Ing. Informatica e dell’Automazione, a.a. 2009/10 30/6/2010

Calcolo delle Probabilità e Statistica,

Ing. Informatica e dell’Automazione, a.a. 2009/10 30/6/2010

Nota. E’ obbligatorio sia scegliere le risposte (numeriche, o le formule

…nali a seconda del caso) negli appositi spazi, sia dare la risoluzione per esteso sul foglio a parte.

Esercizio 1. i) In un sistema di lettura automatica dei testi scritti a mano, le lettere n ed u sono facili da confondere. In una certa lingua, la n compare con frequenza 1/15, mentre la u con frequenza 1/25. Se la lettera è davvero n, il sistema legge n il 90% delle volte. Se la lettera è u, il sistema la legge n il 20% delle volte. Se la lettera è diversa sia da n sia da u, il sistema la legge n il 2% delle volte. Se il sistema legge n, con che probabilità ha sbagliato?

0:202; 0:302; 0:402

ii) Se il sistema, nel leggere un testo, legge 12 volte la lettera n, con che probabilità ne sbaglia almeno due?

0:917; 0:719; 0:835

Esercizio 2. Sia X una grandezza misurable, distribuita come una gaussiana N ( ; 9) di media incognita. Verranno svolte 10 misurazioni indipendenti, ottenendo i valori X 1 ; :::; X ₁₀ e poi verrà calcolata la media aritmetica X =

X

+:::+X

10 .

i) Che variabile aleatoria è X? Si vuole poi trovare un numero > 0 con la proprietà che sia X + con probabilità 0.95 (pur non conoscendo il valore di , in questo modo avremo una limitazione dall’alto dei suoi valori possibili). Quanto vale ?

0:882; 2:684; 1: 556

ii) Modi…chiamo l’ipotesi di partenza, supponendo che X sia una Bernoulli di parametro p incognito (p è anche uguale alla media ), e cerchiamo tale che X p X + con probabilità almeno pari a 0.8. Usando la dis- uguaglianza di Chebyshev, che valore si ottiene? Si usi la disuguaglianza p (1 p) 1=4.

0:353; 0:253; 0:153

Esercizio 3 . i) Per quali valori di a; b 2 R la funzione f _a;b (x) = C _a;b x ^a (1 x) ^b per x 2 (0; 1)

0 per x = 2 [0; 1]

è una densità di probabilità (per un’opportuna scelta della costante C a;b )?

Non si richiede il calcolo esplicito della costante C a;b , che resterà indicata così per il resto dell’esercizio, come fosse un numero noto.

a > 1 e b > 1; a > 1 e b > 1; a > 0 e b > 0 ii) Mostrare che

C _a+1;b ¹ = a + 1

b + 1 C _a;b+1 ¹ = a + 1

b + 1 C _a;b ¹ C _a+1;b ¹ : iii) Dedurne il valore di E [X] in funzione di a e b.

a + 1

a + b + 2 ; a + 1

a + b + 1 ; a + 2 a + b + 2

iv) Trovare la legge di Y = log (1 X), dove X ha densità f 0;b . Dedurne il valore di C 0;b .

C _0;b = b; b + 1; 1 b

Esercizio 4 . Consideriamo la catena di Markov su E = f1; 2; 3; 4g asso- ciata alla seguente matrice di transizione

P = 0 B B

@

1 3

1 3

1

3 0

1

3 0 ¹ ₃ ¹ ₃ 0 0 1 0 0 0 0 1

1 C C A :

a) Decomporre E nell’unione di classi irriducibili e della classe degli stati transitori.

b) Determinare le probabilità i , partendo dallo stato i (con i = 1; : : : ; 4), di visitare lo stato 3.

c) Determinare, senza svolgere ulteriori calcoli algebrici, le probabilità ⁰ _i , partendo dal generico stato i, di visitare lo stato 4.

d) Determinare, possibilmente senza svolgere il sistema vP = v, tutte le

probabilità invarianti della catena.

