Esercizio n.1

Variante n.1 Calcolare il limite

lim

x→^π₂⁻

(2x − π) tan x Risposta: -2

Variante n.2 Calcolare il limite

lim

x→0⁻(1 x − 1

tan x) Risposta: 0

Variante n.3 Calcolare il limite

x→∞lim

log(e^4x+ 2) 3x Risposta: 4/3

Variante n.4 Calcolare il limite

x→∞lim x log(e^−4x+ 1) Risposta: 0

Variante n.5 Calcolare il limite

x→∞lim

log(x³+ 1) − log x log(3x²+ 2) Risposta: 1

Variante n.6 Calcolare il limite

x→∞lim

log(x³+ x²) − log 3x log(4x²+ 1) Risposta: 1

1

Esercizio n.2 Esame di Matematica per Biologia - 15-01-2013 Variante n.1 Calcolare l’integrale definito

Z 1 0

x x²− 4dx

Risposta: L’integrale indefinito `e dato da 1/2 log |x²− 4| + c. L’integrale definito vale 1/2 log 3/4.

Variante n.2 Calcolare l’integrale definito Z 1

0

√ 1

x(1 + x)dx Risposta: L’integrale indefinito `e dato da 2 arctan√

x + c. L’integrale definito vale π/2 Variante n.3 Calcolare l’integrale definito

Z 1 0

x log²xdx

Risposta: L’integrale indefinito `e dato da x²

2 (log²x − log x + 1/2) + c. L’integrale definito vale 1/4.

Variante n.4 Calcolare l’integrale definito Z 1

0

x√

1 + xdx

Risposta: L’integrale indefinito `e dato da 2

5(1 + x)^5/2− 2

3(1 + x)^3/2 + c. L’integrale definito vale (√

2 + 1)4/15

Variante n.5 Calcolare l’integrale definito Z 1

0

xp

1 + x²dx

Risposta: L’integrale indefinito `e dato da 1/3(1 + x²)^3/2+ c. L’integrale definito vale 1/3(2√ 2 − 1) Variante n.6 Calcolare l’integrale definito

Z 1 0

e^x(2x²− x)dx

Risposta: L’integrale indefinito `e dato da e^x(2x²− 5x + 5) + c. L’integrale definito vale 2e − 5

Variante n.1 Determinare gli autovalori e l’autovettore relativo all’autovalore pi`u grande della matrice





0 1 0

1 1 −1

0 −1 0



 Risposta: λ₀ = 0, λ₁= −1, λ₂ = 2. v₂ = (1, 2, −1).

Variante n.2 Determinare gli autovalori e l’autovettore relativo all’autovalore pi`u grande della matrice





0 −1 0

−1 1 1

0 1 0



 Risposta: λ₀ = 0, λ₁= −1, λ₂ = 2. v₂ = (−1, 2, 1).

Variante n.3 Determinare gli autovalori e l’autovettore relativo all’autovalore pi`u grande della matrice





0 1 0

3 1 −1

0 −3 0



 Risposta: λ0 = 0, λ1= −2, λ2 = 3. v2 = (1, 3, −3).

Variante n.4 Determinare gli autovalori e l’autovettore relativo all’autovalore pi`u grande della matrice





0 −1 0

−3 1 1

0 3 0



 Risposta: λ₀ = 0, λ₁= −2, λ₂ = 3. v₂ = (−1, 3, 3).

Variante n.5 Determinare gli autovalori e l’autovettore relativo all’autovalore pi`u piccolo della matrice





0 3 0 1 1 1 0 3 0



 Risposta: λ₀ = 0, λ₁= −2, λ₂ = 3. v₁ = (3, −2, 3).

Variante n.6 Determinare gli autovalori e l’autovettore relativo all’autovalore pi`u piccolo della matrice





0 −1 0

−3 1 3

0 1 0



 Risposta: λ0 = 0, λ1= −2, λ2 = 3. v1 = (1, 2, −1).

