)! (n + 1)!

n! n!

eⁿn³ = lim

n→+∞

e(n + 1) n³ = 0 .

Quindi la serie `e assolutamente convergente e conseguentemente anche convergente.

(10)

Primo esonero di Analisi Matematica I Ingegneria Gestionale, sede di Brindisi 6 novembre 2006, traccia A

1.

x→+∞lim x^π µ

1 − cos 1 x

¶ log

µ 1 +1

x

¶ .

3. Calcolare le radici terze del seguente numero complesso (1 + i)²

(√

3 + i)⁶ .

+∞X

n=0

n²eⁿ n! .

(11)

Soluzione del primo esonero di Analisi Matematica I Ingegneria Gestionale, sede di Brindisi

6 novembre 2006, traccia A

1. Posto y = 1/x, si ha y → 0⁺ e inoltre

x→+∞lim x^π µ

1 − cos1 x

¶ log

µ 1 + 1

x

¶

y→0lim⁺

1 − cos y y²

log (1 + y) y

1 y^π−3

= 1

2 · 1 · (+∞) = ∞ .

2. Si ha 1 + i =√

2(cos π/4 + i sin π/4) e quindi (1 + i)² = 2(cos π/2 + i sin π/2). Analogamente√

3+i = 2(cos π/6+i sin π/6) e conseguente- mente (√

3 + i)⁶ = 64(cos π + i sin π). Allora (1 + i)²

(√

3 + i)⁶ = 2(cos π/2 + i sin π/2) 64(cos π + i sin π) = 1

32

³ cos

³

−π 2

´ + i sin

³

−π 2

´´

e le radici terze sono date da w_k= 1

√3

32 µ

cos−π/2 + 2kπ

3 + i sin−π/2 + 2kπ 3

¶

, k = 0, 1, 2 ,

ed esplicitamente

w₀ = 1

√3

32

³ cos

³

−π 6

´ + i sin

³

−π 6

´´

=

√3 2√³

32 − 1 2√³

32i ,

w₁ = 1

√3

32

³ cosπ

2 + i sinπ 2

´

= 1

√3

32i ,

w₂ = 1

√3

32 µ

cos µ7π

6

¶ + i sin

µ7π 6

¶¶

= −

√3 2√³

32− 1 2√³

32i .

3. La serie assegnata `e a termini positivi ed utilizzando il criterio del rapporto risulta

n→+∞lim

(n + 1)²eⁿ⁺¹ (n + 1)!

n!

n²eⁿ = lim

n→+∞

(n + 1)² n²

eⁿ⁺¹ eⁿ

n!

(n + 1)!

= 1 · e lim

n→+∞

1 n + 1 = 0 e quindi la serie `e convergente.

(12)

Primo esonero di Analisi Matematica I Ingegneria Gestionale, sede di Brindisi 6 novembre 2006, traccia B

x→+∞lim

x e^1/x² −2 p x

x²+ 1 − x .

2. Calcolare le radici quarte del seguente numero complesso (√

3 i + 1)⁴ (√

3 + i)² .

+∞X

n=1

(n!)² n²ⁿ . 4. Rispondere alle domande teoriche allegate.

(13)

Soluzione del primo esonero di Analisi Matematica I Ingegneria Gestionale, sede di Brindisi

6 novembre 2006, traccia B

1. Il limite non si presenta in forma indeterminata in quanto la funzione al numeratore è un infinito mentre la funzione al denominatore è un infinitesimo e quindi il rapporto risulta essere un infinito. Poiché en- trambe le funzioni al numeratore ed al denominatore sono positive in un intorno di +∞, si conclude che il limite assegnato è uguale a +∞.

2. Si ha √

3 i + 1 = 2(cos π/3 + i sin π/3) e conseguentemente (√ 3 + i)⁴ = 16(cos 4π/3 + i sin 4π/3); inoltre√

3 + i = 2(cos π/6 + i sin π/6) e conseguentemente (√

3 + i)² = 4(cos π/3 + i sin π/3). Allora (√

3 i + 1)⁴ (√

3 + i)² = 16(cos 4π/3 + i sin 4π/3)

4(cos π/3 + i sin π/3) = 4 (cos π + i sin π) e le radici quarte sono date da

w_k= √² 2

µ

cosπ + 2kπ

4 + i sinπ + 2kπ 4

¶

, k = 0, 1, 2, 3 ,

ed esplicitamente w₀ = √²

2

³ cosπ

4 + i sinπ 4

´

= 1 + i , w₁ = √²

2 µ

cos3π

4 + i sin3π 4

¶

= −1 + i , w₂ = √²

2 µ

cos5π

4 + i sin5π 4

¶

= −1 − i , w₃ = √²

2 µ

cos7π

4 + i sin7π 4

¶

= 1 − i .