1 Soluzioni

Esercizio 1. i) Usiamo la scrittura L = n per dire che il sistema ha letto n, L 6= n per dire il contrario, ed usiamo semplicemente n, u, altro per dire che la lettera da decifrare era una n, una u, o altro. Allora

P (n) = 1

15 ; P (u) = 1

25 ; P (altro) = 1 1 15

1 25 P (L = n jn) = 0:9; P (L = n ju) = 0:2; P (L = n jaltro) = 0:02:

Quindi

P (L = n) = 0:9 1

15 + 0:2 1

25 + 0:02 1 1 15

1

25 = 0:086 P (n jL = n) = P (L = n jn) P (n)

P (L = n) = 0:9 ₁₅ ¹

0:086 = 0:698 quindi la probabilità richiesta è 1 0:698 = 0:302.

ii) Il numero N di errori su 12 letture della lettera n è una B (12; p) con p

= probabilità di errore in una lettura, quindi p = 0:302. Dobbiamo calcolare

P (N 2) = 1 P (N 1) = 1 P (N = 0) P (N = 0) = 1 (1 p) ⁿ np (1 p) ^{n 1}

= 1 (1 0:302) ¹² 12 0:302 (1 0:302) ¹¹ = 0:917:

Esercizio 2. i) X è una gaussiana in quanto combinazione lineare di gaus- siane indipendenti, ha media (per la linearità della media) e varianza ₁₀ ⁹ (la varianza della somma è pari alla somma delle varianze, per variabili in- dipendenti). In conclusione, X N ; ₁₀ ⁹ . Cerchiamo > 0 tale che P X + = 0:95, ovvero P X = 0:95, P X < = 0:05,

3

p 10 = 0:05, ₃ p

10 = q _0:05

= 3 q _0:95

p 10 = 3 1:64

p 10 = 1: 556:

ii) Dobbiamo trovare per cui valga la disequazione P X X + 0:8, ovvero

P X > 0:2:

Per la disuguaglianza di Chebyshev vale

P X > p (1 p)

10 ²

1

40 ² :

Basta quindi prendere in modo che ₄₀ ¹

= 0:2, cioè ² = _{40 0:2} ¹ = 0:125, quindi

= p

0:125 = 0:353:

Esercizio 3 . Esercizio 1. i) Densità se a; b 2 ( 1; 1), in quanto la funzione _x ¹ è integrabile in x = 0 per < 1, e lo stesso vale per le traslate

1

(x x

) in x 0 . ii)

C _a+1;b ¹ = Z 1

0

x ^a+1 (1 x) ^b dx

=

"

(1 x) ^b+1 b + 1 x ^a+1

# 1

0

+ Z 1

0

(1 x) ^b+1

b + 1 (a + 1) x ^a dx

= a + 1 b + 1

Z 1 0

x ^a (1 x) ^b+1 dx

= a + 1 b + 1

Z 1 0

x ^a (1 x) ^b (1 x) dx

= a + 1 b + 1

Z 1 0

x ^a (1 x) ^b dx a + 1 b + 1

Z 1 0

x ^a+1 (1 x) ^b dx

= a + 1

b + 1 C _a;b ¹ a + 1

b + 1 C _a+1;b ¹ : iii)

E [X] = C _a;b Z 1

0

xx ^a (1 x) ^b dx = C _a;b Z 1

0

x ^a+1 (1 x) ^b dx = C _a;b C _a+1;b ¹

1 + a + 1

b + 1 C _a+1;b ¹ = a + 1 b + 1 C _a;b ¹ C _a+1;b ¹ = 1 + a + 1

b + 1

1 a + 1 b + 1 C _a;b ¹

= a + 1 a + b + 2 C _a;b ¹ E [X] = C _a;b C _a+1;b ¹ = a + 1

a + b + 2 :

iii) Riassumiamo, nel caso a = 0:

f _0;b (x) = C _0;b (1 x) ^b per x 2 (0; 1) 0 per x = 2 (0; 1)

E [X] = 1 b + 2 V ar [X] = b + 1

(b + 3) (b + 2) ² : iv)Y = log (1 X)

F _Y (t) = P (log (1 X) t) = P 1 X e ^t = P X 1 e ^t = 1 F _X 1 e ^t f _Y (t) = f _X 1 e ^t e ^t = C _0;b e ^bt e ^t = C _0;b e ^(b+1)t

da cui C 0;b = b + 1 (densità esponnziale).