Esercizio n.4 Esame di Matematica per Biologia - 15-01-2013 Variante n.1 Si consideri il seguente sistema nelle incognite x, y, z e dipendente dal parametro t:







tx + z = 1 ty − 2z = −2 3x − y + 5z = 5.

a) Determinare i valori di t per cui il sistema `e compatibile, e quelli per cui esistono infinite soluzioni.

b) Risolvere il sistema per t = 0 e t = 1/2.

Risposta: ∃! sol. se t 6= 0 e t 6= 1. Se t = 0 ∃ ∞ sol., (x, y, z) = (a, 3a, 1). Se t = 1 ∃ ∞ sol.

Variante n.2 Si consideri il seguente sistema nelle incognite x, y, z e dipendente dal parametro t:







tx + z = 1 ty − 2z = −2 3x − y − 5z = 5.

a) Determinare i valori di t per cui il sistema `e compatibile, e quelli per cui esistono infinite soluzioni.

b) Risolvere il sistema per t = 0 e t = 1/2.

Risposta: ∃! sol. se t 6= 0 e t 6= −1. Se t = 0 ∃ ∞ sol., (x, y, z) = (a, 3a − 10, 1). Se t = −1 nessuna sol.

Variante n.3 Si consideri il seguente sistema nelle incognite x, y, z e dipendente dal parametro t:







tx + z = 2 ty − 2z = −4 3x − y +⁵₂z = 5.

a) Determinare i valori di t per cui il sistema `e compatibile, e quelli per cui esistono infinite soluzioni.

b) Risolvere il sistema per t = 0 e t = 1/2.

Risposta: ∃! sol. se t 6= 0 e t 6= 2. Se t = 0 ∃ ∞ sol., (x, y, z) = (a, 3a, 2). Se t = 2 ∃ ∞ sol.

Variante n.4 Si consideri il seguente sistema nelle incognite x, y, z e dipendente dal parametro t:







tx + z = 2 ty − 2z = −4 3x − y −_A⁵z = 5.

a) Determinare i valori di t per cui il sistema `e compatibile, e quelli per cui esistono infinite soluzioni.

b) Risolvere il sistema per t = 0 e t = 1/2.

Risposta: ∃! sol. se t 6= 0 e t 6= −2. Se t = 0 ∃ ∞ sol., (x, y, z) = (a, 3a − 10, 2). Se t = −2 nessuna sol.

Variante n.5 Si consideri il seguente sistema nelle incognite x, y, z e dipendente dal parametro t:







tx + z = 3 ty − 2z = −6 3x − y +⁵₃z = 5.

a) Determinare i valori di t per cui il sistema `e compatibile, e quelli per cui esistono infinite soluzioni.

b) Risolvere il sistema per t = 0 e t = 1/2.

Risposta: ∃! sol. se t 6= 0 e t 6= 3. Se t = 0 ∃ ∞ sol., (x, y, z) = (a, 3a, 3). Se t = 3 ∃ ∞ sol.





tx + z = 3 ty − 2z = −6 3x − y −⁵₃z = 5.

a) Determinare i valori di t per cui il sistema `e compatibile, e quelli per cui esistono infinite soluzioni.

b) Risolvere il sistema per t = 0 e t = 1/2.

Risposta: ∃! sol. se t 6= 0 e t 6= −3. Se t = 0 ∃ ∞ sol., (x, y, z) = (a, 3a − 10, 3). Se t = −3 nessuna sol.

Esercizio n.5 Esame di Matematica per Biologia - 15-01-2013 Variante n.1 Determinare la soluzione, con il suo dominio d’esistenza D, del seguente problema ai valori iniziali:

y⁰= y tan 2x; y(0) = 1 e calcolarne gli eventuali asintoti.

Risposta: a) y(x) = 1

√cos 2x, D = (−π/4, π/4). b) gli asintoti sono verticali a x = ±π/4

Variante n.2 Determinare la soluzione, con il suo dominio d’esistenza D, del seguente problema ai valori iniziali:

y⁰= y³e^x; y(0) = 1 e calcolarne gli eventuali asintoti.

Risposta: a) y(x) = 1

√3 − 2e^x, D = (−∞, log(3/2)). b) y = 1/√

3 a −∞, x = log(3/2).