3. La serie assegnata `e a termini positivi ed utilizzando il criterio del rapporto risulta

n→+∞lim

((n + 1)!)² (n + 1)²⁽ⁿ⁺¹⁾

n²ⁿ

(n!)² = lim

n→+∞

µ(n + 1)!

n!

¶₂

n²ⁿ

(n + 1)²ⁿ(n + 1)²

= lim

n→+∞(n + 1)² 1

¡¡1 +_n¹¢_n¢₂

(n + 1)²

= 1

e² < 1 e quindi la serie `e convergente.

(14)

Secondo esonero di Analisi Matematica I Ingegneria Gestionale, sede di Brindisi 29 novembre 2006, traccia A

1. Calcolare il seguente integrale definito Z _π/3

π/6

cot x sin²xdx .

2. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico

f (x) = s

|x + 1|

|x| . 3. Rispondere alle domande teoriche allegate.

(15)

Soluzione del secondo esonero di Analisi Matematica I Ingegneria Gestionale, sede di Brindisi

29 novembre 2006, traccia A

1. Si pu`o osservare che D cot x = −1/ sin²x e quindi, posto t = cot x si ha dt = −dx/ sin² da cui, tenendo presente che cot π/6 = √

3 e cot π/3 =√

3/3 Z _π/3

π/6

cot x

sin²xdx = − Z ^√_3/3

√3

t dt = −

·t² 2

¸^√_3/3

√3

= −1 6+3

2 = 4 3 . Alternativamente si pu`o porre t = sin x, da cui dt = cos x dx, ed utilizzare l’uguaglianza

Z _π/3

π/6

cot x sin²xdx =

Z _π/3

π/6

cos x sin³xdx =

Z ^√_3/2

1/2

1 t³ dt =

·t⁻⁴

−4

¸^√_3/2

1/2

= 4 3 .

2. La funzione è definita in R \ {0} e non è simmetrica né periodica.

Inoltre è sempre positiva (in quanto la radice di ordine pari è sempre positiva) e si annulla solamente nel punto −1 (pertanto f è dotata di minimo assoluto uguale a 0 e l’unico punto di minimo assoluto è −1).

Non vi sono intersezioni con l’asse y in quanto f non `e definita in 0.

La funzione `e continua in quanto composta da funzioni continue. Si ha

x→0limf (x) = +∞ , lim

x→±∞f (x) = 1 ,

e quindi la retta di equazione x = 0 `e un asintoto verticale in alto per f nel punto 0 e la retta di equazione y = 1 `e un asintoto orizzontale sia a destra che a sinistra per f .

La funzione `e derivabile in R \ {−1, 0} ed in tale insieme, tenendo presente che

f (x) =









rx + 1

x , x ≤ −1 , x > 0 , r

−x + 1

x , −1 < x < 0 , si ha

f⁰(x) =











− 1 2x²

r x

x + 1 , x < −1 , x > 0 , 1

2x² r

− x

x + 1 , −1 < x < 0 ,

Nel punto −1 risulta f₋⁰(−1) = −∞ e f₊⁰ (−1) = +∞ e quindi −1 `e un punto cuspidale per f .

(16)

Il segno della derivata prima risulta essere strettamente positivo in ] − 1, 0[ e strettamente negativo in ] − ∞, −1[∪]0, +∞[ e quindi la funzione è strettamente crescente in [−1, 0[ e strettamente decrescente in ] − ∞, −1] e in ∪]0, +∞[. Il punto −1 è di minimo relativo (anzi come già osservato assoluto) per f mentre non vi sono punti di massimo relativo. La funzione non è dotata di massimo assoluto a causa della presenza dell’asintoto verticale in 0.

Per quanto riguarda la derivata seconda, si osserva che f `e derivabile due volte in R \ {−1, 0} ed in tale insieme si ha

f⁰⁰(x) =









4x + 3 4p

x⁵(x + 1)³ , x < −1 , x > 0 , 4x + 3

4p

−x⁵(x + 1)³ , −1 < x < 0 ,

Il segno della derivata seconda risulta essere strettamente positivo in ] − 3/4, 0[∪]0, +∞[ e strettamente negativo in ] − ∞, −1[∪] − 1, −3/4[ e quindi la funzione `e strettamente convessa in ] − 3/4, 0[ e in ∪]0, +∞[

e strettamente concava in ] − ∞, −1[ e in ∪] − 1, −3/4[. Il punto −3/4

`e un punto di flesso proprio ascendente per f .