Esercizio 4. a) 1 e 2 comunicano fra loro; 1 e 2 comunicano con 3, ma da 3 si può solo restare in 3; 2 comunica con 4, ma da 4 si può solo restare in 4. di conseguenza f1; 2g è una classe irriducibile di stati.

1 comunica con 3, ma 3 non comunica con 1, quindi f3g è una classe ir- riducibile di stati (e 1 è transitorio, 3 è assorbente).

2 comunica con 4, ma 4 non comunica con 2, quindi f4g è un’altra classe irriducibile di stati (e 2 è transitorio, 4 è assorbente). 3 e 4 non comunicano fra loro. Quindi E = f1; 2g [ f3g [ f4g.

b) Si ha, ovviamente, 3 = 1, 4 = 0. Per quanto riguarda 1 e 2 , si ha

(

1 = p ₁₃ + p _{11 1} + p _{12 2}

2 = p ₂₃ + p _{21 1} + p _{22 2} , da cui (

1 = ¹ ₃ + ¹ _{3 1} + ¹ _{3 2}

2 = ¹ ₃ + ¹ _{3 1} + 0 ₂ , cioè ( 2 _{1 2} = 1

3 _{2 1} = 1 che ha per soluzione 1 = 4

5 , 2 = 3 5 .

c) Si ha, ovviamente, ⁰ ₃ = 0, ⁰ ₄ = 1. Per quanto riguarda ⁰ ₁ e ⁰ ₂ , si può osservare che, partendo da 1, prima o poi si casca necessariamente o in 3 o in 4, quindi 1 + ⁰ ₁ = 1 e ⁰ ₁ = 1

5 . Analogamente partendo da 2, prima o poi si casca necessariamente o in 3 o in 4, 2 + ⁰ ₂ = 1, cioè

0 2 = 2

5 . Allo stesso risultato naturalmente si arriva risolvendo il sistema (non

richiesto!) ( 0

1 = p ₁₄ + p ₁₁ ⁰ ₁ + p ₁₂ ⁰ ₂

0 2 = p ₂₄ + p ₂₁ ⁰ ₁ + p ₂₂ ⁰ ₂ , da cui ( 0

1 = 0 + ¹ ₃ ⁰ ₁ + ¹ _{3 2}

0 2 = ¹ ₃ + ¹ ₃ ⁰ ₁ + 0 ₂ , cioè

( 2 ⁰ ₁ ⁰ ₂ = 0

3 ⁰ ₂ ⁰ ₁ = 1 che ha per soluzione ⁰ ₁ = 1

5 , ⁰ ₂ = 2 5 .

c) Ovviamente v 1 = v ₂ = 0 perche 1 e 2 sono transitori. Il sistema vP = v non fornisce nessuna ulteriore informazione, quindi resta la condizione di nor- malizzazione v 3 + v ₄ = 1, ed in…ne v = (0; 0; ; 1 ), con 0 1. Ci sono quindi in…nite distribuzioni invarianti. Se proprio si vuole risolvere il sistema

(non richiesto!) si ha v ₁ v ₂ v ₃ v ₄ 0 B B

@

1 3

1 3

1

3 0

1

3 0 ¹ ₃ ¹ ₃ 0 0 1 0 0 0 0 1

1 C C

A = v ¹ v ₂ v ₃ v ₄ ,

da cui 8 >

> >

> >

> <

> >

> >

> >

:

1

3 v ₁ + ¹ ₃ v ₂ = v ₁

1

3 v ₁ = v ₂

1

3 v ₁ + ¹ ₃ v ₂ + v ₃ = v ₃

1

3 v ₂ + v ₄ = v ₄

v ₁ + v ₂ + v ₃ + v ₄ = 1

, cioè 8 >

> >

> >

> <

> >

> >

> >

:

2v ₁ v ₂ = 0 v ₁ 3v ₂ = 0 v ₁ + v ₂ = 0 v ₂ = 0

v ₁ + v ₂ + v ₃ + v ₄ = 1

da cui, di

nuovo, v = (0; 0; ; 1 ), con 0 1.