Variante n.3 Determinare la soluzione, con il suo dominio d’esistenza D, del seguente problema ai valori iniziali:

y⁰ = y log x; y(0) = 1 e determinarne il minimo.

Risposta: a) y(x) = e^{x(log x−1)}, D = (0, ∞). b) minimo in x = 1, y(1) = e⁻¹.

Variante n.4 Determinare la soluzione, con il suo dominio d’esistenza D, del seguente problema ai valori iniziali:

y⁰ = y²tan x; y(0) = 1 e calcolarne gli eventuali asintoti.

Risposta: a) y(x) = 1

1 + log cos x, D = (− arccos e⁻¹, arccos e⁻¹). b) gli asintoti sono verticali a x = ± arccos e⁻¹

Variante n.5 Determinare la soluzione, con il suo dominio d’esistenza D, del seguente problema ai valori iniziali:

y⁰ = 4y²

x²; y(1) = 1/4 e calcolarne gli eventuali asintoti.

Risposta: a) y(x) = x/4, D = (0, ∞). b) l’asintoto a ∞ `e obliquo e coincide con la soluzione.

Variante n.6 Determinare la soluzione, con il suo dominio d’esistenza D, del seguente problema ai valori iniziali:

y⁰ = 4y³

x³; y(1) = 1/4 e calcolarne gli eventuali asintoti.

Risposta: a) y(x) = x/2, D = (0, ∞). b) l’asintoto a ∞ `e obliquo e coincide con la soluzione.

Variante n.1 Determinare il dominio di definizione, eventuali asintoti, gli intervalli di crescita e decrescita, minimi e massimi relativi, e tracciare il grafico della funzione:

f (x) = e^−(x2−1)+ x²− e. Dedurre dal grafico il numero di interszioni con l’asse delle x.

Risposta: D(f ) = R, lim

x→±∞f (x) = +∞, min. (±1, 2 + a), max (0, e + a). 3 intersezioni.

Variante n.2 Determinare il dominio di definizione, eventuali asintoti, gli intervalli di crescita e decrescita, minimi e massimi relativi, e tracciare il grafico della funzione:

f (x) = e^−(x2−4)+ x²− e. Dedurre dal grafico il numero di interszioni con l’asse delle x.

Risposta: D(f ) = R, lim

x→±∞f (x) = +∞, min (±2, 5 + a), max (0, e⁴+ a). 0 intersezioni.

Variante n.3 Determinare il dominio di definizione, eventuali asintoti, gli intervalli di crescita e decrescita, minimi e massimi relativi, e tracciare il grafico della funzione:

f (x) = e^−(x2−1)+ x²− 6. Dedurre dal grafico il numero di interszioni con l’asse delle x.

Risposta: D(f ) = R, lim

x→±∞f (x) = +∞, min. (±1, 2 + a), max (0, e + a). 2 intersezioni.

Variante n.4 Determinare il dominio di definizione, eventuali asintoti, gli intervalli di crescita e decrescita, minimi e massimi relativi, e tracciare il grafico della funzione:

f (x) = e^−(x2−4)+ x²− 6. Dedurre dal grafico il numero di interszioni con l’asse delle x.

Risposta: D(f ) = R, lim

x→±∞f (x) = +∞, min (±2, 5 + a), max (0, e⁴+ a). 4 intersezioni.

Variante n.5 Determinare il dominio di definizione, eventuali asintoti, gli intervalli di crescita e decrescita, minimi e massimi relativi, e tracciare il grafico della funzione:

f (x) = e^−(x2−1)+ x²− 2. Dedurre dal grafico il numero di interszioni con l’asse delle x.

Risposta: D(f ) = R, lim

x→±∞f (x) = +∞, min. (±1, 2 + a), max (0, e + a). 2 intersezioni.

Variante n.6 Determinare il dominio di definizione, eventuali asintoti, gli intervalli di crescita e decrescita, minimi e massimi relativi, e tracciare il grafico della funzione:

f (x) = e^−(x2−4)+ x²− 2. Dedurre dal grafico il numero di interszioni con l’asse delle x.

Risposta: D(f ) = R, lim

x→±∞f (x) = +∞, min (±2, 5 + a), max (0, e⁴+ a). 0 intersezioni.