Il grafico della funzione `e rappresentato geometricamente nella Figura 2.

x y

Figura 2: Grafico della funzione del 29 novembre 2006, traccia A.

(17)

Secondo esonero di Analisi Matematica I Ingegneria Gestionale, sede di Brindisi 29 novembre 2006, traccia B

1. Calcolare il seguente integrale definito Z _π/3

π/4

tan²x sin x dx .

2. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il grafico

f (x) = s¯¯

¯¯x − 1 x + 1

¯¯

¯¯ .

(18)

Soluzione del secondo esonero di Analisi Matematica I Ingegneria Gestionale, sede di Brindisi

29 novembre 2006, traccia B

1. Posto t = cos x, da cui dt = − sin x dx, si ha Z _π/3

π/4

tan²x sin x dx = Z _π/3

π/4

sin³x cos²xdx =

Z _π/3

π/4

1 − cos²x

cos²x sin x dx

= Z _π/3

π/4

µ 1

cos²x − 1

¶

sin x dx = Z _π/3

π/4

sin x cos²xdx −

Z _π/3

π/4

sin x dx

= − Z _1/2

√2/2

1

t²dt + [cos x]^π/3_π/4=

·1 t

¸_1/2

√2/2

+1 2−

√2 2

= 2 −√ 2 +1

2 −

√2 2 = 5

2 − 3

√2 2 .

2. La funzione è definita in R \ {−1} e non è simmetrica né periodica.

Inoltre è sempre positiva (in quanto la radice di ordine pari è sempre positiva) e si annulla solamente nel punto 1 (pertanto f è dotata di minimo assoluto uguale a 0 e l’unico punto di minimo assoluto è 1). Vi

è una intersezione con l’asse y data da (0, 1) in quanto f è definita in 0 e f (0) = 1. La funzione è continua in quanto composta da funzioni continue. Si ha

x→−1lim f (x) = +∞ , lim

x→±∞f (x) = 1 ,

e quindi la retta di equazione x = −1 `e un asintoto verticale in alto per f nel punto −1 e la retta di equazione y = 1 `e un asintoto orizzontale sia a destra che a sinistra per f .

La funzione `e derivabile in R \ {−1, 1} ed in tale insieme, tenendo presente che

f (x) =









rx − 1

x + 1 , x < −1 , x ≥ 1 , r

−x − 1

x + 1 , −1 < x < 1 , si ha

f⁰(x) =







 p 1

(x − 1)(x + 1)³ , x < −1 , x > 1 ,

− 1

p(1 − x)(x + 1)³ , −1 < x < 1 ,

(19)

Nel punto 1 risulta f₋⁰ (1) = −∞ e f₊⁰(1) = +∞ e quindi 1 `e un punto cuspidale per f .

Il segno della derivata prima risulta essere strettamente positivo in ] − ∞, −1[∪]1, ∞[ e strettamente negativo in ] − 1, 1[ e quindi la fun- zione è strettamente crescente in ] − ∞, −1[ e in [1, ∞[ e strettamente decrescente in ] − 1, 1]. Il punto 1 è di minimo relativo (anzi come già osservato assoluto) per f mentre non vi sono punti di massimo relativo. La funzione non è dotata di massimo assoluto a causa della presenza dell’asintoto verticale in −1.

Per quanto riguarda la derivata seconda, si osserva che f `e derivabile due volte in R \ {−1, 1} ed in tale insieme si ha

f⁰⁰(x) =









1 − 2x

p(x + 1)⁵(x − 1)³ , x < −1 , x > 1 , 1 − 2x

p−(x + 1)⁵(x − 1)³ , −1 < x < 1 ,

Il segno della derivata seconda risulta essere strettamente positivo in ] − ∞, −1[∪] − 1, 1/2[ e strettamente negativo in ]1/2, 1[∪]1, +∞[ e quindi la funzione `e strettamente convessa in ] − ∞, −1[ e in ] − 1, 1/2[

e strettamente concava in ]1/2, 1[ e in ]1, +∞[.

Il punto 1/2 `e un punto di flesso proprio discendente per f .

Il grafico della funzione `e rappresentato geometricamente nella Figura 3.

x y

Figura 3: Grafico della funzione del 29 novembre 2006, traccia B.